حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \frac{x}{\ln (x)}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = \ln (x)$ .

$f' (x) = \frac{\ln (x) \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} \ln (x)}{\ln^{2} (x)}$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{\ln (x) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} \ln (x)}{\ln^{2} (x)}$

خطوة 1.1.2.2

اضرب $\ln (x)$ في $1$ .

$f' (x) = \frac{\ln (x) - x \frac{d}{d x} \ln (x)}{\ln^{2} (x)}$

خطوة 1.1.3

مشتق $\ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{x}$ .

$f' (x) = \frac{\ln (x) - x \frac{1}{x}}{\ln^{2} (x)}$

خطوة 1.1.4

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.1

اجمع $\frac{1}{x}$ و $x$ .

$f' (x) = \frac{\ln (x) - \frac{x}{x}}{\ln^{2} (x)}$

خطوة 1.1.4.2

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$f' (x) = \frac{\ln (x) - \frac{x}{x}}{\ln^{2} (x)}$

خطوة 1.1.4.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$f' (x) = \frac{\ln (x) - 1 \cdot 1}{\ln^{2} (x)}$

خطوة 1.1.4.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$f' (x) = \frac{\ln (x) - 1}{\ln^{2} (x)}$

خطوة 1.2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) \frac{d}{d x} (\ln (x) - 1) - (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} \ln^{2} (x)}{{(\ln^{2} (x))}^{2}}$

خطوة 1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الجمع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

اضرب الأُسس في ${(\ln^{2} (x))}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) \frac{d}{d x} (\ln (x) - 1) - (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} \ln^{2} (x)}{{(\ln (x))}^{2 \cdot 2}}$

خطوة 1.2.2.1.2

اضرب $2$ في $2$ .

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) \frac{d}{d x} (\ln (x) - 1) - (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} \ln^{2} (x)}{\ln^{4} (x)}$

خطوة 1.2.2.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\ln (x) - 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) (\frac{d}{d x} (\ln (x)) + \frac{d}{d x} (- 1)) - (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} \ln^{2} (x)}{\ln^{4} (x)}$

خطوة 1.2.3

مشتق $\ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) (\frac{1}{x} + \frac{d}{d x} (- 1)) - (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} \ln^{2} (x)}{\ln^{4} (x)}$

خطوة 1.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) (\frac{1}{x} + 0) - (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} \ln^{2} (x)}{\ln^{4} (x)}$

خطوة 1.2.4.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.2.1

أضف $\frac{1}{x}$ و $0$ .

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) (\frac{1}{x}) - (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} \ln^{2} (x)}{\ln^{4} (x)}$

خطوة 1.2.4.2.2

اجمع $\ln^{2} (x)$ و $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{\ln^{2} (x)}{x} - (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} \ln^{2} (x)}{\ln^{4} (x)}$

خطوة 1.2.5

اضرب $\frac{\frac{\ln^{2} (x)}{x} - (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)]}{\ln^{4} (x)}$ في $\frac{x}{x}$ .

$f'' (x) = \frac{x}{x} \cdot \frac{\frac{\ln^{2} (x)}{x} - (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} \ln^{2} (x)}{\ln^{4} (x)}$

خطوة 1.2.6

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.6.1

اجمع.

$f'' (x) = \frac{x (\frac{\ln^{2} (x)}{x} - (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} \ln^{2} (x))}{x \ln^{4} (x)}$

خطوة 1.2.6.2

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{x (\frac{\ln^{2} (x)}{x}) + x (- (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} \ln^{2} (x))}{x \ln^{4} (x)}$

خطوة 1.2.6.3

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.6.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$f'' (x) = \frac{x (\frac{\ln^{2} (x)}{x}) + x (- (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} \ln^{2} (x))}{x \ln^{4} (x)}$

خطوة 1.2.6.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) + x (- (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} \ln^{2} (x))}{x \ln^{4} (x)}$

خطوة 1.2.7

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = \ln (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.7.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $\ln (x)$ .

