حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = {(x + 1)}^{3} {(x + 2)}^{2}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أعِد كتابة ${(x + 2)}^{2}$ بالصيغة $(x + 2) (x + 2)$ .

$\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3} ((x + 2) (x + 2))]$

خطوة 1.1.2

وسّع $(x + 2) (x + 2)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3} (x (x + 2) + 2 (x + 2))]$

خطوة 1.1.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3} (x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2))]$

خطوة 1.1.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3} (x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2)]$

خطوة 1.1.3

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1.1

اضرب $x$ في $x$ .

$\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3} (x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2)]$

خطوة 1.1.3.1.2

انقُل $2$ إلى يسار $x$ .

$\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3} (x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2)]$

خطوة 1.1.3.1.3

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3} (x^{2} + 2 x + 2 x + 4)]$

خطوة 1.1.3.2

أضف $2 x$ و $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3} (x^{2} + 4 x + 4)]$

خطوة 1.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = {(x + 1)}^{3}$ و $g (x) = x^{2} + 4 x + 4$ .

${(x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 4] + (x^{2} + 4 x + 4) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3}]$

خطوة 1.1.5

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.5.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + 4 x + 4$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

${(x + 1)}^{3} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]) + (x^{2} + 4 x + 4) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3}]$

خطوة 1.1.5.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

${(x + 1)}^{3} (2 x + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]) + (x^{2} + 4 x + 4) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3}]$

خطوة 1.1.5.3

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

${(x + 1)}^{3} (2 x + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]) + (x^{2} + 4 x + 4) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3}]$

خطوة 1.1.5.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

${(x + 1)}^{3} (2 x + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4]) + (x^{2} + 4 x + 4) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3}]$

خطوة 1.1.5.5

اضرب $4$ في $1$ .

${(x + 1)}^{3} (2 x + 4 + \frac{d}{d x} [4]) + (x^{2} + 4 x + 4) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3}]$

خطوة 1.1.5.6

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $4$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

${(x + 1)}^{3} (2 x + 4 + 0) + (x^{2} + 4 x + 4) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3}]$

خطوة 1.1.5.7

أضف $2 x + 4$ و $0$ .

${(x + 1)}^{3} (2 x + 4) + (x^{2} + 4 x + 4) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3}]$

خطوة 1.1.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{3}$ و $g (x) = x + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.6.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x + 1$ .

${(x + 1)}^{3} (2 x + 4) + (x^{2} + 4 x + 4) (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x + 1])$

خطوة 1.1.6.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

${(x + 1)}^{3} (2 x + 4) + (x^{2} + 4 x + 4) (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x + 1])$

خطوة 1.1.6.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x + 1$ .

${(x + 1)}^{3} (2 x + 4) + (x^{2} + 4 x + 4) (3 {(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x + 1])$

خطوة 1.1.7

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.7.1

انقُل $3$ إلى يسار $x^{2} + 4 x + 4$ .

${(x + 1)}^{3} (2 x + 4) + 3 \cdot (x^{2} + 4 x + 4) {(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x + 1]$

خطوة 1.1.7.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

${(x + 1)}^{3} (2 x + 4) + 3 (x^{2} + 4 x + 4) {(x + 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

خطوة 1.1.7.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

${(x + 1)}^{3} (2 x + 4) + 3 (x^{2} + 4 x + 4) {(x + 1)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [1])$

خطوة 1.1.7.4

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

${(x + 1)}^{3} (2 x + 4) + 3 (x^{2} + 4 x + 4) {(x + 1)}^{2} (1 + 0)$

خطوة 1.1.7.5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.7.5.1

أضف $1$ و $0$ .

${(x + 1)}^{3} (2 x + 4) + 3 (x^{2} + 4 x + 4) {(x + 1)}^{2} \cdot 1$

خطوة 1.1.7.5.2

اضرب $3$ في $1$ .

${(x + 1)}^{3} (2 x + 4) + 3 (x^{2} + 4 x + 4) {(x + 1)}^{2}$

خطوة 1.1.8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.8.1

طبّق خاصية التوزيع.

${(x + 1)}^{3} (2 x + 4) + (3 x^{2} + 3 (4 x) + 3 \cdot 4) {(x + 1)}^{2}$

خطوة 1.1.8.2

اضرب $4$ في $3$ .

${(x + 1)}^{3} (2 x + 4) + (3 x^{2} + 12 x + 3 \cdot 4) {(x + 1)}^{2}$

خطوة 1.1.8.3

اضرب $3$ في $4$ .

${(x + 1)}^{3} (2 x + 4) + (3 x^{2} + 12 x + 12) {(x + 1)}^{2}$

خطوة 1.1.8.4

أخرِج العامل ${(x + 1)}^{2}$ من ${(x + 1)}^{3} (2 x + 4) + (3 x^{2} + 12 x + 12) {(x + 1)}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.8.4.1

أخرِج العامل ${(x + 1)}^{2}$ من ${(x + 1)}^{3} (2 x + 4)$ .

${(x + 1)}^{2} ((x + 1) (2 x + 4)) + (3 x^{2} + 12 x + 12) {(x + 1)}^{2}$

خطوة 1.1.8.4.2

أخرِج العامل ${(x + 1)}^{2}$ من $(3 x^{2} + 12 x + 12) {(x + 1)}^{2}$ .

${(x + 1)}^{2} ((x + 1) (2 x + 4)) + {(x + 1)}^{2} (3 x^{2} + 12 x + 12)$

خطوة 1.1.8.4.3

أخرِج العامل ${(x + 1)}^{2}$ من ${(x + 1)}^{2} ((x + 1) (2 x + 4)) + {(x + 1)}^{2} (3 x^{2} + 12 x + 12)$ .

${(x + 1)}^{2} ((x + 1) (2 x + 4) + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

خطوة 1.1.8.5

أعِد كتابة ${(x + 1)}^{2}$ بالصيغة $(x + 1) (x + 1)$ .

$(x + 1) (x + 1) ((x + 1) (2 x + 4) + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

خطوة 1.1.8.6

وسّع $(x + 1) (x + 1)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.8.6.1

طبّق خاصية التوزيع.

$(x (x + 1) + 1 (x + 1)) ((x + 1) (2 x + 4) + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

خطوة 1.1.8.6.2

طبّق خاصية التوزيع.

