حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$81 x^{2} + 25 y^{2} + 810 x - 450 y + 2025 = 0$

خطوة 1

Solve the equation as $y$ in terms of $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

استخدِم الصيغة التربيعية لإيجاد الحلول.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

خطوة 1.2

عوّض بقيم $a = 25$ و $b = - 450$ و $c = 81 x^{2} + 810 x + 2025$ في الصيغة التربيعية وأوجِد قيمة $y$ .

$\frac{450 \pm \sqrt{{(- 450)}^{2} - 4 \cdot (25 \cdot (81 x^{2} + 810 x + 2025))}}{2 \cdot 25}$

خطوة 1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1.1

أعِد كتابة $4 \cdot 25 \cdot (81 x^{2} + 810 x + 2025)$ بالصيغة ${(2 \cdot 5 \cdot (9 x + 45))}^{2}$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{{(- 450)}^{2} - {(2 \cdot 5 \cdot (9 x + 45))}^{2}}}{2 \cdot 25}$

خطوة 1.3.1.2

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = - 450$ و $b = 2 \cdot 5 \cdot (9 x + 45)$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{(- 450 + 2 \cdot 5 \cdot (9 x + 45)) (- 450 - (2 \cdot 5 \cdot (9 x + 45)))}}{2 \cdot 25}$

خطوة 1.3.1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1.3.1

اضرب $2$ في $5$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{(- 450 + 10 \cdot (9 x + 45)) (- 450 - (2 \cdot 5 \cdot (9 x + 45)))}}{2 \cdot 25}$

خطوة 1.3.1.3.2

طبّق خاصية التوزيع.

$y = \frac{450 \pm \sqrt{(- 450 + 10 (9 x) + 10 \cdot 45) (- 450 - (2 \cdot 5 \cdot (9 x + 45)))}}{2 \cdot 25}$

خطوة 1.3.1.3.3

اضرب $9$ في $10$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{(- 450 + 90 x + 10 \cdot 45) (- 450 - (2 \cdot 5 \cdot (9 x + 45)))}}{2 \cdot 25}$

خطوة 1.3.1.3.4

اضرب $10$ في $45$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{(- 450 + 90 x + 450) (- 450 - (2 \cdot 5 \cdot (9 x + 45)))}}{2 \cdot 25}$

خطوة 1.3.1.3.5

أضف $- 450$ و $450$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{(90 x + 0) (- 450 - (2 \cdot 5 \cdot (9 x + 45)))}}{2 \cdot 25}$

خطوة 1.3.1.3.6

أضف $90 x$ و $0$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{90 x (- 450 - (2 \cdot 5 \cdot (9 x + 45)))}}{2 \cdot 25}$

خطوة 1.3.1.3.7

اجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1.3.7.1

اضرب $2$ في $5$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{90 x (- 450 - (10 \cdot (9 x + 45)))}}{2 \cdot 25}$

خطوة 1.3.1.3.7.2

اضرب $10$ في $- 1$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{90 x (- 450 - 10 (9 x + 45))}}{2 \cdot 25}$

خطوة 1.3.1.4

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y = \frac{450 \pm \sqrt{90 x (- 450 - 10 (9 x) - 10 \cdot 45)}}{2 \cdot 25}$

خطوة 1.3.1.4.2

اضرب $9$ في $- 10$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{90 x (- 450 - 90 x - 10 \cdot 45)}}{2 \cdot 25}$

خطوة 1.3.1.4.3

اضرب $- 10$ في $45$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{90 x (- 450 - 90 x - 450)}}{2 \cdot 25}$

خطوة 1.3.1.5

اطرح $450$ من $- 450$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{90 x (- 90 x - 900)}}{2 \cdot 25}$

خطوة 1.3.1.6

أخرِج العامل $90$ من $- 90 x - 900$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1.6.1

أخرِج العامل $90$ من $- 90 x$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{90 x (90 (- x) - 900)}}{2 \cdot 25}$

خطوة 1.3.1.6.2

أخرِج العامل $90$ من $- 900$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{90 x (90 (- x) + 90 (- 10))}}{2 \cdot 25}$

خطوة 1.3.1.6.3

أخرِج العامل $90$ من $90 (- x) + 90 (- 10)$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{90 x (90 (- x - 10))}}{2 \cdot 25}$

