حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = 9 x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{3}{2}}$ ; $x = 9$

خطوة 1

Find the corresponding $y$ -value to $x = 9$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

عوّض بـ $9$ عن $x$ .

$y = 9 {(9)}^{\frac{1}{2}} + {(9)}^{\frac{3}{2}}$

خطوة 1.2

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

احذِف الأقواس.

$y = 9 \cdot 9^{\frac{1}{2}} + {(9)}^{\frac{3}{2}}$

خطوة 1.2.2

احذِف الأقواس.

$y = 9 \cdot 9^{\frac{1}{2}} + 9^{\frac{3}{2}}$

خطوة 1.2.3

احذِف الأقواس.

$y = 9 {(9)}^{\frac{1}{2}} + {(9)}^{\frac{3}{2}}$

خطوة 1.2.4

بسّط $9 {(9)}^{\frac{1}{2}} + {(9)}^{\frac{3}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.1.1

اضرب $9$ في ${(9)}^{\frac{1}{2}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.1.1.1

اضرب $9$ في ${(9)}^{\frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.1.1.1.1

ارفع $9$ إلى القوة $1$ .

$y = 9^{1} {(9)}^{\frac{1}{2}} + {(9)}^{\frac{3}{2}}$

خطوة 1.2.4.1.1.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$y = 9^{1 + \frac{1}{2}} + {(9)}^{\frac{3}{2}}$

خطوة 1.2.4.1.1.2

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$y = 9^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} + {(9)}^{\frac{3}{2}}$

خطوة 1.2.4.1.1.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = 9^{\frac{2 + 1}{2}} + {(9)}^{\frac{3}{2}}$

خطوة 1.2.4.1.1.4

أضف $2$ و $1$ .

$y = 9^{\frac{3}{2}} + {(9)}^{\frac{3}{2}}$

خطوة 1.2.4.1.2

أعِد كتابة $9$ بالصيغة $3^{2}$ .

$y = {(3^{2})}^{\frac{3}{2}} + {(9)}^{\frac{3}{2}}$

خطوة 1.2.4.1.3

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = 3^{2 (\frac{3}{2})} + {(9)}^{\frac{3}{2}}$

خطوة 1.2.4.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.1.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$y = 3^{2 (\frac{3}{2})} + {(9)}^{\frac{3}{2}}$

خطوة 1.2.4.1.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$y = 3^{3} + {(9)}^{\frac{3}{2}}$

خطوة 1.2.4.1.5

ارفع $3$ إلى القوة $3$ .

$y = 27 + {(9)}^{\frac{3}{2}}$

خطوة 1.2.4.1.6

أعِد كتابة $9$ بالصيغة $3^{2}$ .

$y = 27 + {(3^{2})}^{\frac{3}{2}}$

خطوة 1.2.4.1.7

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = 27 + 3^{2 (\frac{3}{2})}$

خطوة 1.2.4.1.8

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.1.8.1

ألغِ العامل المشترك.

$y = 27 + 3^{2 (\frac{3}{2})}$

خطوة 1.2.4.1.8.2

أعِد كتابة العبارة.

$y = 27 + 3^{3}$

خطوة 1.2.4.1.9

ارفع $3$ إلى القوة $3$ .

$y = 27 + 27$

خطوة 1.2.4.2

أضف $27$ و $27$ .

$y = 54$

خطوة 2

أوجِد المشتق الأول واحسِب القيمة عند $x = 9$ و $y = 54$ لإيجاد ميل خط المماس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $9 x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{3}{2}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [9 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [9 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [9 x^{\frac{1}{2}}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $9$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $9 x^{\frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $9 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$9 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$9 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

خطوة 2.2.3

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$9 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

خطوة 2.2.4

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$9 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

خطوة 2.2.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$9 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

خطوة 2.2.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.6.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$9 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

خطوة 2.2.6.2

اطرح $2$ من $1$ .

$9 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

خطوة 2.2.7

انقُل السالب أمام الكسر.

$9 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

خطوة 2.2.8

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$9 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

خطوة 2.2.9

اجمع $9$ و $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{9 x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

خطوة 2.2.10

انقُل $x^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}$

خطوة 2.3.2

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

خطوة 2.3.3

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

خطوة 2.3.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}$

خطوة 2.3.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}}$

خطوة 2.3.5.2

اطرح $2$ من $3$ .

