حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = x^{2} {(2 - 5 x)}^{3}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = {(2 - 5 x)}^{3}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [{(2 - 5 x)}^{3}] + {(2 - 5 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{3}$ و $g (x) = 2 - 5 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $2 - 5 x$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [2 - 5 x]) + {(2 - 5 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 1.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$x^{2} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [2 - 5 x]) + {(2 - 5 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 1.1.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 - 5 x$ .

$x^{2} (3 {(2 - 5 x)}^{2} \frac{d}{d x} [2 - 5 x]) + {(2 - 5 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 1.1.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 - 5 x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$x^{2} (3 {(2 - 5 x)}^{2} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 5 x])) + {(2 - 5 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 1.1.3.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$x^{2} (3 {(2 - 5 x)}^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- 5 x])) + {(2 - 5 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 1.1.3.3

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$x^{2} (3 {(2 - 5 x)}^{2} \frac{d}{d x} [- 5 x]) + {(2 - 5 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 1.1.3.4

بما أن $- 5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 5 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} (3 {(2 - 5 x)}^{2} (- 5 \frac{d}{d x} [x])) + {(2 - 5 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 1.1.3.5

اضرب $- 5$ في $3$ .

$x^{2} (- 15 {(2 - 5 x)}^{2} \frac{d}{d x} [x]) + {(2 - 5 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 1.1.3.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$x^{2} (- 15 {(2 - 5 x)}^{2} \cdot 1) + {(2 - 5 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 1.1.3.7

اضرب $- 15$ في $1$ .

$x^{2} (- 15 {(2 - 5 x)}^{2}) + {(2 - 5 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 1.1.3.8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$x^{2} (- 15 {(2 - 5 x)}^{2}) + {(2 - 5 x)}^{3} (2 x)$

خطوة 1.1.3.9

انقُل $2$ إلى يسار ${(2 - 5 x)}^{3}$ .

$x^{2} (- 15 {(2 - 5 x)}^{2}) + 2 \cdot {(2 - 5 x)}^{3} x$

خطوة 1.1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.1

أخرِج العامل $x {(2 - 5 x)}^{2}$ من $x^{2} (- 15 {(2 - 5 x)}^{2}) + 2 {(2 - 5 x)}^{3} x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.1.1

أخرِج العامل $x {(2 - 5 x)}^{2}$ من $x^{2} (- 15 {(2 - 5 x)}^{2})$ .

$x {(2 - 5 x)}^{2} (x \cdot (- 15)) + 2 {(2 - 5 x)}^{3} x$

خطوة 1.1.4.1.2

أخرِج العامل $x {(2 - 5 x)}^{2}$ من $2 {(2 - 5 x)}^{3} x$ .

$x {(2 - 5 x)}^{2} (x \cdot (- 15)) + x {(2 - 5 x)}^{2} (2 (2 - 5 x))$

خطوة 1.1.4.1.3

أخرِج العامل $x {(2 - 5 x)}^{2}$ من $x {(2 - 5 x)}^{2} (x \cdot (- 15)) + x {(2 - 5 x)}^{2} (2 (2 - 5 x))$ .

$x {(2 - 5 x)}^{2} (x \cdot (- 15) + 2 (2 - 5 x))$

خطوة 1.1.4.2

انقُل $- 15$ إلى يسار $x$ .

$x {(2 - 5 x)}^{2} (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

خطوة 1.1.4.3

أعِد كتابة ${(2 - 5 x)}^{2}$ بالصيغة $(2 - 5 x) (2 - 5 x)$ .

$x ((2 - 5 x) (2 - 5 x)) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

خطوة 1.1.4.4

وسّع $(2 - 5 x) (2 - 5 x)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$x (2 (2 - 5 x) - 5 x (2 - 5 x)) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

خطوة 1.1.4.4.2

طبّق خاصية التوزيع.

$x (2 \cdot 2 + 2 (- 5 x) - 5 x (2 - 5 x)) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

خطوة 1.1.4.4.3

طبّق خاصية التوزيع.

$x (2 \cdot 2 + 2 (- 5 x) - 5 x \cdot 2 - 5 x (- 5 x)) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

خطوة 1.1.4.5

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.5.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.5.1.1

اضرب $2$ في $2$ .

$x (4 + 2 (- 5 x) - 5 x \cdot 2 - 5 x (- 5 x)) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

خطوة 1.1.4.5.1.2

اضرب $- 5$ في $2$ .

