حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \frac{1}{2} (e^{x} + e^{- x})$ , $[0, 2]$

خطوة 1

أوجِد الحل بالتعويض لإيجاد التقاطع بين المنحنيين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

احذِف المتعادلين المتساويين في كل معادلة واجمع.

$\frac{e^{x}}{2} + \frac{e^{- x}}{2} = 0$

خطوة 1.2

أوجِد قيمة $x$ في $\frac{e^{x}}{2} + \frac{e^{- x}}{2} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

انقُل $\frac{e^{- x}}{2}$ إلى المتعادل الأيمن بطرحها من كلا الطرفين.

$\frac{e^{x}}{2} = - \frac{e^{- x}}{2}$

خطوة 1.2.2

بما أن العبارة في كل متعادل لها نفس القاسم، إذن يجب أن يكون البسطان متساويين.

$e^{x} = - e^{- x}$

خطوة 1.2.3

مثّل كل متعادل بيانيًا. الحل هو قيمة x لنقطة التقاطع.

لا يوجد حل

خطوة 2

بسّط $\frac{1}{2} \cdot (e^{x} + e^{- x})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y = \frac{1}{2} e^{x} + \frac{1}{2} e^{- x}$

خطوة 2.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $e^{x}$ .

$y = \frac{e^{x}}{2} + \frac{1}{2} e^{- x}$

خطوة 2.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $e^{- x}$ .

$y = \frac{e^{x}}{2} + \frac{e^{- x}}{2}$

خطوة 3

تُعرَّف مساحة المنطقة المحصورة بين منحنيين بأنها تكامل المنحنى العلوي مطروحًا منه تكامل المنحنى السفلي على كل منطقة. وتُحدد المناطق بنقاط تقاطع المنحنيات. ويمكن القيام بذلك جبريًا أو بيانيًا.

$A r e a = \int_{0}^{2} \frac{e^{x}}{2} + \frac{e^{- x}}{2} d x - \int_{0}^{2} 0 d x$

خطوة 4

أوجِد التكامل لإيجاد المساحة بين $0$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اجمع التكاملات في تكامل واحد.

$\int_{0}^{2} \frac{e^{x}}{2} + \frac{e^{- x}}{2} - (0) d x$

خطوة 4.2

اطرح $0$ من $\frac{e^{x}}{2} + \frac{e^{- x}}{2}$ .

$\int_{0}^{2} \frac{e^{x}}{2} + \frac{e^{- x}}{2} d x$

خطوة 4.3

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int_{0}^{2} \frac{e^{x}}{2} d x + \int_{0}^{2} \frac{e^{- x}}{2} d x$

خطوة 4.4

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{2} e^{x} d x + \int_{0}^{2} \frac{e^{- x}}{2} d x$

خطوة 4.5

تكامل $e^{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $e^{x}$ .

$\frac{1}{2} e^{x}]_{0}^{2} + \int_{0}^{2} \frac{e^{- x}}{2} d x$

خطوة 4.6

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} e^{x}]_{0}^{2} + \frac{1}{2} \int_{0}^{2} e^{- x} d x$

خطوة 4.7

لنفترض أن $u = - x$ . إذن $d u = - d x$ ، لذا $- d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.7.1

افترض أن $u = - x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.7.1.1

أوجِد مشتقة $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

خطوة 4.7.1.2

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 4.7.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

خطوة 4.7.1.4

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- 1$

خطوة 4.7.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = - x$ .

$u_{lower} = - 0$

خطوة 4.7.3

اضرب $- 1$ في $0$ .

$u_{lower} = 0$

خطوة 4.7.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = - x$ .

$u_{upper} = - 1 \cdot 2$

خطوة 4.7.5

اضرب $- 1$ في $2$ .

$u_{upper} = - 2$

خطوة 4.7.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 2$

خطوة 4.7.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\frac{1}{2} e^{x}]_{0}^{2} + \frac{1}{2} \int_{0}^{- 2} - e^{u} d u$

خطوة 4.8

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} e^{x}]_{0}^{2} + \frac{1}{2} (- \int_{0}^{- 2} e^{u} d u)$

خطوة 4.9

تكامل $e^{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $e^{u}$ .