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) + x (- (\ln (x) - 1) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (\ln (x))))}{x \ln^{4} (x)}$

خطوة 1.2.7.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) + x (- (\ln (x) - 1) (2 u \frac{d}{d x} (\ln (x))))}{x \ln^{4} (x)}$

خطوة 1.2.7.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\ln (x)$ .

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) + x (- (\ln (x) - 1) (2 \ln (x) \frac{d}{d x} (\ln (x))))}{x \ln^{4} (x)}$

خطوة 1.2.8

اضرب $2$ في $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) + x (- 2 (\ln (x) - 1) (\ln (x) \frac{d}{d x} (\ln (x))))}{x \ln^{4} (x)}$

خطوة 1.2.9

مشتق $\ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) + x (- 2 (\ln (x) - 1) (\ln (x) (\frac{1}{x})))}{x \ln^{4} (x)}$

خطوة 1.2.10

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.10.1

اجمع $\ln (x)$ و $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) + x (- 2 (\ln (x) - 1) \frac{\ln (x)}{x})}{x \ln^{4} (x)}$

خطوة 1.2.10.2

اجمع $\frac{\ln (x)}{x}$ و $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) + x (\frac{\ln (x) \cdot - 2}{x} \cdot (\ln (x) - 1))}{x \ln^{4} (x)}$

خطوة 1.2.10.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.10.3.1

انقُل $- 2$ إلى يسار $\ln (x)$ .

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) + x (\frac{- 2 \cdot \ln (x)}{x} \cdot (\ln (x) - 1))}{x \ln^{4} (x)}$

خطوة 1.2.10.3.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) + x (- \frac{(2) \ln (x)}{x} \cdot (\ln (x) - 1))}{x \ln^{4} (x)}$

خطوة 1.2.10.4

اجمع $x$ و $\frac{2 \ln (x)}{x}$ .

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) - \frac{x (2 \ln (x))}{x} \cdot (\ln (x) - 1)}{x \ln^{4} (x)}$

خطوة 1.2.10.5

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.10.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) - \frac{x (2 \ln (x))}{x} \cdot (\ln (x) - 1)}{x \ln^{4} (x)}$

خطوة 1.2.10.5.2

اقسِم $2 \ln (x)$ على $1$ .

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) - 2 \ln (x) (\ln (x) - 1)}{x \ln^{4} (x)}$

خطوة 1.2.10.6

اضرب $2$ في $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) - 2 \ln (x) (\ln (x) - 1)}{x \ln^{4} (x)}$

خطوة 1.2.11

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.11.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) - 2 \ln (x) \ln (x) - 2 \ln (x) \cdot - 1}{x \ln^{4} (x)}$

خطوة 1.2.11.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.11.2.1

بسّط $- 2 \ln (x)$ بنقل $2$ داخل اللوغاريتم.

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) - \ln (x^{2}) \ln (x) - 2 \ln (x) \cdot - 1}{x \ln^{4} (x)}$

خطوة 1.2.11.2.2

بسّط $- 2 \ln (x)$ بنقل $2$ داخل اللوغاريتم.

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) - \ln (x^{2}) \ln (x) - \ln (x^{2}) \cdot - 1}{x \ln^{4} (x)}$

خطوة 1.2.11.2.3

اضرب $- \ln (x^{2}) \cdot - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.11.2.3.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) - \ln (x^{2}) \ln (x) + 1 \ln (x^{2})}{x \ln^{4} (x)}$

خطوة 1.2.11.2.3.2

اضرب $\ln (x^{2})$ في $1$ .

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) - \ln (x^{2}) \ln (x) + \ln (x^{2})}{x \ln^{4} (x)}$

خطوة 1.2.11.3

أعِد ترتيب الحدود.

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) - \ln (x) \ln (x^{2}) + \ln (x^{2})}{x \ln^{4} (x)}$

خطوة 1.3

المشتق الثاني لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{\ln^{2} (x) - \ln (x) \ln (x^{2}) + \ln (x^{2})}{x \ln^{4} (x)}$ .