$(x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1)) ((x + 1) (2 x + 4) + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

خطوة 1.1.8.6.3

طبّق خاصية التوزيع.

$(x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1) ((x + 1) (2 x + 4) + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

خطوة 1.1.8.7

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.8.7.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.8.7.1.1

اضرب $x$ في $x$ .

$(x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1) ((x + 1) (2 x + 4) + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

خطوة 1.1.8.7.1.2

اضرب $x$ في $1$ .

$(x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1) ((x + 1) (2 x + 4) + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

خطوة 1.1.8.7.1.3

اضرب $x$ في $1$ .

$(x^{2} + x + x + 1 \cdot 1) ((x + 1) (2 x + 4) + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

خطوة 1.1.8.7.1.4

اضرب $1$ في $1$ .

$(x^{2} + x + x + 1) ((x + 1) (2 x + 4) + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

خطوة 1.1.8.7.2

أضف $x$ و $x$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) ((x + 1) (2 x + 4) + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

خطوة 1.1.8.8

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.8.8.1

وسّع $(x + 1) (2 x + 4)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.8.8.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$(x^{2} + 2 x + 1) (x (2 x + 4) + 1 (2 x + 4) + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

خطوة 1.1.8.8.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$(x^{2} + 2 x + 1) (x (2 x) + x \cdot 4 + 1 (2 x + 4) + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

خطوة 1.1.8.8.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$(x^{2} + 2 x + 1) (x (2 x) + x \cdot 4 + 1 (2 x) + 1 \cdot 4 + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

خطوة 1.1.8.8.2

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.8.8.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.8.8.2.1.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$(x^{2} + 2 x + 1) (2 x \cdot x + x \cdot 4 + 1 (2 x) + 1 \cdot 4 + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

خطوة 1.1.8.8.2.1.2

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.8.8.2.1.2.1

انقُل $x$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) (2 (x \cdot x) + x \cdot 4 + 1 (2 x) + 1 \cdot 4 + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

خطوة 1.1.8.8.2.1.2.2

اضرب $x$ في $x$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) (2 x^{2} + x \cdot 4 + 1 (2 x) + 1 \cdot 4 + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

خطوة 1.1.8.8.2.1.3

انقُل $4$ إلى يسار $x$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) (2 x^{2} + 4 \cdot x + 1 (2 x) + 1 \cdot 4 + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

خطوة 1.1.8.8.2.1.4

اضرب $2 x$ في $1$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) (2 x^{2} + 4 x + 2 x + 1 \cdot 4 + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

خطوة 1.1.8.8.2.1.5

اضرب $4$ في $1$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) (2 x^{2} + 4 x + 2 x + 4 + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

خطوة 1.1.8.8.2.2

أضف $4 x$ و $2 x$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) (2 x^{2} + 6 x + 4 + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

خطوة 1.1.8.9

أضف $2 x^{2}$ و $3 x^{2}$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) (5 x^{2} + 6 x + 4 + 12 x + 12)$

خطوة 1.1.8.10

أضف $6 x$ و $12 x$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) (5 x^{2} + 18 x + 4 + 12)$

خطوة 1.1.8.11

أضف $4$ و $12$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) (5 x^{2} + 18 x + 16)$

خطوة 1.1.8.12

وسّع $(x^{2} + 2 x + 1) (5 x^{2} + 18 x + 16)$ بضرب كل حد في العبارة الأولى في كل حد في العبارة الثانية.

$x^{2} (5 x^{2}) + x^{2} (18 x) + x^{2} \cdot 16 + 2 x (5 x^{2}) + 2 x (18 x) + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

خطوة 1.1.8.13

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.8.13.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$5 x^{2} x^{2} + x^{2} (18 x) + x^{2} \cdot 16 + 2 x (5 x^{2}) + 2 x (18 x) + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

خطوة 1.1.8.13.2

اضرب $x^{2}$ في $x^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.8.13.2.1

انقُل $x^{2}$ .

$5 (x^{2} x^{2}) + x^{2} (18 x) + x^{2} \cdot 16 + 2 x (5 x^{2}) + 2 x (18 x) + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

خطوة 1.1.8.13.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$5 x^{2 + 2} + x^{2} (18 x) + x^{2} \cdot 16 + 2 x (5 x^{2}) + 2 x (18 x) + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

خطوة 1.1.8.13.2.3

أضف $2$ و $2$ .

$5 x^{4} + x^{2} (18 x) + x^{2} \cdot 16 + 2 x (5 x^{2}) + 2 x (18 x) + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

خطوة 1.1.8.13.3

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$5 x^{4} + 18 x^{2} x + x^{2} \cdot 16 + 2 x (5 x^{2}) + 2 x (18 x) + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

خطوة 1.1.8.13.4

اضرب $x^{2}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.8.13.4.1

انقُل $x$ .

$5 x^{4} + 18 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot 16 + 2 x (5 x^{2}) + 2 x (18 x) + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

خطوة 1.1.8.13.4.2

اضرب $x$ في $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.8.13.4.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$5 x^{4} + 18 (x^{1} x^{2}) + x^{2} \cdot 16 + 2 x (5 x^{2}) + 2 x (18 x) + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

خطوة 1.1.8.13.4.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$5 x^{4} + 18 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot 16 + 2 x (5 x^{2}) + 2 x (18 x) + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

خطوة 1.1.8.13.4.3

أضف $1$ و $2$ .

$5 x^{4} + 18 x^{3} + x^{2} \cdot 16 + 2 x (5 x^{2}) + 2 x (18 x) + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

خطوة 1.1.8.13.5

انقُل $16$ إلى يسار $x^{2}$ .

$5 x^{4} + 18 x^{3} + 16 \cdot x^{2} + 2 x (5 x^{2}) + 2 x (18 x) + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

خطوة 1.1.8.13.6

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$5 x^{4} + 18 x^{3} + 16 x^{2} + 2 \cdot 5 x \cdot x^{2} + 2 x (18 x) + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

خطوة 1.1.8.13.7

اضرب $x$ في $x^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.8.13.7.1

انقُل $x^{2}$ .

$5 x^{4} + 18 x^{3} + 16 x^{2} + 2 \cdot 5 (x^{2} x) + 2 x (18 x) + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

خطوة 1.1.8.13.7.2

اضرب $x^{2}$ في $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.8.13.7.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$5 x^{4} + 18 x^{3} + 16 x^{2} + 2 \cdot 5 (x^{2} x^{1}) + 2 x (18 x) + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

خطوة 1.1.8.13.7.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$5 x^{4} + 18 x^{3} + 16 x^{2} + 2 \cdot 5 x^{2 + 1} + 2 x (18 x) + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

خطوة 1.1.8.13.7.3

أضف $2$ و $1$ .