$x (4 - 10 x - 5 x \cdot 2 - 5 x (- 5 x)) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

خطوة 1.1.4.5.1.3

اضرب $2$ في $- 5$ .

$x (4 - 10 x - 10 x - 5 x (- 5 x)) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

خطوة 1.1.4.5.1.4

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$x (4 - 10 x - 10 x - 5 \cdot - 5 x \cdot x) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

خطوة 1.1.4.5.1.5

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.5.1.5.1

انقُل $x$ .

$x (4 - 10 x - 10 x - 5 \cdot - 5 (x \cdot x)) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

خطوة 1.1.4.5.1.5.2

اضرب $x$ في $x$ .

$x (4 - 10 x - 10 x - 5 \cdot - 5 x^{2}) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

خطوة 1.1.4.5.1.6

اضرب $- 5$ في $- 5$ .

$x (4 - 10 x - 10 x + 25 x^{2}) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

خطوة 1.1.4.5.2

اطرح $10 x$ من $- 10 x$ .

$x (4 - 20 x + 25 x^{2}) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

خطوة 1.1.4.6

طبّق خاصية التوزيع.

$(x \cdot 4 + x (- 20 x) + x (25 x^{2})) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

خطوة 1.1.4.7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.7.1

انقُل $4$ إلى يسار $x$ .

$(4 \cdot x + x (- 20 x) + x (25 x^{2})) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

خطوة 1.1.4.7.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$(4 \cdot x - 20 x \cdot x + x (25 x^{2})) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

خطوة 1.1.4.7.3

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$(4 \cdot x - 20 x \cdot x + 25 x \cdot x^{2}) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

خطوة 1.1.4.8

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.8.1

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.8.1.1

انقُل $x$ .

$(4 x - 20 (x \cdot x) + 25 x \cdot x^{2}) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

خطوة 1.1.4.8.1.2

اضرب $x$ في $x$ .

$(4 x - 20 x^{2} + 25 x \cdot x^{2}) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

خطوة 1.1.4.8.2

اضرب $x$ في $x^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.8.2.1

انقُل $x^{2}$ .

$(4 x - 20 x^{2} + 25 (x^{2} x)) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

خطوة 1.1.4.8.2.2

اضرب $x^{2}$ في $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.8.2.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$(4 x - 20 x^{2} + 25 (x^{2} x^{1})) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

خطوة 1.1.4.8.2.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$(4 x - 20 x^{2} + 25 x^{2 + 1}) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

خطوة 1.1.4.8.2.3

أضف $2$ و $1$ .

$(4 x - 20 x^{2} + 25 x^{3}) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

خطوة 1.1.4.9

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.9.1

طبّق خاصية التوزيع.

$(4 x - 20 x^{2} + 25 x^{3}) (- 15 x + 2 \cdot 2 + 2 (- 5 x))$

خطوة 1.1.4.9.2

اضرب $2$ في $2$ .

$(4 x - 20 x^{2} + 25 x^{3}) (- 15 x + 4 + 2 (- 5 x))$

خطوة 1.1.4.9.3

اضرب $- 5$ في $2$ .

$(4 x - 20 x^{2} + 25 x^{3}) (- 15 x + 4 - 10 x)$

خطوة 1.1.4.10

اطرح $10 x$ من $- 15 x$ .

$(4 x - 20 x^{2} + 25 x^{3}) (- 25 x + 4)$

خطوة 1.1.4.11

وسّع $(4 x - 20 x^{2} + 25 x^{3}) (- 25 x + 4)$ بضرب كل حد في العبارة الأولى في كل حد في العبارة الثانية.

$4 x (- 25 x) + 4 x \cdot 4 - 20 x^{2} (- 25 x) - 20 x^{2} \cdot 4 + 25 x^{3} (- 25 x) + 25 x^{3} \cdot 4$

خطوة 1.1.4.12

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.12.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$4 \cdot - 25 x \cdot x + 4 x \cdot 4 - 20 x^{2} (- 25 x) - 20 x^{2} \cdot 4 + 25 x^{3} (- 25 x) + 25 x^{3} \cdot 4$

خطوة 1.1.4.12.2

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.12.2.1

انقُل $x$ .

$4 \cdot - 25 (x \cdot x) + 4 x \cdot 4 - 20 x^{2} (- 25 x) - 20 x^{2} \cdot 4 + 25 x^{3} (- 25 x) + 25 x^{3} \cdot 4$

خطوة 1.1.4.12.2.2

اضرب $x$ في $x$ .

