حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = x^{2} {(4 - 2 x)}^{2}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أعِد كتابة ${(4 - 2 x)}^{2}$ بالصيغة $(4 - 2 x) (4 - 2 x)$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} ((4 - 2 x) (4 - 2 x))]$

خطوة 1.1.2

وسّع $(4 - 2 x) (4 - 2 x)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{d}{d x} [x^{2} (4 (4 - 2 x) - 2 x (4 - 2 x))]$

خطوة 1.1.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{d}{d x} [x^{2} (4 \cdot 4 + 4 (- 2 x) - 2 x (4 - 2 x))]$

خطوة 1.1.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{d}{d x} [x^{2} (4 \cdot 4 + 4 (- 2 x) - 2 x \cdot 4 - 2 x (- 2 x))]$

خطوة 1.1.3

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1.1

اضرب $4$ في $4$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} (16 + 4 (- 2 x) - 2 x \cdot 4 - 2 x (- 2 x))]$

خطوة 1.1.3.1.2

اضرب $- 2$ في $4$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} (16 - 8 x - 2 x \cdot 4 - 2 x (- 2 x))]$

خطوة 1.1.3.1.3

اضرب $4$ في $- 2$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} (16 - 8 x - 8 x - 2 x (- 2 x))]$

خطوة 1.1.3.1.4

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{d}{d x} [x^{2} (16 - 8 x - 8 x - 2 \cdot - 2 x \cdot x)]$

خطوة 1.1.3.1.5

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1.5.1

انقُل $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} (16 - 8 x - 8 x - 2 \cdot - 2 (x \cdot x))]$

خطوة 1.1.3.1.5.2

اضرب $x$ في $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} (16 - 8 x - 8 x - 2 \cdot - 2 x^{2})]$

خطوة 1.1.3.1.6

اضرب $- 2$ في $- 2$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} (16 - 8 x - 8 x + 4 x^{2})]$

خطوة 1.1.3.2

اطرح $8 x$ من $- 8 x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} (16 - 16 x + 4 x^{2})]$

خطوة 1.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = 16 - 16 x + 4 x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [16 - 16 x + 4 x^{2}] + (16 - 16 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 1.1.5

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.5.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $16 - 16 x + 4 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [- 16 x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

$x^{2} (\frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [- 16 x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]) + (16 - 16 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 1.1.5.2

بما أن $16$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $16$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$x^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- 16 x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]) + (16 - 16 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 1.1.5.3

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [- 16 x]$ .

$x^{2} (\frac{d}{d x} [- 16 x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]) + (16 - 16 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 1.1.5.4

بما أن $- 16$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 16 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 16 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} (- 16 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]) + (16 - 16 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 1.1.5.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$x^{2} (- 16 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]) + (16 - 16 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 1.1.5.6

اضرب $- 16$ في $1$ .

$x^{2} (- 16 + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]) + (16 - 16 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 1.1.5.7

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x^{2} (- 16 + 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (16 - 16 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 1.1.5.8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$x^{2} (- 16 + 4 (2 x)) + (16 - 16 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 1.1.5.9

اضرب $2$ في $4$ .

$x^{2} (- 16 + 8 x) + (16 - 16 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 1.1.5.10

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$x^{2} (- 16 + 8 x) + (16 - 16 x + 4 x^{2}) (2 x)$

خطوة 1.1.5.11

انقُل $2$ إلى يسار $16 - 16 x + 4 x^{2}$ .

$x^{2} (- 16 + 8 x) + 2 \cdot (16 - 16 x + 4 x^{2}) x$

خطوة 1.1.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.6.1

طبّق خاصية التوزيع.

$x^{2} \cdot - 16 + x^{2} (8 x) + 2 (16 - 16 x + 4 x^{2}) x$

خطوة 1.1.6.2

طبّق خاصية التوزيع.

$x^{2} \cdot - 16 + x^{2} (8 x) + (2 \cdot 16 + 2 (- 16 x) + 2 (4 x^{2})) x$

خطوة 1.1.6.3

طبّق خاصية التوزيع.

$x^{2} \cdot - 16 + x^{2} (8 x) + 2 \cdot 16 x + 2 (- 16 x) x + 2 (4 x^{2}) x$

خطوة 1.1.6.4

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.6.4.1

انقُل $- 16$ إلى يسار $x^{2}$ .

$- 16 \cdot x^{2} + x^{2} (8 x) + 2 \cdot 16 x + 2 (- 16 x) x + 2 (4 x^{2}) x$

خطوة 1.1.6.4.2

اضرب $x^{2}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.6.4.2.1

انقُل $x$ .