$5 x^{4} + 18 x^{3} + 16 x^{2} + 2 \cdot 5 x^{3} + 2 x (18 x) + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

خطوة 1.1.8.13.8

اضرب $2$ في $5$ .

$5 x^{4} + 18 x^{3} + 16 x^{2} + 10 x^{3} + 2 x (18 x) + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

خطوة 1.1.8.13.9

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$5 x^{4} + 18 x^{3} + 16 x^{2} + 10 x^{3} + 2 \cdot 18 x \cdot x + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

خطوة 1.1.8.13.10

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.8.13.10.1

انقُل $x$ .

$5 x^{4} + 18 x^{3} + 16 x^{2} + 10 x^{3} + 2 \cdot 18 (x \cdot x) + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

خطوة 1.1.8.13.10.2

اضرب $x$ في $x$ .

$5 x^{4} + 18 x^{3} + 16 x^{2} + 10 x^{3} + 2 \cdot 18 x^{2} + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

خطوة 1.1.8.13.11

اضرب $2$ في $18$ .

$5 x^{4} + 18 x^{3} + 16 x^{2} + 10 x^{3} + 36 x^{2} + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

خطوة 1.1.8.13.12

اضرب $16$ في $2$ .

$5 x^{4} + 18 x^{3} + 16 x^{2} + 10 x^{3} + 36 x^{2} + 32 x + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

خطوة 1.1.8.13.13

اضرب $5 x^{2}$ في $1$ .

$5 x^{4} + 18 x^{3} + 16 x^{2} + 10 x^{3} + 36 x^{2} + 32 x + 5 x^{2} + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

خطوة 1.1.8.13.14

اضرب $18 x$ في $1$ .

$5 x^{4} + 18 x^{3} + 16 x^{2} + 10 x^{3} + 36 x^{2} + 32 x + 5 x^{2} + 18 x + 1 \cdot 16$

خطوة 1.1.8.13.15

اضرب $16$ في $1$ .

$5 x^{4} + 18 x^{3} + 16 x^{2} + 10 x^{3} + 36 x^{2} + 32 x + 5 x^{2} + 18 x + 16$

خطوة 1.1.8.14

أضف $18 x^{3}$ و $10 x^{3}$ .

$5 x^{4} + 28 x^{3} + 16 x^{2} + 36 x^{2} + 32 x + 5 x^{2} + 18 x + 16$

خطوة 1.1.8.15

أضف $16 x^{2}$ و $36 x^{2}$ .

$5 x^{4} + 28 x^{3} + 52 x^{2} + 32 x + 5 x^{2} + 18 x + 16$

خطوة 1.1.8.16

أضف $52 x^{2}$ و $5 x^{2}$ .

$5 x^{4} + 28 x^{3} + 57 x^{2} + 32 x + 18 x + 16$

خطوة 1.1.8.17

أضف $32 x$ و $18 x$ .

$f' (x) = 5 x^{4} + 28 x^{3} + 57 x^{2} + 50 x + 16$

خطوة 1.2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $5 x^{4} + 28 x^{3} + 57 x^{2} + 50 x + 16$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [28 x^{3}] + \frac{d}{d x} [57 x^{2}] + \frac{d}{d x} [50 x] + \frac{d}{d x} [16]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [28 x^{3}] + \frac{d}{d x} [57 x^{2}] + \frac{d}{d x} [50 x] + \frac{d}{d x} [16]$

خطوة 1.2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $5 x^{4}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [28 x^{3}] + \frac{d}{d x} [57 x^{2}] + \frac{d}{d x} [50 x] + \frac{d}{d x} [16]$

خطوة 1.2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [28 x^{3}] + \frac{d}{d x} [57 x^{2}] + \frac{d}{d x} [50 x] + \frac{d}{d x} [16]$

خطوة 1.2.2.3

اضرب $4$ في $5$ .

$20 x^{3} + \frac{d}{d x} [28 x^{3}] + \frac{d}{d x} [57 x^{2}] + \frac{d}{d x} [50 x] + \frac{d}{d x} [16]$

خطوة 1.2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [28 x^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

بما أن $28$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $28 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $28 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$20 x^{3} + 28 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [57 x^{2}] + \frac{d}{d x} [50 x] + \frac{d}{d x} [16]$

خطوة 1.2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$20 x^{3} + 28 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [57 x^{2}] + \frac{d}{d x} [50 x] + \frac{d}{d x} [16]$

خطوة 1.2.3.3

اضرب $3$ في $28$ .

$20 x^{3} + 84 x^{2} + \frac{d}{d x} [57 x^{2}] + \frac{d}{d x} [50 x] + \frac{d}{d x} [16]$

خطوة 1.2.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [57 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.1

بما أن $57$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $57 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $57 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$20 x^{3} + 84 x^{2} + 57 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [50 x] + \frac{d}{d x} [16]$

خطوة 1.2.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$20 x^{3} + 84 x^{2} + 57 (2 x) + \frac{d}{d x} [50 x] + \frac{d}{d x} [16]$

خطوة 1.2.4.3

اضرب $2$ في $57$ .

$20 x^{3} + 84 x^{2} + 114 x + \frac{d}{d x} [50 x] + \frac{d}{d x} [16]$

خطوة 1.2.5

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [50 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.1

بما أن $50$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $50 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $50 \frac{d}{d x} [x]$ .

$20 x^{3} + 84 x^{2} + 114 x + 50 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [16]$

خطوة 1.2.5.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$20 x^{3} + 84 x^{2} + 114 x + 50 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [16]$

خطوة 1.2.5.3

اضرب $50$ في $1$ .

$20 x^{3} + 84 x^{2} + 114 x + 50 + \frac{d}{d x} [16]$

خطوة 1.2.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.6.1

بما أن $16$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $16$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$20 x^{3} + 84 x^{2} + 114 x + 50 + 0$

خطوة 1.2.6.2

أضف $20 x^{3} + 84 x^{2} + 114 x + 50$ و $0$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} + 84 x^{2} + 114 x + 50$

خطوة 1.3

المشتق الثاني لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $20 x^{3} + 84 x^{2} + 114 x + 50$ .