$y = \frac{450 \pm \sqrt{90 x \cdot (90 (- x - 10))}}{2 \cdot 25}$

خطوة 1.3.1.7

اضرب $90$ في $90$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{8100 x (- x - 10)}}{2 \cdot 25}$

خطوة 1.3.1.8

أعِد كتابة $8100 x (- x - 10)$ بالصيغة $90^{2} (x (- x - 10))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1.8.1

أعِد كتابة $8100$ بالصيغة $90^{2}$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{90^{2} x (- x - 10)}}{2 \cdot 25}$

خطوة 1.3.1.8.2

أضف الأقواس.

$y = \frac{450 \pm \sqrt{90^{2} (x (- x - 10))}}{2 \cdot 25}$

خطوة 1.3.1.9

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$y = \frac{450 \pm 90 \sqrt{x (- x - 10)}}{2 \cdot 25}$

خطوة 1.3.2

اضرب $2$ في $25$ .

$y = \frac{450 \pm 90 \sqrt{x (- x - 10)}}{50}$

خطوة 1.3.3

بسّط $\frac{450 \pm 90 \sqrt{x (- x - 10)}}{50}$ .

$y = \frac{45 \pm 9 \sqrt{x (- x - 10)}}{5}$

خطوة 1.4

بسّط العبارة لإيجاد قيمة الجزء $+$ من $\pm$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.1

أعِد كتابة $4 \cdot 25 \cdot (81 x^{2} + 810 x + 2025)$ بالصيغة ${(2 \cdot 5 \cdot (9 x + 45))}^{2}$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{{(- 450)}^{2} - {(2 \cdot 5 \cdot (9 x + 45))}^{2}}}{2 \cdot 25}$

خطوة 1.4.1.2

$y = \frac{450 \pm \sqrt{(- 450 + 2 \cdot 5 \cdot (9 x + 45)) (- 450 - (2 \cdot 5 \cdot (9 x + 45)))}}{2 \cdot 25}$

خطوة 1.4.1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.3.1

اضرب $2$ في $5$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{(- 450 + 10 \cdot (9 x + 45)) (- 450 - (2 \cdot 5 \cdot (9 x + 45)))}}{2 \cdot 25}$

خطوة 1.4.1.3.2

طبّق خاصية التوزيع.

$y = \frac{450 \pm \sqrt{(- 450 + 10 (9 x) + 10 \cdot 45) (- 450 - (2 \cdot 5 \cdot (9 x + 45)))}}{2 \cdot 25}$

خطوة 1.4.1.3.3

اضرب $9$ في $10$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{(- 450 + 90 x + 10 \cdot 45) (- 450 - (2 \cdot 5 \cdot (9 x + 45)))}}{2 \cdot 25}$

خطوة 1.4.1.3.4

اضرب $10$ في $45$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{(- 450 + 90 x + 450) (- 450 - (2 \cdot 5 \cdot (9 x + 45)))}}{2 \cdot 25}$

خطوة 1.4.1.3.5

أضف $- 450$ و $450$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{(90 x + 0) (- 450 - (2 \cdot 5 \cdot (9 x + 45)))}}{2 \cdot 25}$

خطوة 1.4.1.3.6

أضف $90 x$ و $0$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{90 x (- 450 - (2 \cdot 5 \cdot (9 x + 45)))}}{2 \cdot 25}$

خطوة 1.4.1.3.7

اجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.3.7.1

اضرب $2$ في $5$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{90 x (- 450 - (10 \cdot (9 x + 45)))}}{2 \cdot 25}$

خطوة 1.4.1.3.7.2

اضرب $10$ في $- 1$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{90 x (- 450 - 10 (9 x + 45))}}{2 \cdot 25}$

خطوة 1.4.1.4

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y = \frac{450 \pm \sqrt{90 x (- 450 - 10 (9 x) - 10 \cdot 45)}}{2 \cdot 25}$

خطوة 1.4.1.4.2

اضرب $9$ في $- 10$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{90 x (- 450 - 90 x - 10 \cdot 45)}}{2 \cdot 25}$

خطوة 1.4.1.4.3

اضرب $- 10$ في $45$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{90 x (- 450 - 90 x - 450)}}{2 \cdot 25}$

