حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$6 x y + π \sin (y) = 83 π$ , $(4, \frac{7 π}{2})$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول واحسِب القيمة عند $x = 4$ و $y = \frac{7 π}{2}$ لإيجاد ميل خط المماس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (6 x y + π \sin (y)) = \frac{d}{d x} (83 π)$

خطوة 1.2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $6 x y + π \sin (y)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [6 x y] + \frac{d}{d x} [π \sin (y)]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x y] + \frac{d}{d x} [π \sin (y)]$

خطوة 1.2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [6 x y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $6 x y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $6 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [π \sin (y)]$

خطوة 1.2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = y$ .

$6 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [π \sin (y)]$

خطوة 1.2.2.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$6 (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [π \sin (y)]$

خطوة 1.2.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$6 (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [π \sin (y)]$

خطوة 1.2.2.5

اضرب $y$ في $1$ .

$6 (x y' + y) + \frac{d}{d x} [π \sin (y)]$

خطوة 1.2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [π \sin (y)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

بما أن $π$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $π \sin (y)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $π \frac{d}{d x} [\sin (y)]$ .

$6 (x y' + y) + π \frac{d}{d x} [\sin (y)]$

خطوة 1.2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \sin (x)$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $y$ .

$6 (x y' + y) + π (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 1.2.3.2.2

مشتق $\sin (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\cos (u)$ .

$6 (x y' + y) + π (\cos (u) \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 1.2.3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y$ .

$6 (x y' + y) + π (\cos (y) \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 1.2.3.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$6 (x y' + y) + π \cos (y) y'$

خطوة 1.2.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$6 (x y') + 6 y + π \cos (y) y'$

خطوة 1.2.4.2

أعِد ترتيب الحدود.

$6 x y' + π \cos (y) y' + 6 y$

خطوة 1.3

بما أن $83 π$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $83 π$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0$

خطوة 1.4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$6 x y' + π \cos (y) y' + 6 y = 0$

خطوة 1.5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1.1

أعِد ترتيب العوامل في $6 x y' + π \cos (y) y' + 6 y$ .

$6 x y' + π y' \cos (y) + 6 y = 0$

خطوة 1.5.2

اطرح $6 y$ من كلا المتعادلين.

$6 x y' + π y' \cos (y) = - 6 y$

خطوة 1.5.3

أخرِج العامل $y'$ من $6 x y' + π y' \cos (y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.1

أخرِج العامل $y'$ من $6 x y'$ .

$y' (6 x) + π y' \cos (y) = - 6 y$

خطوة 1.5.3.2

أخرِج العامل $y'$ من $π y' \cos (y)$ .

$y' (6 x) + y' (π \cos (y)) = - 6 y$

خطوة 1.5.3.3

أخرِج العامل $y'$ من $y' (6 x) + y' (π \cos (y))$ .

$y' (6 x + π \cos (y)) = - 6 y$

خطوة 1.5.4

اقسِم كل حد في $y' (6 x + π \cos (y)) = - 6 y$ على $6 x + π \cos (y)$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.1

اقسِم كل حد في $y' (6 x + π \cos (y)) = - 6 y$ على $6 x + π \cos (y)$ .

$\frac{y' (6 x + π \cos (y))}{6 x + π \cos (y)} = \frac{- 6 y}{6 x + π \cos (y)}$

خطوة 1.5.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $6 x + π \cos (y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y' (6 x + π \cos (y))}{6 x + π \cos (y)} = \frac{- 6 y}{6 x + π \cos (y)}$

خطوة 1.5.4.2.1.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{- 6 y}{6 x + π \cos (y)}$

خطوة 1.5.4.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = - \frac{6 y}{6 x + π \cos (y)}$

خطوة 1.6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{6 y}{6 x + π \cos (y)}$

خطوة 1.7

احسِب القيمة عند $x = 4$ و $y = \frac{7 π}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $4$ في العبارة.

$- \frac{6 y}{6 (4) + π \cos (y)}$

خطوة 1.7.2

استبدِل المتغير $y$ بـ $\frac{7 π}{2}$ في العبارة.

$- \frac{6 (\frac{7 π}{2})}{6 (4) + π \cos (\frac{7 π}{2})}$

خطوة 1.7.3

اجمع $6$ و $\frac{7 π}{2}$ .

$- \frac{\frac{6 (7 π)}{2}}{6 (4) + π \cos (\frac{7 π}{2})}$

خطوة 1.7.4

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.4.1

اضرب $6$ في $4$ .

