حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\sin (3 y) = x$ ; $(0, \frac{π}{3})$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول واحسِب القيمة عند $x = 0$ و $y = \frac{π}{3}$ لإيجاد ميل خط المماس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (\sin (3 y)) = \frac{d}{d x} (x)$

خطوة 1.2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \sin (x)$ و $g (x) = 3 y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $3 y$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [3 y]$

خطوة 1.2.1.2

مشتق $\sin (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [3 y]$

خطوة 1.2.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $3 y$ .

$\cos (3 y) \frac{d}{d x} [3 y]$

خطوة 1.2.2

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [y]$ .

$\cos (3 y) (3 \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 1.2.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$\cos (3 y) (3 y')$

خطوة 1.2.4

أعِد ترتيب عوامل $\cos (3 y) (3 y')$ .

$3 \cos (3 y) y'$

خطوة 1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1$

خطوة 1.4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$3 \cos (3 y) y' = 1$

خطوة 1.5

اقسِم كل حد في $3 \cos (3 y) y' = 1$ على $3 \cos (3 y)$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

اقسِم كل حد في $3 \cos (3 y) y' = 1$ على $3 \cos (3 y)$ .

$\frac{3 \cos (3 y) y'}{3 \cos (3 y)} = \frac{1}{3 \cos (3 y)}$

خطوة 1.5.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 \cos (3 y) y'}{3 \cos (3 y)} = \frac{1}{3 \cos (3 y)}$

خطوة 1.5.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{\cos (3 y) y'}{\cos (3 y)} = \frac{1}{3 \cos (3 y)}$

خطوة 1.5.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $\cos (3 y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\cos (3 y) y'}{\cos (3 y)} = \frac{1}{3 \cos (3 y)}$

خطوة 1.5.2.2.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{1}{3 \cos (3 y)}$

خطوة 1.5.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.1

افصِل الكسور.

$y' = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{\cos (3 y)}$

خطوة 1.5.3.2

حوّل من $\frac{1}{\cos (3 y)}$ إلى $\sec (3 y)$ .

$y' = \frac{1}{3} \sec (3 y)$

خطوة 1.5.3.3

اجمع $\frac{1}{3}$ و $\sec (3 y)$ .

$y' = \frac{\sec (3 y)}{3}$

خطوة 1.6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\sec (3 y)}{3}$

خطوة 1.7

احسِب القيمة عند $x = 0$ و $y = \frac{π}{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0$ في العبارة.

$\frac{\sec (3 y)}{3}$

خطوة 1.7.2

استبدِل المتغير $y$ بـ $\frac{π}{3}$ في العبارة.

$\frac{\sec (3 (\frac{π}{3}))}{3}$

خطوة 1.7.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.3.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\sec (3 \frac{π}{3})}{3}$

خطوة 1.7.3.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{\sec (π)}{3}$

خطوة 1.7.3.2

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول. اجعل العبارة سالبة لأن القاطع سالب في الربع الثاني.

$\frac{- \sec (0)}{3}$

خطوة 1.7.3.3

القيمة الدقيقة لـ $\sec (0)$ هي $1$ .

$\frac{- 1 \cdot 1}{3}$

خطوة 1.7.3.4

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{- 1}{3}$

خطوة 1.7.4

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{1}{3}$

خطوة 2

عوّض بقيمتَي الميل والنقطة في قاعدة ميل النقطة وأوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

استخدِم الميل $- \frac{1}{3}$ ونقطة مُعطاة $(0, \frac{π}{3})$ للتعويض بقيمتَي $x_{1}$ و $y_{1}$ في شكل ميل النقطة $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ ، المشتق من معادلة الميل $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{π}{3}) = - \frac{1}{3} \cdot (x - (0))$

خطوة 2.2

بسّط المعادلة واتركها بِشكل ميل النقطة.

$y - \frac{π}{3} = - \frac{1}{3} \cdot (x + 0)$

خطوة 2.3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بسّط $- \frac{1}{3} \cdot (x + 0)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

أضف $x$ و $0$ .

$y - \frac{π}{3} = - \frac{1}{3} \cdot x$

خطوة 2.3.1.2

اجمع $x$ و $\frac{1}{3}$ .

$y - \frac{π}{3} = - \frac{x}{3}$

خطوة 2.3.2

أضف $\frac{π}{3}$ إلى كلا المتعادلين.

$y = - \frac{x}{3} + \frac{π}{3}$

خطوة 2.3.3

اكتب بصيغة $y = m x + b$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

أعِد ترتيب الحدود.

$y = - (\frac{1}{3} x) + \frac{π}{3}$

خطوة 2.3.3.2

احذِف الأقواس.

$y = - \frac{1}{3} x + \frac{π}{3}$

خطوة 3