$4 \cdot - 25 x^{2} + 4 x \cdot 4 - 20 x^{2} (- 25 x) - 20 x^{2} \cdot 4 + 25 x^{3} (- 25 x) + 25 x^{3} \cdot 4$

خطوة 1.1.4.12.3

اضرب $4$ في $- 25$ .

$- 100 x^{2} + 4 x \cdot 4 - 20 x^{2} (- 25 x) - 20 x^{2} \cdot 4 + 25 x^{3} (- 25 x) + 25 x^{3} \cdot 4$

خطوة 1.1.4.12.4

اضرب $4$ في $4$ .

$- 100 x^{2} + 16 x - 20 x^{2} (- 25 x) - 20 x^{2} \cdot 4 + 25 x^{3} (- 25 x) + 25 x^{3} \cdot 4$

خطوة 1.1.4.12.5

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$- 100 x^{2} + 16 x - 20 \cdot - 25 x^{2} x - 20 x^{2} \cdot 4 + 25 x^{3} (- 25 x) + 25 x^{3} \cdot 4$

خطوة 1.1.4.12.6

اضرب $x^{2}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.12.6.1

انقُل $x$ .

$- 100 x^{2} + 16 x - 20 \cdot - 25 (x \cdot x^{2}) - 20 x^{2} \cdot 4 + 25 x^{3} (- 25 x) + 25 x^{3} \cdot 4$

خطوة 1.1.4.12.6.2

اضرب $x$ في $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.12.6.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$- 100 x^{2} + 16 x - 20 \cdot - 25 (x^{1} x^{2}) - 20 x^{2} \cdot 4 + 25 x^{3} (- 25 x) + 25 x^{3} \cdot 4$

خطوة 1.1.4.12.6.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$- 100 x^{2} + 16 x - 20 \cdot - 25 x^{1 + 2} - 20 x^{2} \cdot 4 + 25 x^{3} (- 25 x) + 25 x^{3} \cdot 4$

خطوة 1.1.4.12.6.3

أضف $1$ و $2$ .

$- 100 x^{2} + 16 x - 20 \cdot - 25 x^{3} - 20 x^{2} \cdot 4 + 25 x^{3} (- 25 x) + 25 x^{3} \cdot 4$

خطوة 1.1.4.12.7

اضرب $- 20$ في $- 25$ .

$- 100 x^{2} + 16 x + 500 x^{3} - 20 x^{2} \cdot 4 + 25 x^{3} (- 25 x) + 25 x^{3} \cdot 4$

خطوة 1.1.4.12.8

اضرب $4$ في $- 20$ .

$- 100 x^{2} + 16 x + 500 x^{3} - 80 x^{2} + 25 x^{3} (- 25 x) + 25 x^{3} \cdot 4$

خطوة 1.1.4.12.9

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$- 100 x^{2} + 16 x + 500 x^{3} - 80 x^{2} + 25 \cdot - 25 x^{3} x + 25 x^{3} \cdot 4$

خطوة 1.1.4.12.10

اضرب $x^{3}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.12.10.1

انقُل $x$ .

$- 100 x^{2} + 16 x + 500 x^{3} - 80 x^{2} + 25 \cdot - 25 (x \cdot x^{3}) + 25 x^{3} \cdot 4$

خطوة 1.1.4.12.10.2

اضرب $x$ في $x^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.12.10.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$- 100 x^{2} + 16 x + 500 x^{3} - 80 x^{2} + 25 \cdot - 25 (x^{1} x^{3}) + 25 x^{3} \cdot 4$

خطوة 1.1.4.12.10.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$- 100 x^{2} + 16 x + 500 x^{3} - 80 x^{2} + 25 \cdot - 25 x^{1 + 3} + 25 x^{3} \cdot 4$

خطوة 1.1.4.12.10.3

أضف $1$ و $3$ .

$- 100 x^{2} + 16 x + 500 x^{3} - 80 x^{2} + 25 \cdot - 25 x^{4} + 25 x^{3} \cdot 4$

خطوة 1.1.4.12.11

اضرب $25$ في $- 25$ .

$- 100 x^{2} + 16 x + 500 x^{3} - 80 x^{2} - 625 x^{4} + 25 x^{3} \cdot 4$

خطوة 1.1.4.12.12

اضرب $4$ في $25$ .