$20 x^{3} + 84 x^{2} + 114 x + 50$

خطوة 2

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم حل المعادلة $20 x^{3} + 84 x^{2} + 114 x + 50 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$20 x^{3} + 84 x^{2} + 114 x + 50 = 0$

خطوة 2.2

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $20 x^{3} + 84 x^{2} + 114 x + 50$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

أخرِج العامل $2$ من $20 x^{3}$ .

$2 (10 x^{3}) + 84 x^{2} + 114 x + 50 = 0$

خطوة 2.2.1.2

أخرِج العامل $2$ من $84 x^{2}$ .

$2 (10 x^{3}) + 2 (42 x^{2}) + 114 x + 50 = 0$

خطوة 2.2.1.3

أخرِج العامل $2$ من $114 x$ .

$2 (10 x^{3}) + 2 (42 x^{2}) + 2 (57 x) + 50 = 0$

خطوة 2.2.1.4

أخرِج العامل $2$ من $50$ .

$2 (10 x^{3}) + 2 (42 x^{2}) + 2 (57 x) + 2 (25) = 0$

خطوة 2.2.1.5

أخرِج العامل $2$ من $2 (10 x^{3}) + 2 (42 x^{2})$ .

$2 (10 x^{3} + 42 x^{2}) + 2 (57 x) + 2 (25) = 0$

خطوة 2.2.1.6

أخرِج العامل $2$ من $2 (10 x^{3} + 42 x^{2}) + 2 (57 x)$ .

$2 (10 x^{3} + 42 x^{2} + 57 x) + 2 (25) = 0$

خطوة 2.2.1.7

أخرِج العامل $2$ من $2 (10 x^{3} + 42 x^{2} + 57 x) + 2 (25)$ .

$2 (10 x^{3} + 42 x^{2} + 57 x + 25) = 0$

خطوة 2.2.2

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

حلّل $10 x^{3} + 42 x^{2} + 57 x + 25$ إلى عوامل باستخدام اختبار الجذور النسبية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1.1

إذا كانت دالة متعددة الحدود لها معاملات عدد صحيح، فإن كل صفر نسبي سيكون بالصيغة $\frac{p}{q}$ والتي تكون فيها $p$ هي عامل الثابت و $q$ هي عامل المعامل الرئيسي.

$p = \pm 1, \pm 25, \pm 5$

$q = \pm 1, \pm 10, \pm 2, \pm 5$

خطوة 2.2.2.1.2

أوجِد كل تركيبة من تركيبات $\pm \frac{p}{q}$ . هذه هي الجذور المحتملة للدالة متعددة الحدود.

$\pm 1, \pm 0.1, \pm 0.5, \pm 0.2, \pm 25, \pm 2.5, \pm 12.5, \pm 5$

خطوة 2.2.2.1.3

عوّض بـ $- 1$ وبسّط العبارة. في هذه الحالة، العبارة تساوي $0$ ، إذن $- 1$ هو جذر متعدد الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1.3.1

عوّض بـ $- 1$ في متعدد الحدود.

$10 {(- 1)}^{3} + 42 {(- 1)}^{2} + 57 \cdot - 1 + 25$

خطوة 2.2.2.1.3.2

ارفع $- 1$ إلى القوة $3$ .

$10 \cdot - 1 + 42 {(- 1)}^{2} + 57 \cdot - 1 + 25$

خطوة 2.2.2.1.3.3

اضرب $10$ في $- 1$ .

$- 10 + 42 {(- 1)}^{2} + 57 \cdot - 1 + 25$

خطوة 2.2.2.1.3.4

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$- 10 + 42 \cdot 1 + 57 \cdot - 1 + 25$

خطوة 2.2.2.1.3.5

اضرب $42$ في $1$ .

$- 10 + 42 + 57 \cdot - 1 + 25$

خطوة 2.2.2.1.3.6

أضف $- 10$ و $42$ .

$32 + 57 \cdot - 1 + 25$

خطوة 2.2.2.1.3.7

اضرب $57$ في $- 1$ .

$32 - 57 + 25$

خطوة 2.2.2.1.3.8

اطرح $57$ من $32$ .

$- 25 + 25$

خطوة 2.2.2.1.3.9

أضف $- 25$ و $25$ .

$0$

خطوة 2.2.2.1.4

بما أن $- 1$ جذر معروف، اقسِم متعدد الحدود على $x + 1$ لإيجاد ناتج قسمة متعدد الحدود. ويمكن بعد ذلك استخدام متعدد الحدود لإيجاد الجذور المتبقية.

$\frac{10 x^{3} + 42 x^{2} + 57 x + 25}{x + 1}$

خطوة 2.2.2.1.5

اقسِم $10 x^{3} + 42 x^{2} + 57 x + 25$ على $x + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1.5.1

عيّن متعددات الحدود التي ستتم قسمتها. وفي حالة عدم وجود حد لكل أُس، أدخل حدًا واحدًا بقيمة $0$ .

$x$

$1$

$10 x^{3}$

$42 x^{2}$

$57 x$

$25$

خطوة 2.2.2.1.5.2

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $10 x^{3}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x$ .

					$10 x^{2}$
	$x$	+	$1$		$10 x^{3}$	+	$42 x^{2}$	+	$57 x$	+	$25$

خطوة 2.2.2.1.5.3

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$10 x^{2}$
$x$	+	$1$		$10 x^{3}$	+	$42 x^{2}$	+	$57 x$	+	$25$
			+	$10 x^{3}$	+	$10 x^{2}$

خطوة 2.2.2.1.5.4

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $10 x^{3} + 10 x^{2}$

				$10 x^{2}$
$x$	+	$1$		$10 x^{3}$	+	$42 x^{2}$	+	$57 x$	+	$25$
			-	$10 x^{3}$	-	$10 x^{2}$

خطوة 2.2.2.1.5.5

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$10 x^{2}$
$x$	+	$1$		$10 x^{3}$	+	$42 x^{2}$	+	$57 x$	+	$25$
			-	$10 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$32 x^{2}$

خطوة 2.2.2.1.5.6

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

				$10 x^{2}$
$x$	+	$1$		$10 x^{3}$	+	$42 x^{2}$	+	$57 x$	+	$25$
			-	$10 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$32 x^{2}$	+	$57 x$

خطوة 2.2.2.1.5.7

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $32 x^{2}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x$ .