$\frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}$

خطوة 2.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} + \frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 2.4.2

اجمع $\frac{3}{2}$ و $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 2.5

احسِب قيمة المشتق في $x = 9$ .

$\frac{3 {(9)}^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{9}{2 {(9)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 2.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1.1.1

أعِد كتابة $9$ بالصيغة $3^{2}$ .

$\frac{3 \cdot {(3^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{9}{2 {(9)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 2.6.1.1.2

اضرب الأُسس في ${(3^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1.1.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})}}{2} + \frac{9}{2 {(9)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 2.6.1.1.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1.1.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})}}{2} + \frac{9}{2 {(9)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 2.6.1.1.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{3 \cdot 3^{1}}{2} + \frac{9}{2 {(9)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 2.6.1.1.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{3^{1 + 1}}{2} + \frac{9}{2 {(9)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 2.6.1.1.4

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{3^{2}}{2} + \frac{9}{2 {(9)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 2.6.1.2

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$\frac{9}{2} + \frac{9}{2 {(9)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 2.6.1.3

انقُل ${(9)}^{\frac{1}{2}}$ إلى بسط الكسر باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{9}{2} + \frac{9 \cdot 9^{- \frac{1}{2}}}{2}$

خطوة 2.6.1.4

اضرب $9$ في $9^{- \frac{1}{2}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1.4.1

اضرب $9$ في $9^{- \frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1.4.1.1

ارفع $9$ إلى القوة $1$ .

$\frac{9}{2} + \frac{9^{1} \cdot 9^{- \frac{1}{2}}}{2}$

خطوة 2.6.1.4.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{9}{2} + \frac{9^{1 - \frac{1}{2}}}{2}$

خطوة 2.6.1.4.2

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$\frac{9}{2} + \frac{9^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2}$

خطوة 2.6.1.4.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{9}{2} + \frac{9^{\frac{2 - 1}{2}}}{2}$

خطوة 2.6.1.4.4

اطرح $1$ من $2$ .

$\frac{9}{2} + \frac{9^{\frac{1}{2}}}{2}$

خطوة 2.6.1.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1.5.1

أعِد كتابة $9$ بالصيغة $3^{2}$ .

$\frac{9}{2} + \frac{{(3^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2}$

خطوة 2.6.1.5.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{9}{2} + \frac{3^{2 (\frac{1}{2})}}{2}$

خطوة 2.6.1.5.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1.5.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{9}{2} + \frac{3^{2 (\frac{1}{2})}}{2}$

خطوة 2.6.1.5.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{9}{2} + \frac{3^{1}}{2}$

خطوة 2.6.1.5.4

احسِب قيمة الأُس.

$\frac{9}{2} + \frac{3}{2}$

خطوة 2.6.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.2.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{9 + 3}{2}$

خطوة 2.6.2.2

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.2.2.1

أضف $9$ و $3$ .

$\frac{12}{2}$

خطوة 2.6.2.2.2

اقسِم $12$ على $2$ .

$6$

خطوة 3

عوّض بقيمتَي الميل والنقطة في قاعدة ميل النقطة وأوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

استخدِم الميل $6$ ونقطة مُعطاة $(9, 54)$ للتعويض بقيمتَي $x_{1}$ و $y_{1}$ في شكل ميل النقطة $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ ، المشتق من معادلة الميل $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (54) = 6 \cdot (x - (9))$

خطوة 3.2

بسّط المعادلة واتركها بِشكل ميل النقطة.

$y - 54 = 6 \cdot (x - 9)$

خطوة 3.3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

بسّط $6 \cdot (x - 9)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.1

أعِد الكتابة.

$y - 54 = 0 + 0 + 6 \cdot (x - 9)$

خطوة 3.3.1.2

بسّط بجمع الأصفار.

$y - 54 = 6 \cdot (x - 9)$

خطوة 3.3.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$y - 54 = 6 x + 6 \cdot - 9$

خطوة 3.3.1.4

اضرب $6$ في $- 9$ .

$y - 54 = 6 x - 54$

خطوة 3.3.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

أضف $54$ إلى كلا المتعادلين.

$y = 6 x - 54 + 54$

خطوة 3.3.2.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $6 x - 54 + 54$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.2.1

أضف $- 54$ و $54$ .

$y = 6 x + 0$

خطوة 3.3.2.2.2

أضف $6 x$ و $0$ .

$y = 6 x$

خطوة 4