حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{x^{2} + 64}{x}$

خطوة 1

اكتب $\frac{x^{2} + 64}{x}$ في صورة دالة.

$f (x) = \frac{x^{2} + 64}{x}$

خطوة 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x^{2} + 64$ و $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [x^{2} + 64] - (x^{2} + 64) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 2.1.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + 64$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [64]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [64]) - (x^{2} + 64) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 2.1.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{x (2 x + \frac{d}{d x} [64]) - (x^{2} + 64) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 2.1.1.2.3

بما أن $64$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $64$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{x (2 x + 0) - (x^{2} + 64) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 2.1.1.2.4

أضف $2 x$ و $0$ .

$\frac{x (2 x) - (x^{2} + 64) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 2.1.1.3

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x) - (x^{2} + 64) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 2.1.1.4

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{1}) - (x^{2} + 64) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 2.1.1.5

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{2 x^{1 + 1} - (x^{2} + 64) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 2.1.1.6

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{2 x^{2} - (x^{2} + 64) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 2.1.1.7

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{2 x^{2} - (x^{2} + 64) \cdot 1}{x^{2}}$

خطوة 2.1.1.8

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{2 x^{2} - (x^{2} + 64)}{x^{2}}$

خطوة 2.1.1.9

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.9.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 x^{2} - x^{2} - 1 \cdot 64}{x^{2}}$

خطوة 2.1.1.9.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.9.2.1

اضرب $- 1$ في $64$ .

$\frac{2 x^{2} - x^{2} - 64}{x^{2}}$

خطوة 2.1.1.9.2.2

اطرح $x^{2}$ من $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 64}{x^{2}}$

خطوة 2.1.1.9.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.9.3.1

أعِد كتابة $64$ بالصيغة $8^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 8^{2}}{x^{2}}$

خطوة 2.1.1.9.3.2

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = x$ و $b = 8$ .

$f' (x) = \frac{(x + 8) (x - 8)}{x^{2}}$

خطوة 2.1.2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [(x + 8) (x - 8)] - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

خطوة 2.1.2.2

اضرب الأُسس في ${(x^{2})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [(x + 8) (x - 8)] - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

خطوة 2.1.2.2.2

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [(x + 8) (x - 8)] - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

خطوة 2.1.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x + 8$ و $g (x) = x - 8$ .

$\frac{x^{2} ((x + 8) \frac{d}{d x} [x - 8] + (x - 8) \frac{d}{d x} [x + 8]) - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

خطوة 2.1.2.4

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.4.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 8$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$\frac{x^{2} ((x + 8) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]) + (x - 8) \frac{d}{d x} [x + 8]) - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

خطوة 2.1.2.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{x^{2} ((x + 8) (1 + \frac{d}{d x} [- 8]) + (x - 8) \frac{d}{d x} [x + 8]) - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

خطوة 2.1.2.4.3

بما أن $- 8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 8$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{x^{2} ((x + 8) (1 + 0) + (x - 8) \frac{d}{d x} [x + 8]) - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

خطوة 2.1.2.4.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.4.4.1

أضف $1$ و $0$ .

$\frac{x^{2} ((x + 8) \cdot 1 + (x - 8) \frac{d}{d x} [x + 8]) - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

خطوة 2.1.2.4.4.2

اضرب $x + 8$ في $1$ .

$\frac{x^{2} (x + 8 + (x - 8) \frac{d}{d x} [x + 8]) - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

خطوة 2.1.2.4.5

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 8$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$\frac{x^{2} (x + 8 + (x - 8) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8])) - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

خطوة 2.1.2.4.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{x^{2} (x + 8 + (x - 8) (1 + \frac{d}{d x} [8])) - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

خطوة 2.1.2.4.7

بما أن $8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $8$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{x^{2} (x + 8 + (x - 8) (1 + 0)) - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

خطوة 2.1.2.4.8

بسّط بجمع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.4.8.1

أضف $1$ و $0$ .

$\frac{x^{2} (x + 8 + (x - 8) \cdot 1) - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

خطوة 2.1.2.4.8.2

اضرب $x - 8$ في $1$ .