خطوة 1.4.1.5

اطرح $450$ من $- 450$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{90 x (- 90 x - 900)}}{2 \cdot 25}$

خطوة 1.4.1.6

أخرِج العامل $90$ من $- 90 x - 900$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.6.1

أخرِج العامل $90$ من $- 90 x$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{90 x (90 (- x) - 900)}}{2 \cdot 25}$

خطوة 1.4.1.6.2

أخرِج العامل $90$ من $- 900$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{90 x (90 (- x) + 90 (- 10))}}{2 \cdot 25}$

خطوة 1.4.1.6.3

أخرِج العامل $90$ من $90 (- x) + 90 (- 10)$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{90 x (90 (- x - 10))}}{2 \cdot 25}$

$y = \frac{450 \pm \sqrt{90 x \cdot (90 (- x - 10))}}{2 \cdot 25}$

خطوة 1.4.1.7

اضرب $90$ في $90$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{8100 x (- x - 10)}}{2 \cdot 25}$

خطوة 1.4.1.8

أعِد كتابة $8100 x (- x - 10)$ بالصيغة $90^{2} (x (- x - 10))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.8.1

أعِد كتابة $8100$ بالصيغة $90^{2}$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{90^{2} x (- x - 10)}}{2 \cdot 25}$

خطوة 1.4.1.8.2

أضف الأقواس.

$y = \frac{450 \pm \sqrt{90^{2} (x (- x - 10))}}{2 \cdot 25}$

خطوة 1.4.1.9

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$y = \frac{450 \pm 90 \sqrt{x (- x - 10)}}{2 \cdot 25}$

خطوة 1.4.2

اضرب $2$ في $25$ .

$y = \frac{450 \pm 90 \sqrt{x (- x - 10)}}{50}$

خطوة 1.4.3

بسّط $\frac{450 \pm 90 \sqrt{x (- x - 10)}}{50}$ .

$y = \frac{45 \pm 9 \sqrt{x (- x - 10)}}{5}$

خطوة 1.4.4

غيّر $\pm$ إلى $+$ .

$y = \frac{45 + 9 \sqrt{x (- x - 10)}}{5}$

خطوة 1.4.5

أخرِج العامل $9$ من $45 + 9 \sqrt{x (- x - 10)}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.5.1

أخرِج العامل $9$ من $45$ .

$y = \frac{9 \cdot 5 + 9 \sqrt{x (- x - 10)}}{5}$

خطوة 1.4.5.2

أخرِج العامل $9$ من $9 \cdot 5 + 9 \sqrt{x (- x - 10)}$ .

$y = \frac{9 (5 + \sqrt{x (- x - 10)})}{5}$

خطوة 1.5

بسّط العبارة لإيجاد قيمة الجزء $-$ من $\pm$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1.1

أعِد كتابة $4 \cdot 25 \cdot (81 x^{2} + 810 x + 2025)$ بالصيغة ${(2 \cdot 5 \cdot (9 x + 45))}^{2}$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{{(- 450)}^{2} - {(2 \cdot 5 \cdot (9 x + 45))}^{2}}}{2 \cdot 25}$

خطوة 1.5.1.2

$y = \frac{450 \pm \sqrt{(- 450 + 2 \cdot 5 \cdot (9 x + 45)) (- 450 - (2 \cdot 5 \cdot (9 x + 45)))}}{2 \cdot 25}$

خطوة 1.5.1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1.3.1

اضرب $2$ في $5$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{(- 450 + 10 \cdot (9 x + 45)) (- 450 - (2 \cdot 5 \cdot (9 x + 45)))}}{2 \cdot 25}$

خطوة 1.5.1.3.2

طبّق خاصية التوزيع.

