حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}}$ , $x = 9$

خطوة 1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{x}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{x}}]$

خطوة 2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x}$ في صورة $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{x}}]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{x}}]$

خطوة 2.3

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{x}}]$

خطوة 2.4

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{x}}]$

خطوة 2.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{x}}]$

خطوة 2.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{x}}]$

خطوة 2.6.2

اطرح $2$ من $1$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{x}}]$

خطوة 2.7

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{x}}]$

خطوة 3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{x}}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x}$ في صورة $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$

خطوة 3.2

أعِد كتابة $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ بالصيغة ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

خطوة 3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{- 1}$ و $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 3.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

خطوة 3.5

اضرب الأُسس في ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2} \cdot - 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

خطوة 3.5.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

خطوة 3.5.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

خطوة 3.5.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

خطوة 3.6

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

خطوة 3.7

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

خطوة 3.8

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

خطوة 3.9

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.9.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

خطوة 3.9.2

اطرح $2$ من $1$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

خطوة 3.10

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

خطوة 3.11

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - x^{- 1} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

خطوة 3.12

اجمع $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ و $x^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{x^{- \frac{1}{2}} x^{- 1}}{2}$

خطوة 3.13

اضرب $x^{- \frac{1}{2}}$ في $x^{- 1}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.13.1

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1}}{2}$

خطوة 3.13.2

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}{2}$

خطوة 3.13.3

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}{2}$

خطوة 3.13.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}}}{2}$

خطوة 3.13.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.13.5.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{x^{\frac{- 1 - 2}{2}}}{2}$

خطوة 3.13.5.2

اطرح $2$ من $- 1$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{x^{\frac{- 3}{2}}}{2}$

خطوة 3.13.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2}$

خطوة 3.14

انقُل $x^{- \frac{3}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 4.2

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 5

احسِب قيمة المشتق في $x = 9$ .

$\frac{1}{2 {(9)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2 {(9)}^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.1

أعِد كتابة $9$ بالصيغة $3^{2}$ .

$\frac{1}{2 \cdot {(3^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2 {(9)}^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 6.1.1.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})}} - \frac{1}{2 {(9)}^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 6.1.1.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})}} - \frac{1}{2 {(9)}^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 6.1.1.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{2 \cdot 3^{1}} - \frac{1}{2 {(9)}^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 6.1.1.4

احسِب قيمة الأُس.

$\frac{1}{2 \cdot 3} - \frac{1}{2 {(9)}^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 6.1.2

اضرب $2$ في $3$ .

$\frac{1}{6} - \frac{1}{2 {(9)}^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 6.1.3

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.3.1

أعِد كتابة $9$ بالصيغة $3^{2}$ .

$\frac{1}{6} - \frac{1}{2 \cdot {(3^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 6.1.3.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{6} - \frac{1}{2 \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})}}$

خطوة 6.1.3.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.3.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{6} - \frac{1}{2 \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})}}$

خطوة 6.1.3.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{6} - \frac{1}{2 \cdot 3^{3}}$

خطوة 6.1.3.4

ارفع $3$ إلى القوة $3$ .

$\frac{1}{6} - \frac{1}{2 \cdot 27}$

خطوة 6.1.4

اضرب $2$ في $27$ .

$\frac{1}{6} - \frac{1}{54}$

خطوة 6.2

لكتابة $\frac{1}{6}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{9}{9}$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{9}{9} - \frac{1}{54}$

خطوة 6.3

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $54$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

اضرب $\frac{1}{6}$ في $\frac{9}{9}$ .

$\frac{9}{6 \cdot 9} - \frac{1}{54}$

خطوة 6.3.2

اضرب $6$ في $9$ .

$\frac{9}{54} - \frac{1}{54}$

خطوة 6.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{9 - 1}{54}$

خطوة 6.4.2

اطرح $1$ من $9$ .

$\frac{8}{54}$

خطوة 6.5

احذِف العامل المشترك لـ $8$ و $54$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.1

أخرِج العامل $2$ من $8$ .

$\frac{2 (4)}{54}$

خطوة 6.5.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.2.1

أخرِج العامل $2$ من $54$ .

$\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 27}$

خطوة 6.5.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 27}$

خطوة 6.5.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{4}{27}$