حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = 3 \sin (π x + y)$ , $(1, 0)$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول واحسِب القيمة عند $x = 1$ و $y = 0$ لإيجاد ميل خط المماس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (3 \sin (π x + y))$

خطوة 1.2

مشتق $y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $y'$ .

$y'$

خطوة 1.3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 \sin (π x + y)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [\sin (π x + y)]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\sin (π x + y)]$

خطوة 1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \sin (x)$ و $g (x) = π x + y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $π x + y$ .

$3 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [π x + y])$

خطوة 1.3.2.2

مشتق $\sin (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\cos (u)$ .

$3 (\cos (u) \frac{d}{d x} [π x + y])$

خطوة 1.3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $π x + y$ .

$3 (\cos (π x + y) \frac{d}{d x} [π x + y])$

خطوة 1.3.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $π x + y$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [π x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$3 \cos (π x + y) (\frac{d}{d x} [π x] + \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 1.3.3.2

بما أن $π$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $π x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \cos (π x + y) (π \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 1.3.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$3 \cos (π x + y) (π \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 1.3.3.4

اضرب $π$ في $1$ .

$3 \cos (π x + y) (π + \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 1.3.4

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$3 \cos (π x + y) (π + y')$

خطوة 1.4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$y' = 3 \cos (π x + y) (π + y')$

خطوة 1.5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1.1

بسّط $3 \cos (π x + y) (π + y')$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y' = 3 \cos (π x + y) π + 3 \cos (π x + y) y'$

خطوة 1.5.1.1.2

أعِد ترتيب العوامل في $3 \cos (π x + y) π + 3 \cos (π x + y) y'$ .

$y' = 3 π \cos (π x + y) + 3 y' \cos (π x + y)$

خطوة 1.5.2

اطرح $3 y' \cos (π x + y)$ من كلا المتعادلين.

$y' - 3 y' \cos (π x + y) = 3 π \cos (π x + y)$

خطوة 1.5.3

أخرِج العامل $y'$ من $y' - 3 y' \cos (π x + y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.1

أخرِج العامل $y'$ من ${y'}^{1}$ .

$y' \cdot 1 - 3 y' \cos (π x + y) = 3 π \cos (π x + y)$

خطوة 1.5.3.2

أخرِج العامل $y'$ من $- 3 y' \cos (π x + y)$ .

$y' \cdot 1 + y' (- 3 \cos (π x + y)) = 3 π \cos (π x + y)$

خطوة 1.5.3.3

أخرِج العامل $y'$ من $y' \cdot 1 + y' (- 3 \cos (π x + y))$ .

$y' (1 - 3 \cos (π x + y)) = 3 π \cos (π x + y)$

خطوة 1.5.4

اقسِم كل حد في $y' (1 - 3 \cos (π x + y)) = 3 π \cos (π x + y)$ على $1 - 3 \cos (π x + y)$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.1

اقسِم كل حد في $y' (1 - 3 \cos (π x + y)) = 3 π \cos (π x + y)$ على $1 - 3 \cos (π x + y)$ .

$\frac{y' (1 - 3 \cos (π x + y))}{1 - 3 \cos (π x + y)} = \frac{3 π \cos (π x + y)}{1 - 3 \cos (π x + y)}$

خطوة 1.5.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $1 - 3 \cos (π x + y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y' (1 - 3 \cos (π x + y))}{1 - 3 \cos (π x + y)} = \frac{3 π \cos (π x + y)}{1 - 3 \cos (π x + y)}$

خطوة 1.5.4.2.1.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{3 π \cos (π x + y)}{1 - 3 \cos (π x + y)}$

خطوة 1.6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 π \cos (π x + y)}{1 - 3 \cos (π x + y)}$

خطوة 1.7

احسِب القيمة عند $x = 1$ و $y = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $1$ في العبارة.

$\frac{3 π \cos (π (1) + y)}{1 - 3 \cos (π (1) + y)}$

خطوة 1.7.2

استبدِل المتغير $y$ بـ $0$ في العبارة.

$\frac{3 π \cos (π (1) + 0)}{1 - 3 \cos (π (1) + 0)}$

خطوة 1.7.3

احذِف الأقواس.