$\frac{x^{2} (x + 8 + x - 8) - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

خطوة 2.1.2.4.8.3

أضف $x$ و $x$ .

$\frac{x^{2} (2 x + 8 - 8) - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

خطوة 2.1.2.4.8.4

بسّط بطرح الأعداد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.4.8.4.1

اطرح $8$ من $8$ .

$\frac{x^{2} (2 x + 0) - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

خطوة 2.1.2.4.8.4.2

أضف $2 x$ و $0$ .

$\frac{x^{2} (2 x) - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

خطوة 2.1.2.5

اضرب $x^{2}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.5.1

انقُل $x$ .

$\frac{x \cdot x^{2} \cdot 2 - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

خطوة 2.1.2.5.2

اضرب $x$ في $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.5.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{x^{1} x^{2} \cdot 2 - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

خطوة 2.1.2.5.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{x^{1 + 2} \cdot 2 - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

خطوة 2.1.2.5.3

أضف $1$ و $2$ .

$\frac{x^{3} \cdot 2 - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

خطوة 2.1.2.6

انقُل $2$ إلى يسار $x^{3}$ .

$\frac{2 \cdot x^{3} - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

خطوة 2.1.2.7

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{2 x^{3} - (x + 8) (x - 8) (2 x)}{x^{4}}$

خطوة 2.1.2.8

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 (x + 8) (x - 8) x}{x^{4}}$

خطوة 2.1.2.9

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.9.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 x^{3} + (- 2 x - 2 \cdot 8) (x - 8) x}{x^{4}}$

خطوة 2.1.2.9.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.9.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.9.2.1.1

اضرب $- 2$ في $8$ .

$\frac{2 x^{3} + (- 2 x - 16) (x - 8) x}{x^{4}}$

خطوة 2.1.2.9.2.1.2

وسّع $(- 2 x - 16) (x - 8)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.9.2.1.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 x^{3} + (- 2 x (x - 8) - 16 (x - 8)) x}{x^{4}}$

خطوة 2.1.2.9.2.1.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 x^{3} + (- 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 8 - 16 (x - 8)) x}{x^{4}}$

خطوة 2.1.2.9.2.1.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 x^{3} + (- 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 8 - 16 x - 16 \cdot - 8) x}{x^{4}}$

خطوة 2.1.2.9.2.1.3

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.9.2.1.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.9.2.1.3.1.1

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.9.2.1.3.1.1.1

انقُل $x$ .

$\frac{2 x^{3} + (- 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot - 8 - 16 x - 16 \cdot - 8) x}{x^{4}}$

خطوة 2.1.2.9.2.1.3.1.1.2

اضرب $x$ في $x$ .

$\frac{2 x^{3} + (- 2 x^{2} - 2 x \cdot - 8 - 16 x - 16 \cdot - 8) x}{x^{4}}$

خطوة 2.1.2.9.2.1.3.1.2

اضرب $- 8$ في $- 2$ .

$\frac{2 x^{3} + (- 2 x^{2} + 16 x - 16 x - 16 \cdot - 8) x}{x^{4}}$

خطوة 2.1.2.9.2.1.3.1.3

اضرب $- 16$ في $- 8$ .

$\frac{2 x^{3} + (- 2 x^{2} + 16 x - 16 x + 128) x}{x^{4}}$

خطوة 2.1.2.9.2.1.3.2

اطرح $16 x$ من $16 x$ .

$\frac{2 x^{3} + (- 2 x^{2} + 0 + 128) x}{x^{4}}$

خطوة 2.1.2.9.2.1.3.3

أضف $- 2 x^{2}$ و $0$ .

$\frac{2 x^{3} + (- 2 x^{2} + 128) x}{x^{4}}$

خطوة 2.1.2.9.2.1.4

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} x + 128 x}{x^{4}}$

خطوة 2.1.2.9.2.1.5

اضرب $x^{2}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.9.2.1.5.1

انقُل $x$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 (x \cdot x^{2}) + 128 x}{x^{4}}$

خطوة 2.1.2.9.2.1.5.2

اضرب $x$ في $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.9.2.1.5.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 (x^{1} x^{2}) + 128 x}{x^{4}}$

خطوة 2.1.2.9.2.1.5.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{1 + 2} + 128 x}{x^{4}}$

خطوة 2.1.2.9.2.1.5.3

أضف $1$ و $2$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{3} + 128 x}{x^{4}}$

خطوة 2.1.2.9.2.2

اطرح $2 x^{3}$ من $2 x^{3}$ .

