حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \sqrt{x + 1} + \sin (x)$ , $x = 0$

خطوة 1

ضع في اعتبارك الدالة المُستخدمة لإيجاد الخطية عند $a$ .

$L (x) = f (a) + f' (a) (x - a)$

خطوة 2

عوّض بقيمة $a = 0$ في الدالة الخطية.

$L (x) = f (0) + f' (0) (x - 0)$

خطوة 3

احسِب قيمة $f (0)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0$ في العبارة.

$f (0) = \sqrt{(0) + 1} + \sin (0)$

خطوة 3.2

بسّط $\sqrt{(0) + 1} + \sin (0)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

احذِف الأقواس.

$\sqrt{(0) + 1} + \sin (0)$

خطوة 3.2.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

أضف $0$ و $1$ .

$\sqrt{1} + \sin (0)$

خطوة 3.2.2.2

أي جذر لـ $1$ هو $1$ .

$1 + \sin (0)$

خطوة 3.2.2.3

القيمة الدقيقة لـ $\sin (0)$ هي $0$ .

$1 + 0$

خطوة 3.2.3

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 4

أوجِد المشتق واحسِب قيمته عند $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أوجِد مشتق $f (x) = \sqrt{x + 1} + \sin (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\sqrt{x + 1} + \sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 1}] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 1}] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

خطوة 4.1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 1}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x + 1}$ في صورة ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

خطوة 4.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ و $g (x) = x + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x + 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

خطوة 4.1.2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

خطوة 4.1.2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x + 1$ .

$\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

خطوة 4.1.2.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

خطوة 4.1.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

خطوة 4.1.2.5

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

خطوة 4.1.2.6

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

خطوة 4.1.2.7

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

خطوة 4.1.2.8

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

خطوة 4.1.2.9

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.9.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

خطوة 4.1.2.9.2

اطرح $2$ من $1$ .

$\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{- 1}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

خطوة 4.1.2.10

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{2} {(x + 1)}^{- \frac{1}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

خطوة 4.1.2.11

أضف $1$ و $0$ .

$\frac{1}{2} {(x + 1)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

خطوة 4.1.2.12

اجمع $\frac{1}{2}$ و ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

خطوة 4.1.2.13

اضرب $\frac{{(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ في $1$ .

$\frac{{(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

خطوة 4.1.2.14

انقُل ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

خطوة 4.1.3

مشتق $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\cos (x)$ .

$\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \cos (x)$

خطوة 4.2

استبدِل المتغير $x$ بـ $0$ في العبارة.

$\frac{1}{2 {((0) + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \cos (0)$

خطوة 4.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1.1

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1.1.1

أضف $0$ و $1$ .

$\frac{1}{2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}} + \cos (0)$

خطوة 4.3.1.1.2

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\frac{1}{2 \cdot 1} + \cos (0)$

خطوة 4.3.1.2

اضرب $2$ في $1$ .

$\frac{1}{2} + \cos (0)$

خطوة 4.3.1.3

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$\frac{1}{2} + 1$

خطوة 4.3.2

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$\frac{1}{2} + \frac{2}{2}$

خطوة 4.3.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1 + 2}{2}$

خطوة 4.3.2.3

أضف $1$ و $2$ .

$\frac{3}{2}$

خطوة 5

عوّض بالمركّبات في الدالة الخطية لإيجاد الإخطاط عند $a$ .

$L (x) = 1 + \frac{3}{2} (x - 0)$

خطوة 6

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اطرح $0$ من $x$ .

$L (x) = 1 + \frac{3}{2} x$

خطوة 6.2

اجمع $\frac{3}{2}$ و $x$ .

$L (x) = 1 + \frac{3 x}{2}$

خطوة 7