$y = \frac{450 \pm \sqrt{(- 450 + 10 (9 x) + 10 \cdot 45) (- 450 - (2 \cdot 5 \cdot (9 x + 45)))}}{2 \cdot 25}$

خطوة 1.5.1.3.3

اضرب $9$ في $10$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{(- 450 + 90 x + 10 \cdot 45) (- 450 - (2 \cdot 5 \cdot (9 x + 45)))}}{2 \cdot 25}$

خطوة 1.5.1.3.4

اضرب $10$ في $45$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{(- 450 + 90 x + 450) (- 450 - (2 \cdot 5 \cdot (9 x + 45)))}}{2 \cdot 25}$

خطوة 1.5.1.3.5

أضف $- 450$ و $450$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{(90 x + 0) (- 450 - (2 \cdot 5 \cdot (9 x + 45)))}}{2 \cdot 25}$

خطوة 1.5.1.3.6

أضف $90 x$ و $0$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{90 x (- 450 - (2 \cdot 5 \cdot (9 x + 45)))}}{2 \cdot 25}$

خطوة 1.5.1.3.7

اجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1.3.7.1

اضرب $2$ في $5$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{90 x (- 450 - (10 \cdot (9 x + 45)))}}{2 \cdot 25}$

خطوة 1.5.1.3.7.2

اضرب $10$ في $- 1$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{90 x (- 450 - 10 (9 x + 45))}}{2 \cdot 25}$

خطوة 1.5.1.4

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y = \frac{450 \pm \sqrt{90 x (- 450 - 10 (9 x) - 10 \cdot 45)}}{2 \cdot 25}$

خطوة 1.5.1.4.2

اضرب $9$ في $- 10$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{90 x (- 450 - 90 x - 10 \cdot 45)}}{2 \cdot 25}$

خطوة 1.5.1.4.3

اضرب $- 10$ في $45$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{90 x (- 450 - 90 x - 450)}}{2 \cdot 25}$

خطوة 1.5.1.5

اطرح $450$ من $- 450$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{90 x (- 90 x - 900)}}{2 \cdot 25}$

خطوة 1.5.1.6

أخرِج العامل $90$ من $- 90 x - 900$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1.6.1

أخرِج العامل $90$ من $- 90 x$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{90 x (90 (- x) - 900)}}{2 \cdot 25}$

خطوة 1.5.1.6.2

أخرِج العامل $90$ من $- 900$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{90 x (90 (- x) + 90 (- 10))}}{2 \cdot 25}$

خطوة 1.5.1.6.3

أخرِج العامل $90$ من $90 (- x) + 90 (- 10)$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{90 x (90 (- x - 10))}}{2 \cdot 25}$

$y = \frac{450 \pm \sqrt{90 x \cdot (90 (- x - 10))}}{2 \cdot 25}$

خطوة 1.5.1.7

اضرب $90$ في $90$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{8100 x (- x - 10)}}{2 \cdot 25}$

خطوة 1.5.1.8

أعِد كتابة $8100 x (- x - 10)$ بالصيغة $90^{2} (x (- x - 10))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1.8.1

أعِد كتابة $8100$ بالصيغة $90^{2}$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{90^{2} x (- x - 10)}}{2 \cdot 25}$

خطوة 1.5.1.8.2

أضف الأقواس.

$y = \frac{450 \pm \sqrt{90^{2} (x (- x - 10))}}{2 \cdot 25}$

خطوة 1.5.1.9

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$y = \frac{450 \pm 90 \sqrt{x (- x - 10)}}{2 \cdot 25}$

خطوة 1.5.2

اضرب $2$ في $25$ .

$y = \frac{450 \pm 90 \sqrt{x (- x - 10)}}{50}$

خطوة 1.5.3

بسّط $\frac{450 \pm 90 \sqrt{x (- x - 10)}}{50}$ .

$y = \frac{45 \pm 9 \sqrt{x (- x - 10)}}{5}$

خطوة 1.5.4

غيّر $\pm$ إلى $-$ .

$y = \frac{45 - 9 \sqrt{x (- x - 10)}}{5}$

خطوة 1.5.5

أخرِج العامل $9$ من $45 - 9 \sqrt{x (- x - 10)}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.5.1

أخرِج العامل $9$ من $45$ .

$y = \frac{9 (5) - 9 \sqrt{x (- x - 10)}}{5}$

خطوة 1.5.5.2

أخرِج العامل $9$ من $- 9 \sqrt{x (- x - 10)}$ .

$y = \frac{9 (5) + 9 (- \sqrt{x (- x - 10)})}{5}$

خطوة 1.5.5.3

أخرِج العامل $9$ من $9 (5) + 9 (- \sqrt{x (- x - 10)})$ .