$- 100 x^{2} + 16 x + 500 x^{3} - 80 x^{2} - 625 x^{4} + 100 x^{3}$

خطوة 1.1.4.13

اطرح $80 x^{2}$ من $- 100 x^{2}$ .

$- 180 x^{2} + 16 x + 500 x^{3} - 625 x^{4} + 100 x^{3}$

خطوة 1.1.4.14

أضف $500 x^{3}$ و $100 x^{3}$ .

$f' (x) = - 180 x^{2} + 16 x - 625 x^{4} + 600 x^{3}$

خطوة 1.2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $- 180 x^{2} + 16 x - 625 x^{4} + 600 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [- 180 x^{2}] + \frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [- 625 x^{4}] + \frac{d}{d x} [600 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 180 x^{2}] + \frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [- 625 x^{4}] + \frac{d}{d x} [600 x^{3}]$

خطوة 1.2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 180 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

بما أن $- 180$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 180 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 180 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 180 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [- 625 x^{4}] + \frac{d}{d x} [600 x^{3}]$

خطوة 1.2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$- 180 (2 x) + \frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [- 625 x^{4}] + \frac{d}{d x} [600 x^{3}]$

خطوة 1.2.2.3

اضرب $2$ في $- 180$ .

$- 360 x + \frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [- 625 x^{4}] + \frac{d}{d x} [600 x^{3}]$

خطوة 1.2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [16 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

بما أن $16$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $16 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $16 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 360 x + 16 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 625 x^{4}] + \frac{d}{d x} [600 x^{3}]$

خطوة 1.2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 360 x + 16 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 625 x^{4}] + \frac{d}{d x} [600 x^{3}]$

خطوة 1.2.3.3

اضرب $16$ في $1$ .

$- 360 x + 16 + \frac{d}{d x} [- 625 x^{4}] + \frac{d}{d x} [600 x^{3}]$

خطوة 1.2.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 625 x^{4}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.1

بما أن $- 625$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 625 x^{4}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 625 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- 360 x + 16 - 625 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [600 x^{3}]$

خطوة 1.2.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$- 360 x + 16 - 625 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [600 x^{3}]$

خطوة 1.2.4.3

اضرب $4$ في $- 625$ .

$- 360 x + 16 - 2500 x^{3} + \frac{d}{d x} [600 x^{3}]$

خطوة 1.2.5

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [600 x^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.1

بما أن $600$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $600 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $600 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 360 x + 16 - 2500 x^{3} + 600 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

خطوة 1.2.5.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$- 360 x + 16 - 2500 x^{3} + 600 (3 x^{2})$

خطوة 1.2.5.3

اضرب $3$ في $600$ .

$- 360 x + 16 - 2500 x^{3} + 1800 x^{2}$

خطوة 1.2.6

أعِد ترتيب الحدود.

$f'' (x) = - 2500 x^{3} + 1800 x^{2} - 360 x + 16$

خطوة 1.3

المشتق الثاني لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $- 2500 x^{3} + 1800 x^{2} - 360 x + 16$ .

$- 2500 x^{3} + 1800 x^{2} - 360 x + 16$

خطوة 2

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم حل المعادلة $- 2500 x^{3} + 1800 x^{2} - 360 x + 16 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$- 2500 x^{3} + 1800 x^{2} - 360 x + 16 = 0$

خطوة 2.2

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أخرِج العامل $4$ من $- 2500 x^{3} + 1800 x^{2} - 360 x + 16$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

أخرِج العامل $4$ من $- 2500 x^{3}$ .

$4 (- 625 x^{3}) + 1800 x^{2} - 360 x + 16 = 0$

خطوة 2.2.1.2

أخرِج العامل $4$ من $1800 x^{2}$ .

$4 (- 625 x^{3}) + 4 (450 x^{2}) - 360 x + 16 = 0$

خطوة 2.2.1.3

أخرِج العامل $4$ من $- 360 x$ .

$4 (- 625 x^{3}) + 4 (450 x^{2}) + 4 (- 90 x) + 16 = 0$

خطوة 2.2.1.4

أخرِج العامل $4$ من $16$ .

$4 (- 625 x^{3}) + 4 (450 x^{2}) + 4 (- 90 x) + 4 (4) = 0$

خطوة 2.2.1.5

أخرِج العامل $4$ من $4 (- 625 x^{3}) + 4 (450 x^{2})$ .