				$10 x^{2}$	+	$32 x$
$x$	+	$1$		$10 x^{3}$	+	$42 x^{2}$	+	$57 x$	+	$25$
			-	$10 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$32 x^{2}$	+	$57 x$

خطوة 2.2.2.1.5.8

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$10 x^{2}$	+	$32 x$
$x$	+	$1$		$10 x^{3}$	+	$42 x^{2}$	+	$57 x$	+	$25$
			-	$10 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$32 x^{2}$	+	$57 x$
					+	$32 x^{2}$	+	$32 x$

خطوة 2.2.2.1.5.9

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $32 x^{2} + 32 x$

				$10 x^{2}$	+	$32 x$
$x$	+	$1$		$10 x^{3}$	+	$42 x^{2}$	+	$57 x$	+	$25$
			-	$10 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$32 x^{2}$	+	$57 x$
					-	$32 x^{2}$	-	$32 x$

خطوة 2.2.2.1.5.10

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$10 x^{2}$	+	$32 x$
$x$	+	$1$		$10 x^{3}$	+	$42 x^{2}$	+	$57 x$	+	$25$
			-	$10 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$32 x^{2}$	+	$57 x$
					-	$32 x^{2}$	-	$32 x$
							+	$25 x$

خطوة 2.2.2.1.5.11

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

				$10 x^{2}$	+	$32 x$
$x$	+	$1$		$10 x^{3}$	+	$42 x^{2}$	+	$57 x$	+	$25$
			-	$10 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$32 x^{2}$	+	$57 x$
					-	$32 x^{2}$	-	$32 x$
							+	$25 x$	+	$25$

خطوة 2.2.2.1.5.12

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $25 x$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x$ .

				$10 x^{2}$	+	$32 x$	+	$25$
$x$	+	$1$		$10 x^{3}$	+	$42 x^{2}$	+	$57 x$	+	$25$
			-	$10 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$32 x^{2}$	+	$57 x$
					-	$32 x^{2}$	-	$32 x$
							+	$25 x$	+	$25$

خطوة 2.2.2.1.5.13

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$10 x^{2}$	+	$32 x$	+	$25$
$x$	+	$1$		$10 x^{3}$	+	$42 x^{2}$	+	$57 x$	+	$25$
			-	$10 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$32 x^{2}$	+	$57 x$
					-	$32 x^{2}$	-	$32 x$
							+	$25 x$	+	$25$
							+	$25 x$	+	$25$

خطوة 2.2.2.1.5.14

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $25 x + 25$

				$10 x^{2}$	+	$32 x$	+	$25$
$x$	+	$1$		$10 x^{3}$	+	$42 x^{2}$	+	$57 x$	+	$25$
			-	$10 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$32 x^{2}$	+	$57 x$
					-	$32 x^{2}$	-	$32 x$
							+	$25 x$	+	$25$
							-	$25 x$	-	$25$

خطوة 2.2.2.1.5.15

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$10 x^{2}$	+	$32 x$	+	$25$
$x$	+	$1$		$10 x^{3}$	+	$42 x^{2}$	+	$57 x$	+	$25$
			-	$10 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$32 x^{2}$	+	$57 x$
					-	$32 x^{2}$	-	$32 x$
							+	$25 x$	+	$25$
							-	$25 x$	-	$25$
										$0$

خطوة 2.2.2.1.5.16

بما أن الباقي يساوي $0$ ، إذن الإجابة النهائية هي ناتج القسمة.

$10 x^{2} + 32 x + 25$

خطوة 2.2.2.1.6

اكتب $10 x^{3} + 42 x^{2} + 57 x + 25$ في صورة مجموعة من العوامل.

$2 ((x + 1) (10 x^{2} + 32 x + 25)) = 0$

خطوة 2.2.2.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$2 (x + 1) (10 x^{2} + 32 x + 25) = 0$

خطوة 2.3

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x + 1 = 0$

$10 x^{2} + 32 x + 25 = 0$

خطوة 2.4

عيّن قيمة العبارة $x + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

عيّن قيمة $x + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x + 1 = 0$

خطوة 2.4.2

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$x = - 1$

خطوة 2.5

عيّن قيمة العبارة $10 x^{2} + 32 x + 25$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

عيّن قيمة $10 x^{2} + 32 x + 25$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$10 x^{2} + 32 x + 25 = 0$

خطوة 2.5.2

أوجِد قيمة $x$ في $10 x^{2} + 32 x + 25 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.1

استخدِم الصيغة التربيعية لإيجاد الحلول.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

خطوة 2.5.2.2

عوّض بقيم $a = 10$ و $b = 32$ و $c = 25$ في الصيغة التربيعية وأوجِد قيمة $x$ .

$\frac{- 32 \pm \sqrt{32^{2} - 4 \cdot (10 \cdot 25)}}{2 \cdot 10}$

خطوة 2.5.2.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.3.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.3.1.1

ارفع $32$ إلى القوة $2$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 - 4 \cdot 10 \cdot 25}}{2 \cdot 10}$

خطوة 2.5.2.3.1.2

اضرب $- 4 \cdot 10 \cdot 25$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.3.1.2.1

اضرب $- 4$ في $10$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 - 40 \cdot 25}}{2 \cdot 10}$

خطوة 2.5.2.3.1.2.2

اضرب $- 40$ في $25$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 - 1000}}{2 \cdot 10}$

خطوة 2.5.2.3.1.3

اطرح $1000$ من $1024$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{24}}{2 \cdot 10}$

خطوة 2.5.2.3.1.4

أعِد كتابة $24$ بالصيغة $2^{2} \cdot 6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.3.1.4.1

أخرِج العامل $4$ من $24$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{4 (6)}}{2 \cdot 10}$

خطوة 2.5.2.3.1.4.2

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 6}}{2 \cdot 10}$

خطوة 2.5.2.3.1.5

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$x = \frac{- 32 \pm 2 \sqrt{6}}{2 \cdot 10}$

خطوة 2.5.2.3.2

اضرب $2$ في $10$ .

$x = \frac{- 32 \pm 2 \sqrt{6}}{20}$

خطوة 2.5.2.3.3

بسّط $\frac{- 32 \pm 2 \sqrt{6}}{20}$ .