$y = \frac{9 (5 - \sqrt{x (- x - 10)})}{5}$

خطوة 1.6

الإجابة النهائية هي تركيبة من كلا الحلّين.

$y = \frac{9 (5 + \sqrt{x (- x - 10)})}{5}$

$y = \frac{9 (5 - \sqrt{x (- x - 10)})}{5}$

$y = \frac{9 (5 + \sqrt{x (- x - 10)})}{5}$

$y = \frac{9 (5 - \sqrt{x (- x - 10)})}{5}$

خطوة 2

Set each solution of $y$ as a function of $x$ .

$y = \frac{9 (5 + \sqrt{x (- x - 10)})}{5} \to f (x) = \frac{9 (5 + \sqrt{x (- x - 10)})}{5}$

$y = \frac{9 (5 - \sqrt{x (- x - 10)})}{5} \to f (x) = \frac{9 (5 - \sqrt{x (- x - 10)})}{5}$

خطوة 3

Because the $y$ variable in the equation $81 x^{2} + 25 y^{2} + 810 x - 450 y + 2025 = 0$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (81 x^{2} + 25 y^{2} + 810 x - 450 y + 2025) = \frac{d}{d x} (0)$

خطوة 3.2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $81 x^{2} + 25 y^{2} + 810 x - 450 y + 2025$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [81 x^{2}] + \frac{d}{d x} [25 y^{2}] + \frac{d}{d x} [810 x] + \frac{d}{d x} [- 450 y] + \frac{d}{d x} [2025]$ .

$\frac{d}{d x} [81 x^{2}] + \frac{d}{d x} [25 y^{2}] + \frac{d}{d x} [810 x] + \frac{d}{d x} [- 450 y] + \frac{d}{d x} [2025]$

خطوة 3.2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [81 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

بما أن $81$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $81 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $81 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$81 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [25 y^{2}] + \frac{d}{d x} [810 x] + \frac{d}{d x} [- 450 y] + \frac{d}{d x} [2025]$

خطوة 3.2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$81 (2 x) + \frac{d}{d x} [25 y^{2}] + \frac{d}{d x} [810 x] + \frac{d}{d x} [- 450 y] + \frac{d}{d x} [2025]$

خطوة 3.2.2.3

اضرب $2$ في $81$ .

$162 x + \frac{d}{d x} [25 y^{2}] + \frac{d}{d x} [810 x] + \frac{d}{d x} [- 450 y] + \frac{d}{d x} [2025]$

خطوة 3.2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [25 y^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.3.1

بما أن $25$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $25 y^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $25 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$162 x + 25 \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [810 x] + \frac{d}{d x} [- 450 y] + \frac{d}{d x} [2025]$

خطوة 3.2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $y$ .

$162 x + 25 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [810 x] + \frac{d}{d x} [- 450 y] + \frac{d}{d x} [2025]$

خطوة 3.2.3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$162 x + 25 (2 u \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [810 x] + \frac{d}{d x} [- 450 y] + \frac{d}{d x} [2025]$

خطوة 3.2.3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y$ .

$162 x + 25 (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [810 x] + \frac{d}{d x} [- 450 y] + \frac{d}{d x} [2025]$

خطوة 3.2.3.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$162 x + 25 (2 y y') + \frac{d}{d x} [810 x] + \frac{d}{d x} [- 450 y] + \frac{d}{d x} [2025]$

خطوة 3.2.3.4

اضرب $2$ في $25$ .

$162 x + 50 y y' + \frac{d}{d x} [810 x] + \frac{d}{d x} [- 450 y] + \frac{d}{d x} [2025]$

خطوة 3.2.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [810 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.4.1

بما أن $810$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $810 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $810 \frac{d}{d x} [x]$ .

$162 x + 50 y y' + 810 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 450 y] + \frac{d}{d x} [2025]$

خطوة 3.2.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$162 x + 50 y y' + 810 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 450 y] + \frac{d}{d x} [2025]$

خطوة 3.2.4.3

اضرب $810$ في $1$ .

$162 x + 50 y y' + 810 + \frac{d}{d x} [- 450 y] + \frac{d}{d x} [2025]$

خطوة 3.2.5

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 450 y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.5.1

بما أن $- 450$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 450 y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 450 \frac{d}{d x} [y]$ .