$\frac{\ln^{2} (x) - \ln (x) \ln (x^{2}) + \ln (x^{2})}{x \ln^{4} (x)}$

خطوة 2

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم حل المعادلة $\frac{\ln^{2} (x) - \ln (x) \ln (x^{2}) + \ln (x^{2})}{x \ln^{4} (x)} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\frac{\ln^{2} (x) - \ln (x) \ln (x^{2}) + \ln (x^{2})}{x \ln^{4} (x)} = 0$

خطوة 2.2

مثّل كل متعادل بيانيًا. الحل هو قيمة x لنقطة التقاطع.

$x \approx 7.38905639$

خطوة 3

أوجِد النقاط التي يكون فيها المشتق الثاني هو $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بقيمة $7.38905639$ في $f (x) = \frac{x}{\ln (x)}$ لإيجاد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $7.38905639$ في العبارة.

$f (7.38905639) = \frac{7.38905639}{\ln (7.38905639)}$

خطوة 3.1.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1

استبدِل $e$ بقيمة تقريبية.

$f (7.38905639) = \frac{7.38905639}{\log_{2.71828182} (7.38905639)}$

خطوة 3.1.2.2

لوغاريتم $7.38905639$ للأساس $2.71828182$ يساوي $2.00000004$ تقريبًا.

$f (7.38905639) = \frac{7.38905639}{2.00000004}$

خطوة 3.1.2.3

اقسِم $7.38905639$ على $2.00000004$ .

$f (7.38905639) = 3.69452812$

خطوة 3.1.2.4

الإجابة النهائية هي $3.69452812$ .

$3.69452812$

خطوة 3.2

النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ $7.38905639$ في $f (x) = \frac{x}{\ln (x)}$ هي $(7.38905639, 3.69452812)$ . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.

$(7.38905639, 3.69452812)$

خطوة 4

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات حول النقاط التي من المحتمل أن تكون نقاط انقلاب.

$(- \infty, 7.38905639) \cup (7.38905639, \infty)$

خطوة 5

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, 7.38905639)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $7.28905639$ في العبارة.

$f'' (7.28905639) = \frac{\ln^{2} (7.28905639) - \ln (7.28905639) \ln ({(7.28905639)}^{2}) + \ln ({(7.28905639)}^{2})}{(7.28905639) \ln^{4} (7.28905639)}$

خطوة 5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

ارفع $7.28905639$ إلى القوة $2$ .

$f'' (7.28905639) = \frac{\ln^{2} (7.28905639) - \ln (7.28905639) \ln (53.13034315) + \ln ({7.28905639}^{2})}{7.28905639 \ln^{4} (7.28905639)}$

خطوة 5.2.1.2

ارفع $7.28905639$ إلى القوة $2$ .

$f'' (7.28905639) = \frac{\ln^{2} (7.28905639) - \ln (7.28905639) \ln (53.13034315) + \ln (53.13034315)}{7.28905639 \ln^{4} (7.28905639)}$

خطوة 5.2.2

اضرب $7.28905639$ في $\ln^{4} (7.28905639)$ .

$f'' (7.28905639) = \frac{\ln^{2} (7.28905639) - \ln (7.28905639) \ln (53.13034315) + \ln (53.13034315)}{113.47899623}$

خطوة 5.2.3

استبدِل $e$ بقيمة تقريبية.

$f'' (7.28905639) = \frac{{\log_{2.71828182}}^{2} (7.28905639) - \ln (7.28905639) \ln (53.13034315) + \ln (53.13034315)}{113.47899623}$

خطوة 5.2.4

لوغاريتم $7.28905639$ للأساس $2.71828182$ يساوي $1.98637409$ تقريبًا.

$f'' (7.28905639) = \frac{{1.98637409}^{2} - \ln (7.28905639) \ln (53.13034315) + \ln (53.13034315)}{113.47899623}$

خطوة 5.2.5

ارفع $1.98637409$ إلى القوة $2$ .

$f'' (7.28905639) = \frac{3.94568206 - \ln (7.28905639) \ln (53.13034315) + \ln (53.13034315)}{113.47899623}$

خطوة 5.2.6

استبدِل $e$ بقيمة تقريبية.