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{6}}{10}$

خطوة 2.5.2.4

بسّط العبارة لإيجاد قيمة الجزء $+$ من $\pm$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.4.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.4.1.1

ارفع $32$ إلى القوة $2$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 - 4 \cdot 10 \cdot 25}}{2 \cdot 10}$

خطوة 2.5.2.4.1.2

اضرب $- 4 \cdot 10 \cdot 25$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.4.1.2.1

اضرب $- 4$ في $10$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 - 40 \cdot 25}}{2 \cdot 10}$

خطوة 2.5.2.4.1.2.2

اضرب $- 40$ في $25$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 - 1000}}{2 \cdot 10}$

خطوة 2.5.2.4.1.3

اطرح $1000$ من $1024$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{24}}{2 \cdot 10}$

خطوة 2.5.2.4.1.4

أعِد كتابة $24$ بالصيغة $2^{2} \cdot 6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.4.1.4.1

أخرِج العامل $4$ من $24$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{4 (6)}}{2 \cdot 10}$

خطوة 2.5.2.4.1.4.2

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 6}}{2 \cdot 10}$

خطوة 2.5.2.4.1.5

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$x = \frac{- 32 \pm 2 \sqrt{6}}{2 \cdot 10}$

خطوة 2.5.2.4.2

اضرب $2$ في $10$ .

$x = \frac{- 32 \pm 2 \sqrt{6}}{20}$

خطوة 2.5.2.4.3

بسّط $\frac{- 32 \pm 2 \sqrt{6}}{20}$ .

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{6}}{10}$

خطوة 2.5.2.4.4

غيّر $\pm$ إلى $+$ .

$x = \frac{- 16 + \sqrt{6}}{10}$

خطوة 2.5.2.4.5

أعِد كتابة $- 16$ بالصيغة $- 1 (16)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 16 + \sqrt{6}}{10}$

خطوة 2.5.2.4.6

أخرِج العامل $- 1$ من $\sqrt{6}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 16 - 1 (- \sqrt{6})}{10}$

خطوة 2.5.2.4.7

أخرِج العامل $- 1$ من $- 1 (16) - 1 (- \sqrt{6})$ .

$x = \frac{- 1 (16 - \sqrt{6})}{10}$

خطوة 2.5.2.4.8

انقُل السالب أمام الكسر.

$x = - \frac{16 - \sqrt{6}}{10}$

خطوة 2.5.2.5

بسّط العبارة لإيجاد قيمة الجزء $-$ من $\pm$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.5.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.5.1.1

ارفع $32$ إلى القوة $2$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 - 4 \cdot 10 \cdot 25}}{2 \cdot 10}$

خطوة 2.5.2.5.1.2

اضرب $- 4 \cdot 10 \cdot 25$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.5.1.2.1

اضرب $- 4$ في $10$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 - 40 \cdot 25}}{2 \cdot 10}$

خطوة 2.5.2.5.1.2.2

اضرب $- 40$ في $25$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 - 1000}}{2 \cdot 10}$

خطوة 2.5.2.5.1.3

اطرح $1000$ من $1024$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{24}}{2 \cdot 10}$

خطوة 2.5.2.5.1.4

أعِد كتابة $24$ بالصيغة $2^{2} \cdot 6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.5.1.4.1

أخرِج العامل $4$ من $24$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{4 (6)}}{2 \cdot 10}$

خطوة 2.5.2.5.1.4.2

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 6}}{2 \cdot 10}$

خطوة 2.5.2.5.1.5

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$x = \frac{- 32 \pm 2 \sqrt{6}}{2 \cdot 10}$

خطوة 2.5.2.5.2

اضرب $2$ في $10$ .

$x = \frac{- 32 \pm 2 \sqrt{6}}{20}$

خطوة 2.5.2.5.3

بسّط $\frac{- 32 \pm 2 \sqrt{6}}{20}$ .

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{6}}{10}$

خطوة 2.5.2.5.4

غيّر $\pm$ إلى $-$ .

$x = \frac{- 16 - \sqrt{6}}{10}$

خطوة 2.5.2.5.5

أعِد كتابة $- 16$ بالصيغة $- 1 (16)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 16 - \sqrt{6}}{10}$

خطوة 2.5.2.5.6

أخرِج العامل $- 1$ من $- \sqrt{6}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 16 - (\sqrt{6})}{10}$

خطوة 2.5.2.5.7

أخرِج العامل $- 1$ من $- 1 (16) - (\sqrt{6})$ .

$x = \frac{- 1 (16 + \sqrt{6})}{10}$

خطوة 2.5.2.5.8

انقُل السالب أمام الكسر.

$x = - \frac{16 + \sqrt{6}}{10}$

خطوة 2.5.2.6

الإجابة النهائية هي تركيبة من كلا الحلّين.

$x = - \frac{16 - \sqrt{6}}{10}, - \frac{16 + \sqrt{6}}{10}$

خطوة 2.6

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $2 (x + 1) (10 x^{2} + 32 x + 25) = 0$ صحيحة.

$x = - 1, - \frac{16 - \sqrt{6}}{10}, - \frac{16 + \sqrt{6}}{10}$

خطوة 3

أوجِد النقاط التي يكون فيها المشتق الثاني هو $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بقيمة $- 1$ في $f (x) = {(x + 1)}^{3} {(x + 2)}^{2}$ لإيجاد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 1$ في العبارة.

$f (- 1) = {((- 1) + 1)}^{3} {((- 1) + 2)}^{2}$

خطوة 3.1.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1

أضف $- 1$ و $1$ .

$f (- 1) = 0^{3} {((- 1) + 2)}^{2}$

خطوة 3.1.2.2

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$f (- 1) = 0 {((- 1) + 2)}^{2}$

خطوة 3.1.2.3

أضف $- 1$ و $2$ .

$f (- 1) = 0 \cdot 1^{2}$

خطوة 3.1.2.4

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$f (- 1) = 0 \cdot 1$

خطوة 3.1.2.5

اضرب $0$ في $1$ .

$f (- 1) = 0$

خطوة 3.1.2.6

الإجابة النهائية هي $0$ .

$0$

خطوة 3.2

النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ $- 1$ في $f (x) = {(x + 1)}^{3} {(x + 2)}^{2}$ هي $(- 1, 0)$ . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.

$(- 1, 0)$

خطوة 3.3

عوّض بقيمة $- 1.35505102$ في $f (x) = {(x + 1)}^{3} {(x + 2)}^{2}$ لإيجاد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 1.35505102$ في العبارة.