$162 x + 50 y y' + 810 - 450 \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [2025]$

خطوة 3.2.5.2

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$162 x + 50 y y' + 810 - 450 y' + \frac{d}{d x} [2025]$

خطوة 3.2.6

بما أن $2025$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $2025$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$162 x + 50 y y' + 810 - 450 y' + 0$

خطوة 3.2.7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.7.1

أضف $162 x + 50 y y' + 810 - 450 y'$ و $0$ .

$162 x + 50 y y' + 810 - 450 y'$

خطوة 3.2.7.2

أعِد ترتيب الحدود.

$50 y y' + 162 x + 810 - 450 y'$

خطوة 3.3

بما أن $0$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $0$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0$

خطوة 3.4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$50 y y' + 162 x + 810 - 450 y' = 0$

خطوة 3.5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y'$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1.1

اطرح $162 x$ من كلا المتعادلين.

$50 y y' + 810 - 450 y' = - 162 x$

خطوة 3.5.1.2

اطرح $810$ من كلا المتعادلين.

$50 y y' - 450 y' = - 162 x - 810$

خطوة 3.5.2

أخرِج العامل $50 y'$ من $50 y y' - 450 y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1

أخرِج العامل $50 y'$ من $50 y y'$ .

$50 y' y - 450 y' = - 162 x - 810$

خطوة 3.5.2.2

أخرِج العامل $50 y'$ من $- 450 y'$ .

$50 y' y + 50 y' \cdot - 9 = - 162 x - 810$

خطوة 3.5.2.3

أخرِج العامل $50 y'$ من $50 y' y + 50 y' \cdot - 9$ .

$50 y' (y - 9) = - 162 x - 810$

خطوة 3.5.3

اقسِم كل حد في $50 y' (y - 9) = - 162 x - 810$ على $50 (y - 9)$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.3.1

اقسِم كل حد في $50 y' (y - 9) = - 162 x - 810$ على $50 (y - 9)$ .

$\frac{50 y' (y - 9)}{50 (y - 9)} = \frac{- 162 x}{50 (y - 9)} + \frac{- 810}{50 (y - 9)}$

خطوة 3.5.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $50$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{50 y' (y - 9)}{50 (y - 9)} = \frac{- 162 x}{50 (y - 9)} + \frac{- 810}{50 (y - 9)}$

خطوة 3.5.3.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y' (y - 9)}{y - 9} = \frac{- 162 x}{50 (y - 9)} + \frac{- 810}{50 (y - 9)}$

خطوة 3.5.3.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $y - 9$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.3.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y' (y - 9)}{y - 9} = \frac{- 162 x}{50 (y - 9)} + \frac{- 810}{50 (y - 9)}$

خطوة 3.5.3.2.2.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{- 162 x}{50 (y - 9)} + \frac{- 810}{50 (y - 9)}$

خطوة 3.5.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.3.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.3.3.1.1

احذِف العامل المشترك لـ $- 162$ و $50$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.3.3.1.1.1

أخرِج العامل $2$ من $- 162 x$ .

$y' = \frac{2 (- 81 x)}{50 (y - 9)} + \frac{- 810}{50 (y - 9)}$

خطوة 3.5.3.3.1.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.3.3.1.1.2.1

أخرِج العامل $2$ من $50 (y - 9)$ .

$y' = \frac{2 (- 81 x)}{2 (25 (y - 9))} + \frac{- 810}{50 (y - 9)}$

خطوة 3.5.3.3.1.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y' = \frac{2 (- 81 x)}{2 (25 (y - 9))} + \frac{- 810}{50 (y - 9)}$

خطوة 3.5.3.3.1.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y' = \frac{- 81 x}{25 (y - 9)} + \frac{- 810}{50 (y - 9)}$

خطوة 3.5.3.3.1.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = - \frac{81 x}{25 (y - 9)} + \frac{- 810}{50 (y - 9)}$

خطوة 3.5.3.3.1.3

احذِف العامل المشترك لـ $- 810$ و $50$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.3.3.1.3.1

أخرِج العامل $10$ من $- 810$ .

$y' = - \frac{81 x}{25 (y - 9)} + \frac{10 (- 81)}{50 (y - 9)}$

خطوة 3.5.3.3.1.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.3.3.1.3.2.1

أخرِج العامل $10$ من $50 (y - 9)$ .