$f'' (7.28905639) = \frac{3.94568206 - \log_{2.71828182} (7.28905639) \ln (53.13034315) + \ln (53.13034315)}{113.47899623}$

خطوة 5.2.7

لوغاريتم $7.28905639$ للأساس $2.71828182$ يساوي $1.98637409$ تقريبًا.

$f'' (7.28905639) = \frac{3.94568206 - 1 \cdot (1.98637409 \ln (53.13034315)) + \ln (53.13034315)}{113.47899623}$

خطوة 5.2.8

اضرب $- 1$ في $1.98637409$ .

$f'' (7.28905639) = \frac{3.94568206 - 1.98637409 \ln (53.13034315) + \ln (53.13034315)}{113.47899623}$

خطوة 5.2.9

استبدِل $e$ بقيمة تقريبية.

$f'' (7.28905639) = \frac{3.94568206 - 1.98637409 \log_{2.71828182} (53.13034315) + \ln (53.13034315)}{113.47899623}$

خطوة 5.2.10

لوغاريتم $53.13034315$ للأساس $2.71828182$ يساوي $3.97274819$ تقريبًا.

$f'' (7.28905639) = \frac{3.94568206 - 1.98637409 \cdot 3.97274819 + \ln (53.13034315)}{113.47899623}$

خطوة 5.2.11

اضرب $- 1.98637409$ في $3.97274819$ .

$f'' (7.28905639) = \frac{3.94568206 - 7.89136412 + \ln (53.13034315)}{113.47899623}$

خطوة 5.2.12

اطرح $7.89136412$ من $3.94568206$ .

$f'' (7.28905639) = \frac{- 3.94568206 + \ln (53.13034315)}{113.47899623}$

خطوة 5.2.13

استبدِل $e$ بقيمة تقريبية.

$f'' (7.28905639) = \frac{- 3.94568206 + \log_{2.71828182} (53.13034315)}{113.47899623}$

خطوة 5.2.14

لوغاريتم $53.13034315$ للأساس $2.71828182$ يساوي $3.97274819$ تقريبًا.

$f'' (7.28905639) = \frac{- 3.94568206 + 3.97274819}{113.47899623}$

خطوة 5.2.15

أضف $- 3.94568206$ و $3.97274819$ .

$f'' (7.28905639) = \frac{0.02706613}{113.47899623}$

خطوة 5.2.16

اقسِم $0.02706613$ على $113.47899623$ .

$f'' (7.28905639) = 0.00023851$

خطوة 5.2.17

الإجابة النهائية هي $0.00023851$ .

$0.00023851$

خطوة 5.3

في $7.28905639$ ، المشتق الثاني هو $0.00023851$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن المشتق الثاني يتزايد على مدى الفترة $(- \infty, 7.38905639)$ .

تزايد خلال $(- \infty, 7.38905639)$ نظرًا إلى أن $f'' (x) > 0$

خطوة 6

عوّض بقيمة من الفترة $(7.38905639, \infty)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $7.48905639$ في العبارة.

$f'' (7.48905639) = \frac{\ln^{2} (7.48905639) - \ln (7.48905639) \ln ({(7.48905639)}^{2}) + \ln ({(7.48905639)}^{2})}{(7.48905639) \ln^{4} (7.48905639)}$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

ارفع $7.48905639$ إلى القوة $2$ .

$f'' (7.48905639) = \frac{\ln^{2} (7.48905639) - \ln (7.48905639) \ln (56.0859657) + \ln ({7.48905639}^{2})}{7.48905639 \ln^{4} (7.48905639)}$

خطوة 6.2.1.2

ارفع $7.48905639$ إلى القوة $2$ .

$f'' (7.48905639) = \frac{\ln^{2} (7.48905639) - \ln (7.48905639) \ln (56.0859657) + \ln (56.0859657)}{7.48905639 \ln^{4} (7.48905639)}$

خطوة 6.2.2

اضرب $7.48905639$ في $\ln^{4} (7.48905639)$ .

$f'' (7.48905639) = \frac{\ln^{2} (7.48905639) - \ln (7.48905639) \ln (56.0859657) + \ln (56.0859657)}{123.07909456}$

خطوة 6.2.3

استبدِل $e$ بقيمة تقريبية.