$4 (- 625 x^{3} + 450 x^{2}) + 4 (- 90 x) + 4 (4) = 0$

خطوة 2.2.1.6

أخرِج العامل $4$ من $4 (- 625 x^{3} + 450 x^{2}) + 4 (- 90 x)$ .

$4 (- 625 x^{3} + 450 x^{2} - 90 x) + 4 (4) = 0$

خطوة 2.2.1.7

أخرِج العامل $4$ من $4 (- 625 x^{3} + 450 x^{2} - 90 x) + 4 (4)$ .

$4 (- 625 x^{3} + 450 x^{2} - 90 x + 4) = 0$

خطوة 2.2.2

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

حلّل $- 625 x^{3} + 450 x^{2} - 90 x + 4$ إلى عوامل باستخدام اختبار الجذور النسبية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1.1

إذا كانت دالة متعددة الحدود لها معاملات عدد صحيح، فإن كل صفر نسبي سيكون بالصيغة $\frac{p}{q}$ والتي تكون فيها $p$ هي عامل الثابت و $q$ هي عامل المعامل الرئيسي.

$p = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

$q = \pm 1, \pm 625, \pm 5, \pm 125, \pm 25$

خطوة 2.2.2.1.2

أوجِد كل تركيبة من تركيبات $\pm \frac{p}{q}$ . هذه هي الجذور المحتملة للدالة متعددة الحدود.

$\pm 1, \pm 0.0016, \pm 0.2, \pm 0.008, \pm 0.04, \pm 4, \pm 0.0064, \pm 0.8, \pm 0.032, \pm 0.16, \pm 2, \pm 0.0032, \pm 0.4, \pm 0.016, \pm 0.08$

خطوة 2.2.2.1.3

عوّض بـ $0.4$ وبسّط العبارة. في هذه الحالة، العبارة تساوي $0$ ، إذن $0.4$ هو جذر متعدد الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1.3.1

عوّض بـ $0.4$ في متعدد الحدود.

$- 625 \cdot {0.4}^{3} + 450 \cdot {0.4}^{2} - 90 \cdot 0.4 + 4$

خطوة 2.2.2.1.3.2

ارفع $0.4$ إلى القوة $3$ .

$- 625 \cdot 0.064 + 450 \cdot {0.4}^{2} - 90 \cdot 0.4 + 4$

خطوة 2.2.2.1.3.3

اضرب $- 625$ في $0.064$ .

$- 40 + 450 \cdot {0.4}^{2} - 90 \cdot 0.4 + 4$

خطوة 2.2.2.1.3.4

ارفع $0.4$ إلى القوة $2$ .

$- 40 + 450 \cdot 0.16 - 90 \cdot 0.4 + 4$

خطوة 2.2.2.1.3.5

اضرب $450$ في $0.16$ .

$- 40 + 72 - 90 \cdot 0.4 + 4$

خطوة 2.2.2.1.3.6

أضف $- 40$ و $72$ .

$32 - 90 \cdot 0.4 + 4$

خطوة 2.2.2.1.3.7

اضرب $- 90$ في $0.4$ .

$32 - 36 + 4$

خطوة 2.2.2.1.3.8

اطرح $36$ من $32$ .

$- 4 + 4$

خطوة 2.2.2.1.3.9

أضف $- 4$ و $4$ .

$0$

خطوة 2.2.2.1.4

بما أن $0.4$ جذر معروف، اقسِم متعدد الحدود على $5 x - 2$ لإيجاد ناتج قسمة متعدد الحدود. ويمكن بعد ذلك استخدام متعدد الحدود لإيجاد الجذور المتبقية.

$\frac{- 625 x^{3} + 450 x^{2} - 90 x + 4}{5 x - 2}$

خطوة 2.2.2.1.5

اقسِم $- 625 x^{3} + 450 x^{2} - 90 x + 4$ على $5 x - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1.5.1

عيّن متعددات الحدود التي ستتم قسمتها. وفي حالة عدم وجود حد لكل أُس، أدخل حدًا واحدًا بقيمة $0$ .

$5 x$

$2$

$625 x^{3}$

$450 x^{2}$

$90 x$

$4$

خطوة 2.2.2.1.5.2

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $- 625 x^{3}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $5 x$ .

