حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$4 x + 5 y^{2} - y = 3$

خطوة 1

Solve the equation as $y$ in terms of $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اطرح $3$ من كلا المتعادلين.

$4 x + 5 y^{2} - y - 3 = 0$

خطوة 1.2

استخدِم الصيغة التربيعية لإيجاد الحلول.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

خطوة 1.3

عوّض بقيم $a = 5$ و $b = - 1$ و $c = 4 x - 3$ في الصيغة التربيعية وأوجِد قيمة $y$ .

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (5 \cdot (4 x - 3))}}{2 \cdot 5}$

خطوة 1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.1

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 5 \cdot (4 x - 3)}}{2 \cdot 5}$

خطوة 1.4.1.2

اضرب $- 4$ في $5$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 20 \cdot (4 x - 3)}}{2 \cdot 5}$

خطوة 1.4.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$y = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 20 (4 x) - 20 \cdot - 3}}{2 \cdot 5}$

خطوة 1.4.1.4

اضرب $4$ في $- 20$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 80 x - 20 \cdot - 3}}{2 \cdot 5}$

خطوة 1.4.1.5

اضرب $- 20$ في $- 3$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 80 x + 60}}{2 \cdot 5}$

خطوة 1.4.1.6

أضف $1$ و $60$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{- 80 x + 61}}{2 \cdot 5}$

خطوة 1.4.2

اضرب $2$ في $5$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{- 80 x + 61}}{10}$

خطوة 1.5

بسّط العبارة لإيجاد قيمة الجزء $+$ من $\pm$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1.1

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 5 \cdot (4 x - 3)}}{2 \cdot 5}$

خطوة 1.5.1.2

اضرب $- 4$ في $5$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 20 \cdot (4 x - 3)}}{2 \cdot 5}$

خطوة 1.5.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$y = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 20 (4 x) - 20 \cdot - 3}}{2 \cdot 5}$

خطوة 1.5.1.4

اضرب $4$ في $- 20$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 80 x - 20 \cdot - 3}}{2 \cdot 5}$

خطوة 1.5.1.5

اضرب $- 20$ في $- 3$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 80 x + 60}}{2 \cdot 5}$

خطوة 1.5.1.6

أضف $1$ و $60$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{- 80 x + 61}}{2 \cdot 5}$

خطوة 1.5.2

اضرب $2$ في $5$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{- 80 x + 61}}{10}$

خطوة 1.5.3

غيّر $\pm$ إلى $+$ .

$y = \frac{1 + \sqrt{- 80 x + 61}}{10}$

خطوة 1.6

بسّط العبارة لإيجاد قيمة الجزء $-$ من $\pm$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.1.1

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 5 \cdot (4 x - 3)}}{2 \cdot 5}$

خطوة 1.6.1.2

اضرب $- 4$ في $5$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 20 \cdot (4 x - 3)}}{2 \cdot 5}$

خطوة 1.6.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$y = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 20 (4 x) - 20 \cdot - 3}}{2 \cdot 5}$

خطوة 1.6.1.4

اضرب $4$ في $- 20$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 80 x - 20 \cdot - 3}}{2 \cdot 5}$

خطوة 1.6.1.5

اضرب $- 20$ في $- 3$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 80 x + 60}}{2 \cdot 5}$

خطوة 1.6.1.6

أضف $1$ و $60$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{- 80 x + 61}}{2 \cdot 5}$

خطوة 1.6.2

اضرب $2$ في $5$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{- 80 x + 61}}{10}$

خطوة 1.6.3

غيّر $\pm$ إلى $-$ .

$y = \frac{1 - \sqrt{- 80 x + 61}}{10}$

خطوة 1.7

الإجابة النهائية هي تركيبة من كلا الحلّين.

$y = \frac{1 + \sqrt{- 80 x + 61}}{10}$

$y = \frac{1 - \sqrt{- 80 x + 61}}{10}$

$y = \frac{1 + \sqrt{- 80 x + 61}}{10}$

$y = \frac{1 - \sqrt{- 80 x + 61}}{10}$

خطوة 2

Set each solution of $y$ as a function of $x$ .

$y = \frac{1 + \sqrt{- 80 x + 61}}{10} \to f (x) = \frac{1 + \sqrt{- 80 x + 61}}{10}$

$y = \frac{1 - \sqrt{- 80 x + 61}}{10} \to f (x) = \frac{1 - \sqrt{- 80 x + 61}}{10}$

خطوة 3

Because the $y$ variable in the equation $4 x + 5 y^{2} - y = 3$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (4 x + 5 y^{2} - y) = \frac{d}{d x} (3)$

خطوة 3.2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $4 x + 5 y^{2} - y$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [5 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [5 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- y]$

خطوة 3.2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- y]$

خطوة 3.2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- y]$

خطوة 3.2.2.3

اضرب $4$ في $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [5 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- y]$

خطوة 3.2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [5 y^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.3.1

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $5 y^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $5 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$4 + 5 \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- y]$

خطوة 3.2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $y$ .

$4 + 5 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- y]$

خطوة 3.2.3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$4 + 5 (2 u \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- y]$

خطوة 3.2.3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y$ .

$4 + 5 (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- y]$

خطوة 3.2.3.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$4 + 5 (2 y y') + \frac{d}{d x} [- y]$

خطوة 3.2.3.4

اضرب $2$ في $5$ .

$4 + 10 y y' + \frac{d}{d x} [- y]$

خطوة 3.2.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.4.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$4 + 10 y y' - \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 3.2.4.2

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$4 + 10 y y' - y'$

خطوة 3.2.5

أعِد ترتيب الحدود.

$10 y y' + 4 - y'$

خطوة 3.3

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $3$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0$

خطوة 3.4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$10 y y' + 4 - y' = 0$

خطوة 3.5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

اطرح $4$ من كلا المتعادلين.

$10 y y' - y' = - 4$

خطوة 3.5.2

أخرِج العامل $y'$ من $10 y y' - y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1

أخرِج العامل $y'$ من $10 y y'$ .

$y' (10 y) - y' = - 4$

خطوة 3.5.2.2

أخرِج العامل $y'$ من $- y'$ .

$y' (10 y) + y' \cdot - 1 = - 4$

خطوة 3.5.2.3

أخرِج العامل $y'$ من $y' (10 y) + y' \cdot - 1$ .

$y' (10 y - 1) = - 4$

خطوة 3.5.3

اقسِم كل حد في $y' (10 y - 1) = - 4$ على $10 y - 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.3.1

اقسِم كل حد في $y' (10 y - 1) = - 4$ على $10 y - 1$ .

$\frac{y' (10 y - 1)}{10 y - 1} = \frac{- 4}{10 y - 1}$

خطوة 3.5.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $10 y - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y' (10 y - 1)}{10 y - 1} = \frac{- 4}{10 y - 1}$

خطوة 3.5.3.2.1.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{- 4}{10 y - 1}$

خطوة 3.5.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.3.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = - \frac{4}{10 y - 1}$

خطوة 3.6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{4}{10 y - 1}$

خطوة 4

عيّن قيمة المشتق بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم حل المعادلة $- \frac{4}{10 y - 1} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$4 = 0$

خطوة 4.2

بما أن $4 \neq 0$ ، إذن لا توجد حلول.

لا يوجد حل

خطوة 5

لا يوجد حل بتعيين قيمة المشتق لتصبح مساوية لـ $0$ ، $- \frac{4}{10 y - 1} = 0$ ، إذن لا توجد خطوط مماس أفقية.

لم يتم العثور على خطوط مماس أفقية

خطوة 6