$\frac{1}{2} e^{x}]_{0}^{2} + \frac{1}{2} (- (e^{u}]_{0}^{- 2}))$

خطوة 4.10

اجمع $\frac{1}{2}$ و $e^{u}]_{0}^{- 2}$ .

$\frac{1}{2} e^{x}]_{0}^{2} - \frac{e^{u}]_{0}^{- 2}}{2}$

خطوة 4.11

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.11.1

احسِب قيمة $e^{x}$ في $2$ وفي $0$ .

$\frac{1}{2} ((e^{2}) - e^{0}) - \frac{e^{u}]_{0}^{- 2}}{2}$

خطوة 4.11.2

احسِب قيمة $e^{u}$ في $- 2$ وفي $0$ .

$\frac{1}{2} ((e^{2}) - e^{0}) - \frac{(e^{- 2}) - e^{0}}{2}$

خطوة 4.11.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.11.3.1

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$\frac{1}{2} (e^{2} - 1 \cdot 1) - \frac{(e^{- 2}) - e^{0}}{2}$

خطوة 4.11.3.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{1}{2} (e^{2} - 1) - \frac{(e^{- 2}) - e^{0}}{2}$

خطوة 4.11.3.3

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$\frac{1}{2} (e^{2} - 1) - \frac{e^{- 2} - 1 \cdot 1}{2}$

خطوة 4.11.3.4

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{1}{2} (e^{2} - 1) - \frac{e^{- 2} - 1}{2}$

خطوة 4.11.3.5

لكتابة $\frac{1}{2} (e^{2} - 1)$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (e^{2} - 1) \cdot \frac{2}{2} - \frac{e^{- 2} - 1}{2}$

خطوة 4.11.3.6

اجمع $\frac{1}{2} (e^{2} - 1)$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{1}{2} (e^{2} - 1) \cdot 2}{2} - \frac{e^{- 2} - 1}{2}$

خطوة 4.11.3.7

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{\frac{1}{2} (e^{2} - 1) \cdot 2 - (e^{- 2} - 1)}{2}$

خطوة 4.11.3.8

اجمع $2$ و $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\frac{2}{2} (e^{2} - 1) - (e^{- 2} - 1)}{2}$

خطوة 4.11.3.9

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.11.3.9.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\frac{2}{2} (e^{2} - 1) - (e^{- 2} - 1)}{2}$

خطوة 4.11.3.9.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1 (e^{2} - 1) - (e^{- 2} - 1)}{2}$

خطوة 4.11.3.10

اضرب $e^{2} - 1$ في $1$ .

$\frac{e^{2} - 1 - (e^{- 2} - 1)}{2}$

خطوة 5

اجمع المساحات $\frac{e^{2} - 1 - (e^{- 2} - 1)}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{e^{2} - 1 - (\frac{1}{e^{2}} - 1)}{2}$

خطوة 5.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{e^{2} - 1 - \frac{1}{e^{2}} - - 1}{2}$

خطوة 5.1.3

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\frac{e^{2} - 1 - \frac{1}{e^{2}} + 1}{2}$

خطوة 5.1.4

أضف $- 1$ و $1$ .

$\frac{e^{2} - \frac{1}{e^{2}} + 0}{2}$

خطوة 5.1.5

أضف $e^{2} - \frac{1}{e^{2}}$ و $0$ .

$\frac{e^{2} - \frac{1}{e^{2}}}{2}$

خطوة 5.1.6

أعِد كتابة $e^{2} - \frac{1}{e^{2}}$ بصيغة محلّلة إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.6.1

أعِد كتابة $\frac{1}{e^{2}}$ بالصيغة ${(\frac{1}{e})}^{2}$ .

$\frac{e^{2} - {(\frac{1}{e})}^{2}}{2}$

خطوة 5.1.6.2

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = e$ و $b = \frac{1}{e}$ .

$\frac{(e + \frac{1}{e}) (e - \frac{1}{e})}{2}$

خطوة 5.1.7

لكتابة $e$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{e}{e}$ .