$\frac{3 π \cos (π (1) + 0)}{1 - 3 \cos (π (1) + 0)}$

خطوة 1.7.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.4.1

اضرب $π$ في $1$ .

$\frac{3 π \cos (π + 0)}{1 - 3 \cos (π \cdot 1 + 0)}$

خطوة 1.7.4.2

أضف $π$ و $0$ .

$\frac{3 π \cos (π)}{1 - 3 \cos (π \cdot 1 + 0)}$

خطوة 1.7.4.3

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول. اجعل العبارة سالبة لأن جيب التمام سالب في الربع الثاني.

$\frac{3 π (- \cos (0))}{1 - 3 \cos (π \cdot 1 + 0)}$

خطوة 1.7.4.4

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$\frac{3 π (- 1 \cdot 1)}{1 - 3 \cos (π \cdot 1 + 0)}$

خطوة 1.7.4.5

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{3 π \cdot - 1}{1 - 3 \cos (π \cdot 1 + 0)}$

خطوة 1.7.4.6

اضرب $- 1$ في $3$ .

$\frac{- 3 π}{1 - 3 \cos (π \cdot 1 + 0)}$

خطوة 1.7.5

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.5.1

اضرب $π$ في $1$ .

$\frac{- 3 π}{1 - 3 \cos (π + 0)}$

خطوة 1.7.5.2

أضف $π$ و $0$ .

$\frac{- 3 π}{1 - 3 \cos (π)}$

خطوة 1.7.5.3

$\frac{- 3 π}{1 - 3 (- \cos (0))}$

خطوة 1.7.5.4

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$\frac{- 3 π}{1 - 3 (- 1 \cdot 1)}$

خطوة 1.7.5.5

اضرب $- 3 (- 1 \cdot 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.5.5.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{- 3 π}{1 - 3 \cdot - 1}$

خطوة 1.7.5.5.2

اضرب $- 3$ في $- 1$ .

$\frac{- 3 π}{1 + 3}$

خطوة 1.7.5.6

أضف $1$ و $3$ .

$\frac{- 3 π}{4}$

خطوة 1.7.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{3 π}{4}$

خطوة 2

المستقيم العمودي متعامد على خط المماس. خُذ المقلوب السالب لميل خط المماس لإيجاد ميل المستقيم العمودي.

$\frac{4}{3 π}$

خطوة 3

عوّض بقيمتَي الميل والنقطة في قاعدة ميل النقطة وأوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

استخدِم الميل $\frac{4}{3 π}$ ونقطة مُعطاة $(1, 0)$ للتعويض بقيمتَي $x_{1}$ و $y_{1}$ في شكل ميل النقطة $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ ، المشتق من معادلة الميل $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (0) = \frac{4}{3 π} \cdot (x - (1))$

خطوة 3.2

بسّط المعادلة واتركها بِشكل ميل النقطة.

$y + 0 = \frac{4}{3 π} \cdot (x - 1)$

خطوة 3.3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

أضف $y$ و $0$ .

$y = \frac{4}{3 π} \cdot (x - 1)$

خطوة 3.3.2

بسّط $\frac{4}{3 π} \cdot (x - 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y = \frac{4}{3 π} x + \frac{4}{3 π} \cdot - 1$

خطوة 3.3.2.2

اجمع $\frac{4}{3 π}$ و $x$ .

$y = \frac{4 x}{3 π} + \frac{4}{3 π} \cdot - 1$

خطوة 3.3.2.3

اضرب $\frac{4}{3 π} \cdot - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.3.1

اجمع $\frac{4}{3 π}$ و $- 1$ .

$y = \frac{4 x}{3 π} + \frac{4 \cdot - 1}{3 π}$

خطوة 3.3.2.3.2

اضرب $4$ في $- 1$ .

$y = \frac{4 x}{3 π} + \frac{- 4}{3 π}$

خطوة 3.3.2.4

انقُل السالب أمام الكسر.

$y = \frac{4 x}{3 π} - \frac{4}{3 π}$

خطوة 3.3.3

أعِد ترتيب الحدود.

$y = \frac{4}{3 π} x - \frac{4}{3 π}$

خطوة 4