$y' = - \frac{81 x}{25 (y - 9)} + \frac{10 (- 81)}{10 (5 (y - 9))}$

خطوة 3.5.3.3.1.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y' = - \frac{81 x}{25 (y - 9)} + \frac{10 \cdot - 81}{10 (5 (y - 9))}$

خطوة 3.5.3.3.1.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y' = - \frac{81 x}{25 (y - 9)} + \frac{- 81}{5 (y - 9)}$

خطوة 3.5.3.3.1.4

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = - \frac{81 x}{25 (y - 9)} - \frac{81}{5 (y - 9)}$

خطوة 3.6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{81 x}{25 (y - 9)} - \frac{81}{5 (y - 9)}$

خطوة 4

عيّن قيمة المشتق بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم حل المعادلة $- \frac{81 x}{25 (y - 9)} - \frac{81}{5 (y - 9)} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أضف $\frac{81}{5 (y - 9)}$ إلى كلا المتعادلين.

$- \frac{81 x}{25 (y - 9)} = \frac{81}{5 (y - 9)}$

خطوة 4.2

اقسِم كل حد في $- \frac{81 x}{25 (y - 9)} = \frac{81}{5 (y - 9)}$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

اقسِم كل حد في $- \frac{81 x}{25 (y - 9)} = \frac{81}{5 (y - 9)}$ على $- 1$ .

$\frac{- \frac{81 x}{25 (y - 9)}}{- 1} = \frac{\frac{81}{5 (y - 9)}}{- 1}$

خطوة 4.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{\frac{81 x}{25 (y - 9)}}{1} = \frac{\frac{81}{5 (y - 9)}}{- 1}$

خطوة 4.2.2.2

اقسِم $\frac{81 x}{25 (y - 9)}$ على $1$ .

$\frac{81 x}{25 (y - 9)} = \frac{\frac{81}{5 (y - 9)}}{- 1}$

خطوة 4.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.1

انقُل العدد سالب واحد من قاسم $\frac{\frac{81}{5 (y - 9)}}{- 1}$ .

$\frac{81 x}{25 (y - 9)} = - 1 \cdot \frac{81}{5 (y - 9)}$

خطوة 4.2.3.2

أعِد كتابة $- 1 \cdot \frac{81}{5 (y - 9)}$ بالصيغة $- \frac{81}{5 (y - 9)}$ .

$\frac{81 x}{25 (y - 9)} = - \frac{81}{5 (y - 9)}$

خطوة 4.3

اضرب كلا الطرفين في $25 (y - 9)$ .

$\frac{81 x}{25 (y - 9)} (25 (y - 9)) = - \frac{81}{5 (y - 9)} (25 (y - 9))$

خطوة 4.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.1.1

بسّط $\frac{81 x}{25 (y - 9)} (25 (y - 9))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.1.1.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$25 \frac{81 x}{25 (y - 9)} (y - 9) = - \frac{81}{5 (y - 9)} (25 (y - 9))$

خطوة 4.4.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $25$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$25 \frac{81 x}{25 (y - 9)} (y - 9) = - \frac{81}{5 (y - 9)} (25 (y - 9))$

خطوة 4.4.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{81 x}{y - 9} (y - 9) = - \frac{81}{5 (y - 9)} (25 (y - 9))$

خطوة 4.4.1.1.3

ألغِ العامل المشترك لـ $y - 9$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.1.1.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{81 x}{y - 9} (y - 9) = - \frac{81}{5 (y - 9)} (25 (y - 9))$

خطوة 4.4.1.1.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$81 x = - \frac{81}{5 (y - 9)} (25 (y - 9))$

خطوة 4.4.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.2.1

بسّط $- \frac{81}{5 (y - 9)} (25 (y - 9))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $5 (y - 9)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.2.1.1.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{81}{5 (y - 9)}$ إلى بسط الكسر.

$81 x = \frac{- 81}{5 (y - 9)} (25 (y - 9))$

خطوة 4.4.2.1.1.2

أخرِج العامل $5 (y - 9)$ من $25 (y - 9)$ .