$f (- 1.35505102) = {((- 1.35505102) + 1)}^{3} {((- 1.35505102) + 2)}^{2}$

خطوة 3.3.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

أضف $- 1.35505102$ و $1$ .

$f (- 1.35505102) = {(- 0.35505102)}^{3} {((- 1.35505102) + 2)}^{2}$

خطوة 3.3.2.2

ارفع $- 0.35505102$ إلى القوة $3$ .

$f (- 1.35505102) = - 0.04475816 {((- 1.35505102) + 2)}^{2}$

خطوة 3.3.2.3

أضف $- 1.35505102$ و $2$ .

$f (- 1.35505102) = - 0.04475816 \cdot {0.64494897}^{2}$

خطوة 3.3.2.4

ارفع $0.64494897$ إلى القوة $2$ .

$f (- 1.35505102) = - 0.04475816 \cdot 0.41595917$

خطوة 3.3.2.5

اضرب $- 0.04475816$ في $0.41595917$ .

$f (- 1.35505102) = - 0.01861757$

خطوة 3.3.2.6

الإجابة النهائية هي $- 0.01861757$ .

$- 0.01861757$

خطوة 3.4

النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ $- 1.35505102$ في $f (x) = {(x + 1)}^{3} {(x + 2)}^{2}$ هي $(- 1.35505102, - 0.01861757)$ . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.

$(- 1.35505102, - 0.01861757)$

خطوة 3.5

عوّض بقيمة $- 1.84494897$ في $f (x) = {(x + 1)}^{3} {(x + 2)}^{2}$ لإيجاد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 1.84494897$ في العبارة.

$f (- 1.84494897) = {((- 1.84494897) + 1)}^{3} {((- 1.84494897) + 2)}^{2}$

خطوة 3.5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1

أضف $- 1.84494897$ و $1$ .

$f (- 1.84494897) = {(- 0.84494897)}^{3} {((- 1.84494897) + 2)}^{2}$

خطوة 3.5.2.2

ارفع $- 0.84494897$ إلى القوة $3$ .

$f (- 1.84494897) = - 0.60324183 {((- 1.84494897) + 2)}^{2}$

خطوة 3.5.2.3

أضف $- 1.84494897$ و $2$ .

$f (- 1.84494897) = - 0.60324183 \cdot {0.15505102}^{2}$

خطوة 3.5.2.4

ارفع $0.15505102$ إلى القوة $2$ .

$f (- 1.84494897) = - 0.60324183 \cdot 0.02404082$

خطوة 3.5.2.5

اضرب $- 0.60324183$ في $0.02404082$ .

$f (- 1.84494897) = - 0.01450242$

خطوة 3.5.2.6

الإجابة النهائية هي $- 0.01450242$ .

$- 0.01450242$

خطوة 3.6

النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ $- 1.84494897$ في $f (x) = {(x + 1)}^{3} {(x + 2)}^{2}$ هي $(- 1.84494897, - 0.01450242)$ . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.

$(- 1.84494897, - 0.01450242)$

خطوة 3.7

حدد النقاط التي يمكن أن تكون نقاط انقلاب.

$(- 1, 0), (- 1.35505102, - 0.01861757), (- 1.84494897, - 0.01450242)$

خطوة 4

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات حول النقاط التي من المحتمل أن تكون نقاط انقلاب.

$(- \infty, - 1.84494897) \cup (- 1.84494897, - 1.35505102) \cup (- 1.35505102, - 1) \cup (- 1, \infty)$

خطوة 5

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, - 1.84494897)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 1.94494897$ في العبارة.

$f'' (- 1.94494897) = 20 {(- 1.94494897)}^{3} + 84 {(- 1.94494897)}^{2} + 114 (- 1.94494897) + 50$

خطوة 5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

ارفع $- 1.94494897$ إلى القوة $3$ .

$f'' (- 1.94494897) = 20 \cdot - 7.35740454 + 84 {(- 1.94494897)}^{2} + 114 (- 1.94494897) + 50$

خطوة 5.2.1.2

اضرب $20$ في $- 7.35740454$ .

$f'' (- 1.94494897) = - 147.1480909 + 84 {(- 1.94494897)}^{2} + 114 (- 1.94494897) + 50$

خطوة 5.2.1.3

ارفع $- 1.94494897$ إلى القوة $2$ .

$f'' (- 1.94494897) = - 147.1480909 + 84 \cdot 3.78282651 + 114 (- 1.94494897) + 50$

خطوة 5.2.1.4

اضرب $84$ في $3.78282651$ .

$f'' (- 1.94494897) = - 147.1480909 + 317.75742705 + 114 (- 1.94494897) + 50$

خطوة 5.2.1.5

اضرب $114$ في $- 1.94494897$ .

$f'' (- 1.94494897) = - 147.1480909 + 317.75742705 - 221.72418306 + 50$

خطوة 5.2.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

أضف $- 147.1480909$ و $317.75742705$ .

$f'' (- 1.94494897) = 170.60933614 - 221.72418306 + 50$

خطوة 5.2.2.2

اطرح $221.72418306$ من $170.60933614$ .

$f'' (- 1.94494897) = - 51.11484692 + 50$

خطوة 5.2.2.3

أضف $- 51.11484692$ و $50$ .

$f'' (- 1.94494897) = - 1.11484692$

خطوة 5.2.3

الإجابة النهائية هي $- 1.11484692$ .

$- 1.11484692$

خطوة 5.3

المشتق الثاني عند $- 1.94494897$ يساوي $- 1.11484692$ . وبما أنه سالب، فإن المشتق الثاني يتناقص خلال الفترة $(- \infty, - 1.84494897)$

تناقص خلال $(- \infty, - 1.84494897)$ حيث إن $f'' (x) < 0$

خطوة 6

عوّض بقيمة من الفترة $(- 1.84494897, - 1.35505102)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 1.6$ في العبارة.

$f'' (- 1.6) = 20 {(- 1.6)}^{3} + 84 {(- 1.6)}^{2} + 114 (- 1.6) + 50$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

ارفع $- 1.6$ إلى القوة $3$ .

$f'' (- 1.6) = 20 \cdot - 4.096 + 84 {(- 1.6)}^{2} + 114 (- 1.6) + 50$

خطوة 6.2.1.2

اضرب $20$ في $- 4.096$ .