$\frac{(\frac{e e}{e} + \frac{1}{e}) (e - \frac{1}{e})}{2}$

خطوة 5.1.8

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{\frac{e e + 1}{e} (e - \frac{1}{e})}{2}$

خطوة 5.1.9

اضرب $e e$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.9.1

ارفع $e$ إلى القوة $1$ .

$\frac{\frac{e^{1} e + 1}{e} (e - \frac{1}{e})}{2}$

خطوة 5.1.9.2

ارفع $e$ إلى القوة $1$ .

$\frac{\frac{e^{1} e^{1} + 1}{e} (e - \frac{1}{e})}{2}$

خطوة 5.1.9.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{\frac{e^{1 + 1} + 1}{e} (e - \frac{1}{e})}{2}$

خطوة 5.1.9.4

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{\frac{e^{2} + 1}{e} (e - \frac{1}{e})}{2}$

خطوة 5.1.10

لكتابة $e$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{e}{e}$ .

$\frac{\frac{e^{2} + 1}{e} (\frac{e e}{e} - \frac{1}{e})}{2}$

خطوة 5.1.11

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{\frac{e^{2} + 1}{e} \cdot \frac{e e - 1}{e}}{2}$

خطوة 5.1.12

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.12.1

اضرب $e e$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.12.1.1

ارفع $e$ إلى القوة $1$ .

$\frac{\frac{e^{2} + 1}{e} \cdot \frac{e^{1} e - 1}{e}}{2}$

خطوة 5.1.12.1.2

ارفع $e$ إلى القوة $1$ .

$\frac{\frac{e^{2} + 1}{e} \cdot \frac{e^{1} e^{1} - 1}{e}}{2}$

خطوة 5.1.12.1.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{\frac{e^{2} + 1}{e} \cdot \frac{e^{1 + 1} - 1}{e}}{2}$

خطوة 5.1.12.1.4

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{\frac{e^{2} + 1}{e} \cdot \frac{e^{2} - 1}{e}}{2}$

خطوة 5.1.12.2

أعِد كتابة $e^{2} - 1$ بصيغة محلّلة إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.12.2.1

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$\frac{\frac{e^{2} + 1}{e} \cdot \frac{e^{2} - 1^{2}}{e}}{2}$

خطوة 5.1.12.2.2

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = e$ و $b = 1$ .

$\frac{\frac{e^{2} + 1}{e} \cdot \frac{(e + 1) (e - 1)}{e}}{2}$

خطوة 5.2

اضرب $\frac{e^{2} + 1}{e}$ في $\frac{(e + 1) (e - 1)}{e}$ .

$\frac{\frac{(e^{2} + 1) ((e + 1) (e - 1))}{e e}}{2}$

خطوة 5.3

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

ارفع $e$ إلى القوة $1$ .

$\frac{\frac{(e^{2} + 1) (e + 1) (e - 1)}{e^{1} e}}{2}$

خطوة 5.3.2

ارفع $e$ إلى القوة $1$ .

$\frac{\frac{(e^{2} + 1) (e + 1) (e - 1)}{e^{1} e^{1}}}{2}$

خطوة 5.3.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{\frac{(e^{2} + 1) (e + 1) (e - 1)}{e^{1 + 1}}}{2}$

خطوة 5.3.4

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{\frac{(e^{2} + 1) (e + 1) (e - 1)}{e^{2}}}{2}$

خطوة 5.4

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$\frac{(e^{2} + 1) (e + 1) (e - 1)}{e^{2}} \cdot \frac{1}{2}$

خطوة 5.5

اجمع.

$\frac{(e^{2} + 1) (e + 1) (e - 1) \cdot 1}{e^{2} \cdot 2}$

خطوة 5.6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.1

اضرب $e^{2} + 1$ في $1$ .

$\frac{(e^{2} + 1) (e + 1) (e - 1)}{e^{2} \cdot 2}$

خطوة 5.6.2

انقُل $2$ إلى يسار $e^{2}$ .

$\frac{(e^{2} + 1) (e + 1) (e - 1)}{2 e^{2}}$

خطوة 6