$- 16 x^{2} + x \cdot x^{2} \cdot 8 + 2 \cdot 16 x + 2 (- 16 x) x + 2 (4 x^{2}) x$

خطوة 1.1.6.4.2.2

اضرب $x$ في $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.6.4.2.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$- 16 x^{2} + x^{1} x^{2} \cdot 8 + 2 \cdot 16 x + 2 (- 16 x) x + 2 (4 x^{2}) x$

خطوة 1.1.6.4.2.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$- 16 x^{2} + x^{1 + 2} \cdot 8 + 2 \cdot 16 x + 2 (- 16 x) x + 2 (4 x^{2}) x$

خطوة 1.1.6.4.2.3

أضف $1$ و $2$ .

$- 16 x^{2} + x^{3} \cdot 8 + 2 \cdot 16 x + 2 (- 16 x) x + 2 (4 x^{2}) x$

خطوة 1.1.6.4.3

انقُل $8$ إلى يسار $x^{3}$ .

$- 16 x^{2} + 8 \cdot x^{3} + 2 \cdot 16 x + 2 (- 16 x) x + 2 (4 x^{2}) x$

خطوة 1.1.6.4.4

اضرب $2$ في $16$ .

$- 16 x^{2} + 8 x^{3} + 32 x + 2 (- 16 x) x + 2 (4 x^{2}) x$

خطوة 1.1.6.4.5

اضرب $- 16$ في $2$ .

$- 16 x^{2} + 8 x^{3} + 32 x - 32 x \cdot x + 2 (4 x^{2}) x$

خطوة 1.1.6.4.6

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$- 16 x^{2} + 8 x^{3} + 32 x - 32 (x^{1} x) + 2 (4 x^{2}) x$

خطوة 1.1.6.4.7

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$- 16 x^{2} + 8 x^{3} + 32 x - 32 (x^{1} x^{1}) + 2 (4 x^{2}) x$

خطوة 1.1.6.4.8

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$- 16 x^{2} + 8 x^{3} + 32 x - 32 x^{1 + 1} + 2 (4 x^{2}) x$

خطوة 1.1.6.4.9

أضف $1$ و $1$ .

$- 16 x^{2} + 8 x^{3} + 32 x - 32 x^{2} + 2 (4 x^{2}) x$

خطوة 1.1.6.4.10

اضرب $4$ في $2$ .

$- 16 x^{2} + 8 x^{3} + 32 x - 32 x^{2} + 8 x^{2} x$

خطوة 1.1.6.4.11

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$- 16 x^{2} + 8 x^{3} + 32 x - 32 x^{2} + 8 (x^{1} x^{2})$

خطوة 1.1.6.4.12

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$- 16 x^{2} + 8 x^{3} + 32 x - 32 x^{2} + 8 x^{1 + 2}$

خطوة 1.1.6.4.13

أضف $1$ و $2$ .

$- 16 x^{2} + 8 x^{3} + 32 x - 32 x^{2} + 8 x^{3}$

خطوة 1.1.6.4.14

اطرح $32 x^{2}$ من $- 16 x^{2}$ .

$- 48 x^{2} + 8 x^{3} + 32 x + 8 x^{3}$

خطوة 1.1.6.4.15

أضف $8 x^{3}$ و $8 x^{3}$ .

$- 48 x^{2} + 16 x^{3} + 32 x$

خطوة 1.1.6.5

أعِد ترتيب الحدود.

$f' (x) = 16 x^{3} - 48 x^{2} + 32 x$

خطوة 1.2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $16 x^{3} - 48 x^{2} + 32 x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [32 x]$ .

$\frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [32 x]$

خطوة 1.2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [16 x^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

بما أن $16$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $16 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $16 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$16 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [32 x]$

خطوة 1.2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$16 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [32 x]$

خطوة 1.2.2.3

اضرب $3$ في $16$ .

$48 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [32 x]$

خطوة 1.2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 48 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

بما أن $- 48$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 48 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 48 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$48 x^{2} - 48 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [32 x]$

خطوة 1.2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$48 x^{2} - 48 (2 x) + \frac{d}{d x} [32 x]$

خطوة 1.2.3.3

اضرب $2$ في $- 48$ .

$48 x^{2} - 96 x + \frac{d}{d x} [32 x]$

خطوة 1.2.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [32 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.1

بما أن $32$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $32 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $32 \frac{d}{d x} [x]$ .

$48 x^{2} - 96 x + 32 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.2.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$48 x^{2} - 96 x + 32 \cdot 1$

خطوة 1.2.4.3

اضرب $32$ في $1$ .