$f'' (- 1.6) = - 81.92 + 84 {(- 1.6)}^{2} + 114 (- 1.6) + 50$

خطوة 6.2.1.3

ارفع $- 1.6$ إلى القوة $2$ .

$f'' (- 1.6) = - 81.92 + 84 \cdot 2.56 + 114 (- 1.6) + 50$

خطوة 6.2.1.4

اضرب $84$ في $2.56$ .

$f'' (- 1.6) = - 81.92 + 215.04 + 114 (- 1.6) + 50$

خطوة 6.2.1.5

اضرب $114$ في $- 1.6$ .

$f'' (- 1.6) = - 81.92 + 215.04 - 182.4 + 50$

خطوة 6.2.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

أضف $- 81.92$ و $215.04$ .

$f'' (- 1.6) = 133.12 - 182.4 + 50$

خطوة 6.2.2.2

اطرح $182.4$ من $133.12$ .

$f'' (- 1.6) = - 49.28 + 50$

خطوة 6.2.2.3

أضف $- 49.28$ و $50$ .

$f'' (- 1.6) = 0.72$

خطوة 6.2.3

الإجابة النهائية هي $0.72$ .

$0.72$

خطوة 6.3

في $- 1.6$ ، المشتق الثاني هو $0.72$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن المشتق الثاني يتزايد على مدى الفترة $(- 1.84494897, - 1.35505102)$ .

تزايد خلال $(- 1.84494897, - 1.35505102)$ نظرًا إلى أن $f'' (x) > 0$

خطوة 7

عوّض بقيمة من الفترة $(- 1.35505102, - 1)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 1.17752551$ في العبارة.

$f'' (- 1.17752551) = 20 {(- 1.17752551)}^{3} + 84 {(- 1.17752551)}^{2} + 114 (- 1.17752551) + 50$

خطوة 7.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

ارفع $- 1.17752551$ إلى القوة $3$ .

$f'' (- 1.17752551) = 20 \cdot - 1.63271723 + 84 {(- 1.17752551)}^{2} + 114 (- 1.17752551) + 50$

خطوة 7.2.1.2

اضرب $20$ في $- 1.63271723$ .

$f'' (- 1.17752551) = - 32.65434465 + 84 {(- 1.17752551)}^{2} + 114 (- 1.17752551) + 50$

خطوة 7.2.1.3

ارفع $- 1.17752551$ إلى القوة $2$ .

$f'' (- 1.17752551) = - 32.65434465 + 84 \cdot 1.38656633 + 114 (- 1.17752551) + 50$

خطوة 7.2.1.4

اضرب $84$ في $1.38656633$ .

$f'' (- 1.17752551) = - 32.65434465 + 116.471572 + 114 (- 1.17752551) + 50$

خطوة 7.2.1.5

اضرب $114$ في $- 1.17752551$ .

$f'' (- 1.17752551) = - 32.65434465 + 116.471572 - 134.23790846 + 50$

خطوة 7.2.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1

أضف $- 32.65434465$ و $116.471572$ .

$f'' (- 1.17752551) = 83.81722735 - 134.23790846 + 50$

خطوة 7.2.2.2

اطرح $134.23790846$ من $83.81722735$ .

$f'' (- 1.17752551) = - 50.42068111 + 50$

خطوة 7.2.2.3

أضف $- 50.42068111$ و $50$ .

$f'' (- 1.17752551) = - 0.42068111$

خطوة 7.2.3

الإجابة النهائية هي $- 0.42068111$ .

$- 0.42068111$

خطوة 7.3

المشتق الثاني عند $- 1.17752551$ يساوي $- 0.42068111$ . وبما أنه سالب، فإن المشتق الثاني يتناقص خلال الفترة $(- 1.35505102, - 1)$

تناقص خلال $(- 1.35505102, - 1)$ حيث إن $f'' (x) < 0$

خطوة 8

عوّض بقيمة من الفترة $(- 1, \infty)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 0.9$ في العبارة.

$f'' (- 0.9) = 20 {(- 0.9)}^{3} + 84 {(- 0.9)}^{2} + 114 (- 0.9) + 50$

خطوة 8.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.1

ارفع $- 0.9$ إلى القوة $3$ .

$f'' (- 0.9) = 20 \cdot - 0.729 + 84 {(- 0.9)}^{2} + 114 (- 0.9) + 50$

خطوة 8.2.1.2

اضرب $20$ في $- 0.729$ .

$f'' (- 0.9) = - 14.58 + 84 {(- 0.9)}^{2} + 114 (- 0.9) + 50$

خطوة 8.2.1.3

ارفع $- 0.9$ إلى القوة $2$ .

$f'' (- 0.9) = - 14.58 + 84 \cdot 0.81 + 114 (- 0.9) + 50$

خطوة 8.2.1.4

اضرب $84$ في $0.81$ .

$f'' (- 0.9) = - 14.58 + 68.04 + 114 (- 0.9) + 50$

خطوة 8.2.1.5

اضرب $114$ في $- 0.9$ .

$f'' (- 0.9) = - 14.58 + 68.04 - 102.6 + 50$

خطوة 8.2.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.2.1

أضف $- 14.58$ و $68.04$ .

$f'' (- 0.9) = 53.46 - 102.6 + 50$

خطوة 8.2.2.2

اطرح $102.6$ من $53.46$ .

$f'' (- 0.9) = - 49.14 + 50$

خطوة 8.2.2.3

أضف $- 49.14$ و $50$ .

$f'' (- 0.9) = 0.86$

خطوة 8.2.3

الإجابة النهائية هي $0.86$ .

$0.86$

خطوة 8.3

في $- 0.9$ ، المشتق الثاني هو $0.86$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن المشتق الثاني يتزايد على مدى الفترة $(- 1, \infty)$ .

تزايد خلال $(- 1, \infty)$ نظرًا إلى أن $f'' (x) > 0$

خطوة 9

نقطة الانقلاب هي نقطة على منحنى يغيّر التقعر عندها العلامة من موجب إلى سالب أو من سالب إلى موجب. نقاط الانقلاب في هذه الحالة هي $(- 1.84494897, - 0.01450242), (- 1.35505102, - 0.01861757), (- 1, 0)$ .

$(- 1.84494897, - 0.01450242), (- 1.35505102, - 0.01861757), (- 1, 0)$

خطوة 10