حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y^{2} + 2 y = 9 x^{2} + 8$

خطوة 1

أوجِد الصيغة القياسية للقطع الزائد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

انقُل كل الحدود التي تحتوي على متغيرات إلى المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

اطرح $9 x^{2}$ من كلا المتعادلين.

$y^{2} + 2 y - 9 x^{2} = 8$

خطوة 1.1.2

انقُل $2 y$ .

$y^{2} - 9 x^{2} + 2 y = 8$

خطوة 1.1.3

أعِد ترتيب $y^{2}$ و $- 9 x^{2}$ .

$- 9 x^{2} + y^{2} + 2 y = 8$

خطوة 1.2

أكمل المربع لـ $y^{2} + 2 y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

استخدِم الصيغة $a x^{2} + b x + c$ لإيجاد قيم $a$ و $b$ و $c$ .

$a = 1$

$b = 2$

$c = 0$

خطوة 1.2.2

ضع في اعتبارك شكل رأس قطع مكافئ.

$a {(x + d)}^{2} + e$

خطوة 1.2.3

أوجِد قيمة $d$ باستخدام القاعدة $d = \frac{b}{2 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

عوّض بقيمتَي $a$ و $b$ في القاعدة $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{2}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.2.3.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$d = \frac{2}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.2.3.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$d = 1$

خطوة 1.2.4

أوجِد قيمة $e$ باستخدام القاعدة $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.1

عوّض بقيم $c$ و $b$ و $a$ في القاعدة $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{2^{2}}{4 \cdot 1}$

خطوة 1.2.4.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.2.1.1

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$e = 0 - \frac{4}{4 \cdot 1}$

خطوة 1.2.4.2.1.2

اضرب $4$ في $1$ .

$e = 0 - \frac{4}{4}$

خطوة 1.2.4.2.1.3

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.2.1.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$e = 0 - \frac{4}{4}$

خطوة 1.2.4.2.1.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$e = 0 - 1 \cdot 1$

خطوة 1.2.4.2.1.4

اضرب $- 1$ في $1$ .

$e = 0 - 1$

خطوة 1.2.4.2.2

اطرح $1$ من $0$ .

$e = - 1$

خطوة 1.2.5

عوّض بقيم $a$ و $d$ و $e$ في شكل الرأس ${(y + 1)}^{2} - 1$ .

${(y + 1)}^{2} - 1$

خطوة 1.3

استبدِل $y^{2} + 2 y$ بـ ${(y + 1)}^{2} - 1$ في المعادلة $- 9 x^{2} + y^{2} + 2 y = 8$ .

$- 9 x^{2} + {(y + 1)}^{2} - 1 = 8$

خطوة 1.4

انقُل $- 1$ إلى المتعادل الأيمن بإضافة $1$ إلى كلا الطرفين.

$- 9 x^{2} + {(y + 1)}^{2} = 8 + 1$

خطوة 1.5

أضف $8$ و $1$ .

$- 9 x^{2} + {(y + 1)}^{2} = 9$

خطوة 1.6

اقسِم كل حد على $9$ ليصبح الطرف الأيمن مساويًا لواحد.

$- \frac{9 x^{2}}{9} + \frac{{(y + 1)}^{2}}{9} = \frac{9}{9}$

خطوة 1.7

بسّط كل حد في المعادلة لتعيين قيمة الطرف الأيمن بحيث تصبح مساوية لـ $1$ . تتطلب الصيغة القياسية للقطع الناقص أو القطع الزائد أن يكون المتعادل الأيمن $1$ .

$\frac{{(y + 1)}^{2}}{9} - \frac{x^{2}}{1} = 1$

خطوة 2

هذه الصيغة هي صيغة القطع الزائد. استخدِم هذه الصيغة لتحديد القيم المُستخدمة لإيجاد رؤوس القطع الزائد وخطوط تقاربه.

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

خطوة 3

طابِق القيم الموجودة في هذا القطع الزائد بقيم الصيغة القياسية. يمثل المتغير $h$ الإزاحة الأفقية x عن نقطة الأصل، ويمثل $k$ الإزاحة الرأسية y عن نقطة الأصل، $a$ .

$a = 3$

$b = 1$

$k = - 1$

$h = 0$

خطوة 4

أوجِد $c$ ، المسافة من المركز إلى بؤرة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أوجِد المسافة من المركز إلى بؤرة القطع الزائد باستخدام القاعدة التالية.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

خطوة 4.2

عوّض بقيمتَي $a$ و $b$ في القاعدة.

$\sqrt{{(3)}^{2} + {(1)}^{2}}$

خطوة 4.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$\sqrt{9 + {(1)}^{2}}$

خطوة 4.3.2

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\sqrt{9 + 1}$

خطوة 4.3.3

أضف $9$ و $1$ .

$\sqrt{10}$

خطوة 5

أوجِد البؤر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

يمكن إيجاد البؤرة الأولى لقطع زائد بجمع $c$ مع $k$ .

$(h, k + c)$

خطوة 5.2

عوّض بقيم $h$ و $c$ و $k$ المعروفة في القاعدة وبسّط.

$(0, - 1 + \sqrt{10})$

خطوة 5.3

يمكن إيجاد البؤرة الثانية لقطع زائد بطرح $c$ من $k$ .

$(h, k - c)$

خطوة 5.4

عوّض بقيم $h$ و $c$ و $k$ المعروفة في القاعدة وبسّط.

$(0, - 1 - \sqrt{10})$

خطوة 5.5

تتبع بؤر القطع الزائد صيغة $(h, k \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}})$ . القطوع الزائدة لها بؤرتان.

$(0, - 1 + \sqrt{10}), (0, - 1 - \sqrt{10})$

خطوة 6