حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = 2 \cos (x) + \cos^{2} (x)$

خطوة 1

عيّن $y$ كدالة لـ $x$ .

$f (x) = 2 \cos (x) + \cos^{2} (x)$

خطوة 2

أوجِد المشتق.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 \cos (x) + \cos^{2} (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 \cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

خطوة 2.2.2

مشتق $\cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \sin (x)$ .

$2 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

خطوة 2.2.3

اضرب $- 1$ في $2$ .

$- 2 \sin (x) + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = \cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $\cos (x)$ .

$- 2 \sin (x) + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

خطوة 2.3.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$- 2 \sin (x) + 2 u \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

خطوة 2.3.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\cos (x)$ .

$- 2 \sin (x) + 2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

خطوة 2.3.2

مشتق $\cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \sin (x)$ .

$- 2 \sin (x) + 2 \cos (x) (- \sin (x))$

خطوة 2.3.3

اضرب $- 1$ في $2$ .

$- 2 \sin (x) - 2 \cos (x) \sin (x)$

خطوة 2.4

أعِد ترتيب الحدود.

$- 2 \cos (x) \sin (x) - 2 \sin (x)$

خطوة 3

عيّن قيمة المشتق بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم حل المعادلة $- 2 \cos (x) \sin (x) - 2 \sin (x) = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أخرِج العامل $2 \sin (x)$ من $- 2 \cos (x) \sin (x) - 2 \sin (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

أخرِج العامل $2 \sin (x)$ من $- 2 \cos (x) \sin (x)$ .

$2 \sin (x) (- \cos (x)) - 2 \sin (x) = 0$

خطوة 3.1.2

أخرِج العامل $2 \sin (x)$ من $- 2 \sin (x)$ .

$2 \sin (x) (- \cos (x)) + 2 \sin (x) \cdot - 1 = 0$

خطوة 3.1.3

أخرِج العامل $2 \sin (x)$ من $2 \sin (x) (- \cos (x)) + 2 \sin (x) \cdot - 1$ .

$2 \sin (x) (- \cos (x) - 1) = 0$

خطوة 3.2

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$\sin (x) = 0$

$- \cos (x) - 1 = 0$

خطوة 3.3

عيّن قيمة العبارة $\sin (x)$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

عيّن قيمة $\sin (x)$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\sin (x) = 0$

خطوة 3.3.2

أوجِد قيمة $x$ في $\sin (x) = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

خُذ الجيب العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل الجيب.

$x = \arcsin (0)$

خطوة 3.3.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.2.1

القيمة الدقيقة لـ $\arcsin (0)$ هي $0$ .

$x = 0$

خطوة 3.3.2.3

دالة الجيب موجبة في الربعين الأول والثاني. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $π$ لإيجاد الحل في الربع الثاني.

$x = π - 0$

خطوة 3.3.2.4

اطرح $0$ من $π$ .

$x = π$

خطوة 3.3.2.5

أوجِد فترة $\sin (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.5.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 3.3.2.5.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 3.3.2.5.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 3.3.2.5.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 3.3.2.6

فترة دالة $\sin (x)$ هي $2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 3.4

عيّن قيمة العبارة $- \cos (x) - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

عيّن قيمة $- \cos (x) - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$- \cos (x) - 1 = 0$

خطوة 3.4.2

أوجِد قيمة $x$ في $- \cos (x) - 1 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$- \cos (x) = 1$

خطوة 3.4.2.2

اقسِم كل حد في $- \cos (x) = 1$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.2.1

اقسِم كل حد في $- \cos (x) = 1$ على $- 1$ .

$\frac{- \cos (x)}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

خطوة 3.4.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.2.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{\cos (x)}{1} = \frac{1}{- 1}$

خطوة 3.4.2.2.2.2

اقسِم $\cos (x)$ على $1$ .

$\cos (x) = \frac{1}{- 1}$

خطوة 3.4.2.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.2.3.1

اقسِم $1$ على $- 1$ .

$\cos (x) = - 1$

خطوة 3.4.2.3

خُذ جيب التمام العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل جيب التمام.

$x = \arccos (- 1)$

خطوة 3.4.2.4

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.4.1

القيمة الدقيقة لـ $\arccos (- 1)$ هي $π$ .

$x = π$

خطوة 3.4.2.5

دالة جيب التمام سالبة في الربعين الثاني والثالث. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $2 π$ لإيجاد الحل في الربع الثالث.

$x = 2 π - π$

خطوة 3.4.2.6

اطرح $π$ من $2 π$ .

$x = π$

خطوة 3.4.2.7

أوجِد فترة $\cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.7.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 3.4.2.7.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 3.4.2.7.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 3.4.2.7.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 3.4.2.8

فترة دالة $\cos (x)$ هي $2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = π + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 3.5

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $2 \sin (x) (- \cos (x) - 1) = 0$ صحيحة.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 3.6

وحّد الإجابات.

$x = π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 4

أوجِد حل الدالة الأصلية $f (x) = 2 \cos (x) + \cos^{2} (x)$ عند $x = π$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

$f (π) = 2 \cos (π) + \cos^{2} (π)$

خطوة 4.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول. اجعل العبارة سالبة لأن جيب التمام سالب في الربع الثاني.

$f (π) = 2 (- \cos (0)) + \cos^{2} (π)$

خطوة 4.2.1.2

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$f (π) = 2 (- 1 \cdot 1) + \cos^{2} (π)$

خطوة 4.2.1.3

اضرب $2 (- 1 \cdot 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.3.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$f (π) = 2 \cdot - 1 + \cos^{2} (π)$

خطوة 4.2.1.3.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$f (π) = - 2 + \cos^{2} (π)$

خطوة 4.2.1.4

$f (π) = - 2 + {(- \cos (0))}^{2}$

خطوة 4.2.1.5

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$f (π) = - 2 + {(- 1 \cdot 1)}^{2}$

خطوة 4.2.1.6

اضرب $- 1$ في $1$ .

$f (π) = - 2 + {(- 1)}^{2}$

خطوة 4.2.1.7

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$f (π) = - 2 + 1$

خطوة 4.2.2

أضف $- 2$ و $1$ .

$f (π) = - 1$

خطوة 4.2.3

الإجابة النهائية هي $- 1$ .

$- 1$

خطوة 5

خط المماس الأفقي في الدالة $f (x) = 2 \cos (x) + \cos^{2} (x)$ هو $y = x = π n, y = - 1$ .

$y = x = π n, y = - 1$

خطوة 6