$81 x = \frac{- 81}{5 (y - 9)} (5 (y - 9) (5))$

خطوة 4.4.2.1.1.3

ألغِ العامل المشترك.

$81 x = \frac{- 81}{5 (y - 9)} (5 (y - 9) \cdot 5)$

خطوة 4.4.2.1.1.4

أعِد كتابة العبارة.

$81 x = - 81 \cdot 5$

خطوة 4.4.2.1.2

اضرب $- 81$ في $5$ .

$81 x = - 405$

خطوة 4.5

اقسِم كل حد في $81 x = - 405$ على $81$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.1

اقسِم كل حد في $81 x = - 405$ على $81$ .

$\frac{81 x}{81} = \frac{- 405}{81}$

خطوة 4.5.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $81$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{81 x}{81} = \frac{- 405}{81}$

خطوة 4.5.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{- 405}{81}$

خطوة 4.5.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.3.1

اقسِم $- 405$ على $81$ .

$x = - 5$

خطوة 5

Solve the function $f (x) = \frac{9 (5 + \sqrt{x (- x - 10)})}{5}$ at $x = - 5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 5$ في العبارة.

$f (- 5) = \frac{9 (5 + \sqrt{(- 5) (- (- 5) - 10)})}{5}$

خطوة 5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

اضرب $- 1$ في $- 5$ .

$f (- 5) = \frac{9 (5 + \sqrt{- 5 (5 - 10)})}{5}$

خطوة 5.2.1.2

اطرح $10$ من $5$ .

$f (- 5) = \frac{9 (5 + \sqrt{- 5 \cdot - 5})}{5}$

خطوة 5.2.1.3

اضرب $- 5$ في $- 5$ .

$f (- 5) = \frac{9 (5 + \sqrt{25})}{5}$

خطوة 5.2.1.4

أعِد كتابة $25$ بالصيغة $5^{2}$ .

$f (- 5) = \frac{9 (5 + \sqrt{5^{2}})}{5}$

خطوة 5.2.1.5

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$f (- 5) = \frac{9 (5 + 5)}{5}$

خطوة 5.2.1.6

أضف $5$ و $5$ .

$f (- 5) = \frac{9 \cdot 10}{5}$

خطوة 5.2.2

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

اضرب $9$ في $10$ .

$f (- 5) = \frac{90}{5}$

خطوة 5.2.2.2

اقسِم $90$ على $5$ .

$f (- 5) = 18$

خطوة 5.2.3

الإجابة النهائية هي $18$ .

$18$

خطوة 6

Solve the function $f (x) = \frac{9 (5 - \sqrt{x (- x - 10)})}{5}$ at $x = - 5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 5$ في العبارة.

$f (- 5) = \frac{9 (5 - \sqrt{(- 5) (- (- 5) - 10)})}{5}$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

اضرب $- 1$ في $- 5$ .

$f (- 5) = \frac{9 (5 - \sqrt{- 5 (5 - 10)})}{5}$

خطوة 6.2.1.2

اطرح $10$ من $5$ .

$f (- 5) = \frac{9 (5 - \sqrt{- 5 \cdot - 5})}{5}$

خطوة 6.2.1.3

اضرب $- 5$ في $- 5$ .

$f (- 5) = \frac{9 (5 - \sqrt{25})}{5}$

خطوة 6.2.1.4

أعِد كتابة $25$ بالصيغة $5^{2}$ .

$f (- 5) = \frac{9 (5 - \sqrt{5^{2}})}{5}$

خطوة 6.2.1.5

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$f (- 5) = \frac{9 (5 - 1 \cdot 5)}{5}$

خطوة 6.2.1.6

اضرب $- 1$ في $5$ .

$f (- 5) = \frac{9 (5 - 5)}{5}$

خطوة 6.2.1.7

اطرح $5$ من $5$ .

$f (- 5) = \frac{9 \cdot 0}{5}$

خطوة 6.2.2

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

اضرب $9$ في $0$ .

$f (- 5) = \frac{0}{5}$

خطوة 6.2.2.2

اقسِم $0$ على $5$ .

$f (- 5) = 0$

خطوة 6.2.3

الإجابة النهائية هي $0$ .

$0$

خطوة 7

The horizontal tangent lines are $y = 18, y = 0$

$y = 18, y = 0$

خطوة 8