$- \frac{\frac{6 (7 π)}{2}}{24 + π \cos (\frac{7 π}{2})}$

خطوة 1.7.4.2

اطرح الدورات الكاملة البالغة $2 π$ حتى تصبح الزاوية أكبر من أو تساوي $0$ وأصغر من $2 π$ .

$- \frac{\frac{6 (7 π)}{2}}{24 + π \cos (\frac{3 π}{2})}$

خطوة 1.7.4.3

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول.

$- \frac{\frac{6 (7 π)}{2}}{24 + π \cos (\frac{π}{2})}$

خطوة 1.7.4.4

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{2})$ هي $0$ .

$- \frac{\frac{6 (7 π)}{2}}{24 + π \cdot 0}$

خطوة 1.7.4.5

اضرب $π$ في $0$ .

$- \frac{\frac{6 (7 π)}{2}}{24 + 0}$

خطوة 1.7.4.6

أضف $24$ و $0$ .

$- \frac{\frac{6 (7 π)}{2}}{24}$

خطوة 1.7.5

اضرب $6$ في $7$ .

$- \frac{\frac{42 π}{2}}{24}$

خطوة 1.7.6

اختزِل العبارة بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.6.1

اختزِل العبارة $\frac{42 π}{2}$ بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.6.1.1

أخرِج العامل $2$ من $42 π$ .

$- \frac{\frac{2 (21 π)}{2}}{24}$

خطوة 1.7.6.1.2

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$- \frac{\frac{2 (21 π)}{2 (1)}}{24}$

خطوة 1.7.6.1.3

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{\frac{2 (21 π)}{2 \cdot 1}}{24}$

خطوة 1.7.6.1.4

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{\frac{21 π}{1}}{24}$

خطوة 1.7.6.2

اقسِم $21 π$ على $1$ .

$- \frac{21 π}{24}$

خطوة 1.7.7

احذِف العامل المشترك لـ $21$ و $24$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.7.1

أخرِج العامل $3$ من $21 π$ .

$- \frac{3 (7 π)}{24}$

خطوة 1.7.7.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.7.2.1

أخرِج العامل $3$ من $24$ .

$- \frac{3 (7 π)}{3 (8)}$

خطوة 1.7.7.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{3 (7 π)}{3 \cdot 8}$

خطوة 1.7.7.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{7 π}{8}$

خطوة 2

المستقيم العمودي متعامد على خط المماس. خُذ المقلوب السالب لميل خط المماس لإيجاد ميل المستقيم العمودي.

$\frac{8}{7 π}$

خطوة 3

عوّض بقيمتَي الميل والنقطة في قاعدة ميل النقطة وأوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

استخدِم الميل $\frac{8}{7 π}$ ونقطة مُعطاة $(4, \frac{7 π}{2})$ للتعويض بقيمتَي $x_{1}$ و $y_{1}$ في شكل ميل النقطة $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ ، المشتق من معادلة الميل $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{7 π}{2}) = \frac{8}{7 π} \cdot (x - (4))$

خطوة 3.2

بسّط المعادلة واتركها بِشكل ميل النقطة.

$y - \frac{7 π}{2} = \frac{8}{7 π} \cdot (x - 4)$

خطوة 3.3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

بسّط $\frac{8}{7 π} \cdot (x - 4)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.1

أعِد الكتابة.

$y - \frac{7 π}{2} = 0 + 0 + \frac{8}{7 π} \cdot (x - 4)$

خطوة 3.3.1.2

بسّط بجمع الأصفار.

$y - \frac{7 π}{2} = \frac{8}{7 π} \cdot (x - 4)$

خطوة 3.3.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$y - \frac{7 π}{2} = \frac{8}{7 π} x + \frac{8}{7 π} \cdot - 4$

خطوة 3.3.1.4

اجمع $\frac{8}{7 π}$ و $x$ .

$y - \frac{7 π}{2} = \frac{8 x}{7 π} + \frac{8}{7 π} \cdot - 4$

خطوة 3.3.1.5

اضرب $\frac{8}{7 π} \cdot - 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.5.1

اجمع $\frac{8}{7 π}$ و $- 4$ .

$y - \frac{7 π}{2} = \frac{8 x}{7 π} + \frac{8 \cdot - 4}{7 π}$

خطوة 3.3.1.5.2

اضرب $8$ في $- 4$ .