$f'' (x) = 48 x^{2} - 96 x + 32$

خطوة 1.3

المشتق الثاني لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $48 x^{2} - 96 x + 32$ .

$48 x^{2} - 96 x + 32$

خطوة 2

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم حل المعادلة $48 x^{2} - 96 x + 32 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$48 x^{2} - 96 x + 32 = 0$

خطوة 2.2

أخرِج العامل $16$ من $48 x^{2} - 96 x + 32$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أخرِج العامل $16$ من $48 x^{2}$ .

$16 (3 x^{2}) - 96 x + 32 = 0$

خطوة 2.2.2

أخرِج العامل $16$ من $- 96 x$ .

$16 (3 x^{2}) + 16 (- 6 x) + 32 = 0$

خطوة 2.2.3

أخرِج العامل $16$ من $32$ .

$16 (3 x^{2}) + 16 (- 6 x) + 16 (2) = 0$

خطوة 2.2.4

أخرِج العامل $16$ من $16 (3 x^{2}) + 16 (- 6 x)$ .

$16 (3 x^{2} - 6 x) + 16 (2) = 0$

خطوة 2.2.5

أخرِج العامل $16$ من $16 (3 x^{2} - 6 x) + 16 (2)$ .

$16 (3 x^{2} - 6 x + 2) = 0$

خطوة 2.3

اقسِم كل حد في $16 (3 x^{2} - 6 x + 2) = 0$ على $16$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

اقسِم كل حد في $16 (3 x^{2} - 6 x + 2) = 0$ على $16$ .

$\frac{16 (3 x^{2} - 6 x + 2)}{16} = \frac{0}{16}$

خطوة 2.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $16$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{16 (3 x^{2} - 6 x + 2)}{16} = \frac{0}{16}$

خطوة 2.3.2.1.2

اقسِم $3 x^{2} - 6 x + 2$ على $1$ .

$3 x^{2} - 6 x + 2 = \frac{0}{16}$

خطوة 2.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

اقسِم $0$ على $16$ .

$3 x^{2} - 6 x + 2 = 0$

خطوة 2.4

استخدِم الصيغة التربيعية لإيجاد الحلول.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

خطوة 2.5

عوّض بقيم $a = 3$ و $b = - 6$ و $c = 2$ في الصيغة التربيعية وأوجِد قيمة $x$ .

$\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot 2)}}{2 \cdot 3}$

خطوة 2.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1.1

ارفع $- 6$ إلى القوة $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 3 \cdot 2}}{2 \cdot 3}$

خطوة 2.6.1.2

اضرب $- 4 \cdot 3 \cdot 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1.2.1

اضرب $- 4$ في $3$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 12 \cdot 2}}{2 \cdot 3}$

خطوة 2.6.1.2.2

اضرب $- 12$ في $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 24}}{2 \cdot 3}$

خطوة 2.6.1.3

اطرح $24$ من $36$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 3}$

خطوة 2.6.1.4

أعِد كتابة $12$ بالصيغة $2^{2} \cdot 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1.4.1

أخرِج العامل $4$ من $12$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 3}$

خطوة 2.6.1.4.2

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

خطوة 2.6.1.5

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

خطوة 2.6.2

اضرب $2$ في $3$ .

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{6}$

خطوة 2.6.3

بسّط $\frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{6}$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{3}}{3}$

خطوة 2.7

بسّط العبارة لإيجاد قيمة الجزء $+$ من $\pm$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.1.1

ارفع $- 6$ إلى القوة $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 3 \cdot 2}}{2 \cdot 3}$

خطوة 2.7.1.2

اضرب $- 4 \cdot 3 \cdot 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.1.2.1

اضرب $- 4$ في $3$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 12 \cdot 2}}{2 \cdot 3}$

خطوة 2.7.1.2.2

اضرب $- 12$ في $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 24}}{2 \cdot 3}$

خطوة 2.7.1.3

اطرح $24$ من $36$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 3}$

خطوة 2.7.1.4

أعِد كتابة $12$ بالصيغة $2^{2} \cdot 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.1.4.1

أخرِج العامل $4$ من $12$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 3}$

خطوة 2.7.1.4.2

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

خطوة 2.7.1.5

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

خطوة 2.7.2

اضرب $2$ في $3$ .

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{6}$

خطوة 2.7.3

بسّط $\frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{6}$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{3}}{3}$

خطوة 2.7.4

غيّر $\pm$ إلى $+$ .