$\frac{0 + 128 x}{x^{4}}$

خطوة 2.1.2.9.2.3

أضف $0$ و $128 x$ .

$\frac{128 x}{x^{4}}$

خطوة 2.1.2.9.3

احذِف العامل المشترك لـ $x$ و $x^{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.9.3.1

أخرِج العامل $x$ من $128 x$ .

$\frac{x \cdot 128}{x^{4}}$

خطوة 2.1.2.9.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.9.3.2.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{4}$ .

$\frac{x \cdot 128}{x \cdot x^{3}}$

خطوة 2.1.2.9.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x \cdot 128}{x \cdot x^{3}}$

خطوة 2.1.2.9.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f'' (x) = \frac{128}{x^{3}}$

خطوة 2.1.3

المشتق الثاني لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{128}{x^{3}}$ .

$\frac{128}{x^{3}}$

خطوة 2.2

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم حل المعادلة $\frac{128}{x^{3}} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\frac{128}{x^{3}} = 0$

خطوة 2.2.2

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$128 = 0$

خطوة 2.2.3

بما أن $128 \neq 0$ ، إذن لا توجد حلول.

لا يوجد حل

خطوة 3

أوجِد نطاق $f (x) = \frac{x^{2} + 64}{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن قيمة القاسم في $\frac{x^{2} + 64}{x}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

$x = 0$

خطوة 3.2

النطاق هو جميع قيم $x$ التي تجعل العبارة معرّفة.

ترميز الفترة:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

ترميز بناء المجموعات:

${x | x \neq 0}$

ترميز الفترة:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

ترميز بناء المجموعات:

${x | x \neq 0}$

خطوة 4

أنشئ فترات حول القيم $x$ التي يكون عندها المشتق الثاني مساويًا لصفر أو غير معرّف.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

خطوة 5

عوّض بأي عدد من الفترة $(- \infty, 0)$ في المشتق الثاني واحسِب القيمة لتحديد التقعر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 2$ في العبارة.

$f'' (- 2) = \frac{128}{{(- 2)}^{3}}$

خطوة 5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

ارفع $- 2$ إلى القوة $3$ .

$f'' (- 2) = \frac{128}{- 8}$

خطوة 5.2.2

اقسِم $128$ على $- 8$ .

$f'' (- 2) = - 16$

خطوة 5.2.3

الإجابة النهائية هي $- 16$ .

$- 16$

خطوة 5.3

الرسم البياني مقعر لأسفل في الفترة $(- \infty, 0)$ لأن $f'' (- 2)$ سالبة.

مقعر لأسفل خلال $(- \infty, 0)$ بما أن $f'' (x)$ سالبة

خطوة 6

عوّض بأي عدد من الفترة $(0, \infty)$ في المشتق الثاني واحسِب القيمة لتحديد التقعر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $2$ في العبارة.

$f'' (2) = \frac{128}{{(2)}^{3}}$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

ارفع $2$ إلى القوة $3$ .

$f'' (2) = \frac{128}{8}$

خطوة 6.2.2

اقسِم $128$ على $8$ .

$f'' (2) = 16$

خطوة 6.2.3

الإجابة النهائية هي $16$ .

$16$

خطوة 6.3

الرسم البياني مقعر لأعلى في الفترة $(0, \infty)$ لأن $f'' (2)$ موجبة.

مقعر لأعلى خلال $(0, \infty)$ بما أن $f'' (x)$ موجبة

خطوة 7

يكون الرسم البياني مقعرًا لأسفل إذا كان المشتق الثاني سالبًا ومقعرًا لأعلى إذا كان المشتق الثاني موجبًا.

مقعر لأسفل خلال $(- \infty, 0)$ بما أن $f'' (x)$ سالبة

مقعر لأعلى خلال $(0, \infty)$ بما أن $f'' (x)$ موجبة

خطوة 8