$y - \frac{7 π}{2} = \frac{8 x}{7 π} + \frac{- 32}{7 π}$

خطوة 3.3.1.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$y - \frac{7 π}{2} = \frac{8 x}{7 π} - \frac{32}{7 π}$

خطوة 3.3.2

أضف $\frac{7 π}{2}$ إلى كلا المتعادلين.

$y = \frac{8 x}{7 π} - \frac{32}{7 π} + \frac{7 π}{2}$

خطوة 3.3.3

اكتب بصيغة $y = m x + b$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.1

لكتابة $- \frac{32}{7 π}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{8 x}{7 π} - \frac{32}{7 π} \cdot \frac{2}{2} + \frac{7 π}{2}$

خطوة 3.3.3.2

لكتابة $\frac{7 π}{2}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{7 π}{7 π}$ .

$y = \frac{8 x}{7 π} - \frac{32}{7 π} \cdot \frac{2}{2} + \frac{7 π}{2} \cdot \frac{7 π}{7 π}$

خطوة 3.3.3.3

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $14 π$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.3.1

اضرب $\frac{32}{7 π}$ في $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{8 x}{7 π} - \frac{32 \cdot 2}{7 π \cdot 2} + \frac{7 π}{2} \cdot \frac{7 π}{7 π}$

خطوة 3.3.3.3.2

اضرب $2$ في $7$ .

$y = \frac{8 x}{7 π} - \frac{32 \cdot 2}{14 π} + \frac{7 π}{2} \cdot \frac{7 π}{7 π}$

خطوة 3.3.3.3.3

اضرب $\frac{7 π}{2}$ في $\frac{7 π}{7 π}$ .

$y = \frac{8 x}{7 π} - \frac{32 \cdot 2}{14 π} + \frac{7 π (7 π)}{2 (7 π)}$

خطوة 3.3.3.3.4

اضرب $7$ في $2$ .

$y = \frac{8 x}{7 π} - \frac{32 \cdot 2}{14 π} + \frac{7 π (7 π)}{14 π}$

خطوة 3.3.3.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \frac{8 x}{7 π} + \frac{- 32 \cdot 2 + 7 π (7 π)}{14 π}$

خطوة 3.3.3.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.5.1

اضرب $- 32$ في $2$ .

$y = \frac{8 x}{7 π} + \frac{- 64 + 7 π \cdot 7 π}{14 π}$

خطوة 3.3.3.5.2

اضرب $7$ في $7$ .

$y = \frac{8 x}{7 π} + \frac{- 64 + 49 π π}{14 π}$

خطوة 3.3.3.5.3

اضرب $49 π π$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.5.3.1

ارفع $π$ إلى القوة $1$ .

$y = \frac{8 x}{7 π} + \frac{- 64 + 49 (π^{1} π)}{14 π}$

خطوة 3.3.3.5.3.2

ارفع $π$ إلى القوة $1$ .

$y = \frac{8 x}{7 π} + \frac{- 64 + 49 (π^{1} π^{1})}{14 π}$

خطوة 3.3.3.5.3.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$y = \frac{8 x}{7 π} + \frac{- 64 + 49 π^{1 + 1}}{14 π}$

خطوة 3.3.3.5.3.4

أضف $1$ و $1$ .

$y = \frac{8 x}{7 π} + \frac{- 64 + 49 π^{2}}{14 π}$

خطوة 3.3.3.5.4

أعِد كتابة $- 64 + 49 π^{2}$ بصيغة محلّلة إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.5.4.1

أعِد كتابة $49 π^{2}$ بالصيغة ${(7 π)}^{2}$ .

$y = \frac{8 x}{7 π} + \frac{- 64 + {(7 π)}^{2}}{14 π}$

خطوة 3.3.3.5.4.2

أعِد كتابة $64$ بالصيغة $8^{2}$ .

$y = \frac{8 x}{7 π} + \frac{- 8^{2} + {(7 π)}^{2}}{14 π}$

خطوة 3.3.3.5.4.3

أعِد ترتيب $- 8^{2}$ و ${(7 π)}^{2}$ .

$y = \frac{8 x}{7 π} + \frac{{(7 π)}^{2} - 8^{2}}{14 π}$

خطوة 3.3.3.5.4.4

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = 7 π$ و $b = 8$ .

$y = \frac{8 x}{7 π} + \frac{(7 π + 8) (7 π - 8)}{14 π}$

خطوة 3.3.3.6

أعِد ترتيب الحدود.

$y = \frac{8}{7 π} x + \frac{(7 π + 8) (7 π - 8)}{14 π}$

خطوة 4