حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\sqrt{x - 9}$

خطوة 1

اكتب $\sqrt{x - 9}$ في صورة دالة.

$f (x) = \sqrt{x - 9}$

خطوة 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x - 9}$ في صورة ${(x - 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x - 9)}^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 2.1.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ و $g (x) = x - 9$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x - 9$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x - 9]$

خطوة 2.1.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - 9]$

خطوة 2.1.1.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x - 9$ .

$\frac{1}{2} {(x - 9)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - 9]$

خطوة 2.1.1.3

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x - 9)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 9]$

خطوة 2.1.1.4

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x - 9)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 9]$

خطوة 2.1.1.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{2} {(x - 9)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 9]$

خطوة 2.1.1.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.6.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{1}{2} {(x - 9)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 9]$

خطوة 2.1.1.6.2

اطرح $2$ من $1$ .

$\frac{1}{2} {(x - 9)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 9]$

خطوة 2.1.1.7

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.7.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{2} {(x - 9)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 9]$

خطوة 2.1.1.7.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و ${(x - 9)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x - 9)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x - 9]$

خطوة 2.1.1.7.3

انقُل ${(x - 9)}^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x - 9)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x - 9]$

خطوة 2.1.1.8

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 9$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$\frac{1}{2 {(x - 9)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9])$

خطوة 2.1.1.9

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(x - 9)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [- 9])$

خطوة 2.1.1.10

بما أن $- 9$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 9$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{1}{2 {(x - 9)}^{\frac{1}{2}}} (1 + 0)$

خطوة 2.1.1.11

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.11.1

أضف $1$ و $0$ .

$\frac{1}{2 {(x - 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

خطوة 2.1.1.11.2

اضرب $\frac{1}{2 {(x - 9)}^{\frac{1}{2}}}$ في $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 2.1.2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة المضاعف الثابت.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1.1

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{1}{2 {(x - 9)}^{\frac{1}{2}}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x - 9)}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x - 9)}^{\frac{1}{2}}}]$

خطوة 2.1.2.1.2

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1.2.1

أعِد كتابة $\frac{1}{{(x - 9)}^{\frac{1}{2}}}$ بالصيغة ${({(x - 9)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [{({(x - 9)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

خطوة 2.1.2.1.2.2

اضرب الأُسس في ${({(x - 9)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1.2.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [{(x - 9)}^{\frac{1}{2} \cdot - 1}]$

خطوة 2.1.2.1.2.2.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $- 1$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [{(x - 9)}^{\frac{- 1}{2}}]$

خطوة 2.1.2.1.2.2.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [{(x - 9)}^{- \frac{1}{2}}]$

خطوة 2.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{- \frac{1}{2}}$ و $g (x) = x - 9$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x - 9$ .

$\frac{1}{2} (\frac{d}{d u} [u^{- \frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x - 9])$

خطوة 2.1.2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = - \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} u^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - 9])$

خطوة 2.1.2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x - 9$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} {(x - 9)}^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - 9])$

خطوة 2.1.2.3

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} {(x - 9)}^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 9])$

خطوة 2.1.2.4

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} {(x - 9)}^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 9])$

خطوة 2.1.2.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} {(x - 9)}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 9])$

خطوة 2.1.2.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.6.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} {(x - 9)}^{\frac{- 1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 9])$

خطوة 2.1.2.6.2

اطرح $2$ من $- 1$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} {(x - 9)}^{\frac{- 3}{2}} \frac{d}{d x} [x - 9])$

خطوة 2.1.2.7

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.7.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} {(x - 9)}^{- \frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x - 9])$

خطوة 2.1.2.7.2

اجمع ${(x - 9)}^{- \frac{3}{2}}$ و $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{{(x - 9)}^{- \frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x - 9])$

خطوة 2.1.2.7.3

انقُل ${(x - 9)}^{- \frac{3}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2 {(x - 9)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [x - 9])$

خطوة 2.1.2.7.4

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{1}{2 {(x - 9)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$- \frac{1}{2 (2 {(x - 9)}^{\frac{3}{2}})} \frac{d}{d x} [x - 9]$

خطوة 2.1.2.7.5

اضرب $2$ في $2$ .

$- \frac{1}{4 {(x - 9)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [x - 9]$

خطوة 2.1.2.8

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 9$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$- \frac{1}{4 {(x - 9)}^{\frac{3}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9])$

خطوة 2.1.2.9

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- \frac{1}{4 {(x - 9)}^{\frac{3}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [- 9])$

خطوة 2.1.2.10

بما أن $- 9$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 9$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$- \frac{1}{4 {(x - 9)}^{\frac{3}{2}}} (1 + 0)$

خطوة 2.1.2.11

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.11.1

أضف $1$ و $0$ .

$- \frac{1}{4 {(x - 9)}^{\frac{3}{2}}} \cdot 1$

خطوة 2.1.2.11.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4 {(x - 9)}^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 2.1.3

المشتق الثاني لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $- \frac{1}{4 {(x - 9)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$- \frac{1}{4 {(x - 9)}^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 2.2

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم حل المعادلة $- \frac{1}{4 {(x - 9)}^{\frac{3}{2}}} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$- \frac{1}{4 {(x - 9)}^{\frac{3}{2}}} = 0$

خطوة 2.2.2

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$1 = 0$

خطوة 2.2.3

بما أن $1 \neq 0$ ، إذن لا توجد حلول.

لا يوجد حل

خطوة 3

أوجِد نطاق $f (x) = \sqrt{x - 9}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن قيمة المجذور في $\sqrt{x - 9}$ بحيث تصبح أكبر من أو تساوي $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة معرّفة.

$x - 9 \geq 0$

خطوة 3.2

أضِف $9$ إلى كلا طرفي المتباينة.

$x \geq 9$

خطوة 3.3

النطاق هو جميع قيم $x$ التي تجعل العبارة معرّفة.

ترميز الفترة:

$[9, \infty)$

ترميز بناء المجموعات:

${x | x \geq 9}$

ترميز الفترة:

$[9, \infty)$

ترميز بناء المجموعات:

${x | x \geq 9}$

خطوة 4

أنشئ فترات حول القيم $x$ التي يكون عندها المشتق الثاني مساويًا لصفر أو غير معرّف.

$[9, \infty)$

خطوة 5

عوّض بأي عدد من الفترة $[9, \infty)$ في المشتق الثاني واحسِب القيمة لتحديد التقعر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $12$ في العبارة.

$f'' (12) = - \frac{1}{4 {((12) - 9)}^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

اطرح $9$ من $12$ .

$f'' (12) = - \frac{1}{4 \cdot 3^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 5.2.2

الإجابة النهائية هي $- \frac{1}{4 \cdot 3^{\frac{3}{2}}}$ .

$- \frac{1}{4 \cdot 3^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 5.3

الرسم البياني مقعر لأسفل في الفترة $[9, \infty)$ لأن $f'' (12)$ سالبة.

مقعر لأسفل خلال $[9, \infty)$ بما أن $f'' (x)$ سالبة

خطوة 6