$x = \frac{3 + \sqrt{3}}{3}$

خطوة 2.8

بسّط العبارة لإيجاد قيمة الجزء $-$ من $\pm$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.1.1

ارفع $- 6$ إلى القوة $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 3 \cdot 2}}{2 \cdot 3}$

خطوة 2.8.1.2

اضرب $- 4 \cdot 3 \cdot 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.1.2.1

اضرب $- 4$ في $3$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 12 \cdot 2}}{2 \cdot 3}$

خطوة 2.8.1.2.2

اضرب $- 12$ في $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 24}}{2 \cdot 3}$

خطوة 2.8.1.3

اطرح $24$ من $36$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 3}$

خطوة 2.8.1.4

أعِد كتابة $12$ بالصيغة $2^{2} \cdot 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.1.4.1

أخرِج العامل $4$ من $12$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 3}$

خطوة 2.8.1.4.2

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

خطوة 2.8.1.5

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

خطوة 2.8.2

اضرب $2$ في $3$ .

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{6}$

خطوة 2.8.3

بسّط $\frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{6}$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{3}}{3}$

خطوة 2.8.4

غيّر $\pm$ إلى $-$ .

$x = \frac{3 - \sqrt{3}}{3}$

خطوة 2.9

الإجابة النهائية هي تركيبة من كلا الحلّين.

$x = \frac{3 + \sqrt{3}}{3}, \frac{3 - \sqrt{3}}{3}$

خطوة 3

أوجِد النقاط التي يكون فيها المشتق الثاني هو $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بقيمة $1.57735026$ في $f (x) = x^{2} {(4 - 2 x)}^{2}$ لإيجاد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $1.57735026$ في العبارة.

$f (1.57735026) = {(1.57735026)}^{2} {(4 - 2 \cdot 1.57735026)}^{2}$

خطوة 3.1.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1

ارفع $1.57735026$ إلى القوة $2$ .

$f (1.57735026) = 2.48803387 {(4 - 2 \cdot 1.57735026)}^{2}$

خطوة 3.1.2.2

اضرب $- 2$ في $1.57735026$ .

$f (1.57735026) = 2.48803387 {(4 - 3.15470053)}^{2}$

خطوة 3.1.2.3

اطرح $3.15470053$ من $4$ .

$f (1.57735026) = 2.48803387 \cdot {0.84529946}^{2}$

خطوة 3.1.2.4

ارفع $0.84529946$ إلى القوة $2$ .

$f (1.57735026) = 2.48803387 \cdot 0.71453117$

خطوة 3.1.2.5

اضرب $2.48803387$ في $0.71453117$ .

$f (1.57735026) = 1.77777777$

خطوة 3.1.2.6

الإجابة النهائية هي $1.77777777$ .

$1.77777777$

خطوة 3.2

النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ $1.57735026$ في $f (x) = x^{2} {(4 - 2 x)}^{2}$ هي $(1.57735026, 1.77777777)$ . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.

$(1.57735026, 1.77777777)$

خطوة 3.3

عوّض بقيمة $0.42264973$ في $f (x) = x^{2} {(4 - 2 x)}^{2}$ لإيجاد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0.42264973$ في العبارة.

$f (0.42264973) = {(0.42264973)}^{2} {(4 - 2 \cdot 0.42264973)}^{2}$

خطوة 3.3.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

ارفع $0.42264973$ إلى القوة $2$ .

$f (0.42264973) = 0.17863279 {(4 - 2 \cdot 0.42264973)}^{2}$

خطوة 3.3.2.2

اضرب $- 2$ في $0.42264973$ .

$f (0.42264973) = 0.17863279 {(4 - 0.84529946)}^{2}$

خطوة 3.3.2.3

اطرح $0.84529946$ من $4$ .

$f (0.42264973) = 0.17863279 \cdot {3.15470053}^{2}$

خطوة 3.3.2.4

ارفع $3.15470053$ إلى القوة $2$ .

$f (0.42264973) = 0.17863279 \cdot 9.95213548$

خطوة 3.3.2.5

اضرب $0.17863279$ في $9.95213548$ .

$f (0.42264973) = 1.77777777$

خطوة 3.3.2.6

الإجابة النهائية هي $1.77777777$ .

$1.77777777$

خطوة 3.4

النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ $0.42264973$ في $f (x) = x^{2} {(4 - 2 x)}^{2}$ هي $(0.42264973, 1.77777777)$ . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.

$(0.42264973, 1.77777777)$

خطوة 3.5

حدد النقاط التي يمكن أن تكون نقاط انقلاب.

$(1.57735026, 1.77777777), (0.42264973, 1.77777777)$

خطوة 4

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات حول النقاط التي من المحتمل أن تكون نقاط انقلاب.