$f'' (7.48905639) = \frac{{\log_{2.71828182}}^{2} (7.48905639) - \ln (7.48905639) \ln (56.0859657) + \ln (56.0859657)}{123.07909456}$

خطوة 6.2.4

لوغاريتم $7.48905639$ للأساس $2.71828182$ يساوي $2.0134428$ تقريبًا.

$f'' (7.48905639) = \frac{{2.0134428}^{2} - \ln (7.48905639) \ln (56.0859657) + \ln (56.0859657)}{123.07909456}$

خطوة 6.2.5

ارفع $2.0134428$ إلى القوة $2$ .

$f'' (7.48905639) = \frac{4.05395194 - \ln (7.48905639) \ln (56.0859657) + \ln (56.0859657)}{123.07909456}$

خطوة 6.2.6

استبدِل $e$ بقيمة تقريبية.

$f'' (7.48905639) = \frac{4.05395194 - \log_{2.71828182} (7.48905639) \ln (56.0859657) + \ln (56.0859657)}{123.07909456}$

خطوة 6.2.7

لوغاريتم $7.48905639$ للأساس $2.71828182$ يساوي $2.0134428$ تقريبًا.

$f'' (7.48905639) = \frac{4.05395194 - 1 \cdot (2.0134428 \ln (56.0859657)) + \ln (56.0859657)}{123.07909456}$

خطوة 6.2.8

اضرب $- 1$ في $2.0134428$ .

$f'' (7.48905639) = \frac{4.05395194 - 2.0134428 \ln (56.0859657) + \ln (56.0859657)}{123.07909456}$

خطوة 6.2.9

استبدِل $e$ بقيمة تقريبية.

$f'' (7.48905639) = \frac{4.05395194 - 2.0134428 \log_{2.71828182} (56.0859657) + \ln (56.0859657)}{123.07909456}$

خطوة 6.2.10

لوغاريتم $56.0859657$ للأساس $2.71828182$ يساوي $4.02688561$ تقريبًا.

$f'' (7.48905639) = \frac{4.05395194 - 2.0134428 \cdot 4.02688561 + \ln (56.0859657)}{123.07909456}$

خطوة 6.2.11

اضرب $- 2.0134428$ في $4.02688561$ .

$f'' (7.48905639) = \frac{4.05395194 - 8.10790388 + \ln (56.0859657)}{123.07909456}$

خطوة 6.2.12

اطرح $8.10790388$ من $4.05395194$ .

$f'' (7.48905639) = \frac{- 4.05395194 + \ln (56.0859657)}{123.07909456}$

خطوة 6.2.13

استبدِل $e$ بقيمة تقريبية.

$f'' (7.48905639) = \frac{- 4.05395194 + \log_{2.71828182} (56.0859657)}{123.07909456}$

خطوة 6.2.14

لوغاريتم $56.0859657$ للأساس $2.71828182$ يساوي $4.02688561$ تقريبًا.

$f'' (7.48905639) = \frac{- 4.05395194 + 4.02688561}{123.07909456}$

خطوة 6.2.15

أضف $- 4.05395194$ و $4.02688561$ .

$f'' (7.48905639) = \frac{- 0.02706632}{123.07909456}$

خطوة 6.2.16

اقسِم $- 0.02706632$ على $123.07909456$ .

$f'' (7.48905639) = - 0.00021991$

خطوة 6.2.17

الإجابة النهائية هي $- 0.00021991$ .

$- 0.00021991$

خطوة 6.3

المشتق الثاني عند $7.48905639$ يساوي $- 0.00021991$ . وبما أنه سالب، فإن المشتق الثاني يتناقص خلال الفترة $(7.38905639, \infty)$

تناقص خلال $(7.38905639, \infty)$ حيث إن $f'' (x) < 0$

خطوة 7

نقطة الانقلاب هي نقطة على منحنى يغيّر التقعر عندها العلامة من موجب إلى سالب أو من سالب إلى موجب. نقطة الانقلاب في هذه الحالة هي $(7.38905639, 3.69452812)$ .

$(7.38905639, 3.69452812)$

خطوة 8