$(- \infty, 0.42264973) \cup (0.42264973, 1.57735026) \cup (1.57735026, \infty)$

خطوة 5

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, 0.42264973)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0.32264973$ في العبارة.

$f'' (0.32264973) = 48 {(0.32264973)}^{2} - 96 \cdot 0.32264973 + 32$

خطوة 5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

ارفع $0.32264973$ إلى القوة $2$ .

$f'' (0.32264973) = 48 \cdot 0.10410284 - 96 \cdot 0.32264973 + 32$

خطوة 5.2.1.2

اضرب $48$ في $0.10410284$ .

$f'' (0.32264973) = 4.99693674 - 96 \cdot 0.32264973 + 32$

خطوة 5.2.1.3

اضرب $- 96$ في $0.32264973$ .

$f'' (0.32264973) = 4.99693674 - 30.97437415 + 32$

خطوة 5.2.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

اطرح $30.97437415$ من $4.99693674$ .

$f'' (0.32264973) = - 25.97743741 + 32$

خطوة 5.2.2.2

أضف $- 25.97743741$ و $32$ .

$f'' (0.32264973) = 6.02256258$

خطوة 5.2.3

الإجابة النهائية هي $6.02256258$ .

$6.02256258$

خطوة 5.3

في $0.32264973$ ، المشتق الثاني هو $6.02256258$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن المشتق الثاني يتزايد على مدى الفترة $(- \infty, 0.42264973)$ .

تزايد خلال $(- \infty, 0.42264973)$ نظرًا إلى أن $f'' (x) > 0$

خطوة 6

عوّض بقيمة من الفترة $(0.42264973, 1.57735026)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $1$ في العبارة.

$f'' (1) = 48 {(1)}^{2} - 96 \cdot 1 + 32$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

ارفع $1$ إلى القوة $2$ .

$f'' (1) = 48 \cdot 1 - 96 \cdot 1 + 32$

خطوة 6.2.1.2

اضرب $48$ في $1$ .

$f'' (1) = 48 - 96 \cdot 1 + 32$

خطوة 6.2.1.3

اضرب $- 96$ في $1$ .

$f'' (1) = 48 - 96 + 32$

خطوة 6.2.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

اطرح $96$ من $48$ .

$f'' (1) = - 48 + 32$

خطوة 6.2.2.2

أضف $- 48$ و $32$ .

$f'' (1) = - 16$

خطوة 6.2.3

الإجابة النهائية هي $- 16$ .

$- 16$

خطوة 6.3

المشتق الثاني عند $1$ يساوي $- 16$ . وبما أنه سالب، فإن المشتق الثاني يتناقص خلال الفترة $(0.42264973, 1.57735026)$

تناقص خلال $(0.42264973, 1.57735026)$ حيث إن $f'' (x) < 0$

خطوة 7

عوّض بقيمة من الفترة $(1.57735026, \infty)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $1.67735026$ في العبارة.

$f'' (1.67735026) = 48 {(1.67735026)}^{2} - 96 \cdot 1.67735026 + 32$

خطوة 7.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

ارفع $1.67735026$ إلى القوة $2$ .

$f'' (1.67735026) = 48 \cdot 2.81350392 - 96 \cdot 1.67735026 + 32$

خطوة 7.2.1.2

اضرب $48$ في $2.81350392$ .

$f'' (1.67735026) = 135.04818842 - 96 \cdot 1.67735026 + 32$

خطوة 7.2.1.3

اضرب $- 96$ في $1.67735026$ .

$f'' (1.67735026) = 135.04818842 - 161.02562584 + 32$

خطوة 7.2.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1

اطرح $161.02562584$ من $135.04818842$ .

$f'' (1.67735026) = - 25.97743741 + 32$

خطوة 7.2.2.2

أضف $- 25.97743741$ و $32$ .

$f'' (1.67735026) = 6.02256258$

خطوة 7.2.3

الإجابة النهائية هي $6.02256258$ .

$6.02256258$

خطوة 7.3

في $1.67735026$ ، المشتق الثاني هو $6.02256258$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن المشتق الثاني يتزايد على مدى الفترة $(1.57735026, \infty)$ .

تزايد خلال $(1.57735026, \infty)$ نظرًا إلى أن $f'' (x) > 0$

خطوة 8

نقطة الانقلاب هي نقطة على منحنى يغيّر التقعر عندها العلامة من موجب إلى سالب أو من سالب إلى موجب. نقاط الانقلاب في هذه الحالة هي $(0.42264973, 1.77777777), (1.57735026, 1.77777777)$ .

$(0.42264973, 1.77777777), (1.57735026, 1.77777777)$

خطوة 9