				-	$125 x^{2}$
	$5 x$	-	$2$	-	$625 x^{3}$	+	$450 x^{2}$	-	$90 x$	+	$4$

خطوة 2.2.2.1.5.3

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

			-	$125 x^{2}$
$5 x$	-	$2$	-	$625 x^{3}$	+	$450 x^{2}$	-	$90 x$	+	$4$
			-	$625 x^{3}$	+	$250 x^{2}$

خطوة 2.2.2.1.5.4

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $- 625 x^{3} + 250 x^{2}$

			-	$125 x^{2}$
$5 x$	-	$2$	-	$625 x^{3}$	+	$450 x^{2}$	-	$90 x$	+	$4$
			+	$625 x^{3}$	-	$250 x^{2}$

خطوة 2.2.2.1.5.5

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

			-	$125 x^{2}$
$5 x$	-	$2$	-	$625 x^{3}$	+	$450 x^{2}$	-	$90 x$	+	$4$
			+	$625 x^{3}$	-	$250 x^{2}$
					+	$200 x^{2}$

خطوة 2.2.2.1.5.6

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

			-	$125 x^{2}$
$5 x$	-	$2$	-	$625 x^{3}$	+	$450 x^{2}$	-	$90 x$	+	$4$
			+	$625 x^{3}$	-	$250 x^{2}$
					+	$200 x^{2}$	-	$90 x$

خطوة 2.2.2.1.5.7

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $200 x^{2}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $5 x$ .

			-	$125 x^{2}$	+	$40 x$
$5 x$	-	$2$	-	$625 x^{3}$	+	$450 x^{2}$	-	$90 x$	+	$4$
			+	$625 x^{3}$	-	$250 x^{2}$
					+	$200 x^{2}$	-	$90 x$

خطوة 2.2.2.1.5.8

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

			-	$125 x^{2}$	+	$40 x$
$5 x$	-	$2$	-	$625 x^{3}$	+	$450 x^{2}$	-	$90 x$	+	$4$
			+	$625 x^{3}$	-	$250 x^{2}$
					+	$200 x^{2}$	-	$90 x$
					+	$200 x^{2}$	-	$80 x$

خطوة 2.2.2.1.5.9

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $200 x^{2} - 80 x$

			-	$125 x^{2}$	+	$40 x$
$5 x$	-	$2$	-	$625 x^{3}$	+	$450 x^{2}$	-	$90 x$	+	$4$
			+	$625 x^{3}$	-	$250 x^{2}$
					+	$200 x^{2}$	-	$90 x$
					-	$200 x^{2}$	+	$80 x$

خطوة 2.2.2.1.5.10

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

			-	$125 x^{2}$	+	$40 x$
$5 x$	-	$2$	-	$625 x^{3}$	+	$450 x^{2}$	-	$90 x$	+	$4$
			+	$625 x^{3}$	-	$250 x^{2}$
					+	$200 x^{2}$	-	$90 x$
					-	$200 x^{2}$	+	$80 x$
							-	$10 x$

خطوة 2.2.2.1.5.11

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

			-	$125 x^{2}$	+	$40 x$
$5 x$	-	$2$	-	$625 x^{3}$	+	$450 x^{2}$	-	$90 x$	+	$4$
			+	$625 x^{3}$	-	$250 x^{2}$
					+	$200 x^{2}$	-	$90 x$
					-	$200 x^{2}$	+	$80 x$
							-	$10 x$	+	$4$

خطوة 2.2.2.1.5.12

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $- 10 x$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $5 x$ .

			-	$125 x^{2}$	+	$40 x$	-	$2$
$5 x$	-	$2$	-	$625 x^{3}$	+	$450 x^{2}$	-	$90 x$	+	$4$
			+	$625 x^{3}$	-	$250 x^{2}$
					+	$200 x^{2}$	-	$90 x$
					-	$200 x^{2}$	+	$80 x$
							-	$10 x$	+	$4$

خطوة 2.2.2.1.5.13

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

			-	$125 x^{2}$	+	$40 x$	-	$2$
$5 x$	-	$2$	-	$625 x^{3}$	+	$450 x^{2}$	-	$90 x$	+	$4$
			+	$625 x^{3}$	-	$250 x^{2}$
					+	$200 x^{2}$	-	$90 x$
					-	$200 x^{2}$	+	$80 x$
							-	$10 x$	+	$4$
							-	$10 x$	+	$4$

خطوة 2.2.2.1.5.14

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $- 10 x + 4$

			-	$125 x^{2}$	+	$40 x$	-	$2$
$5 x$	-	$2$	-	$625 x^{3}$	+	$450 x^{2}$	-	$90 x$	+	$4$
			+	$625 x^{3}$	-	$250 x^{2}$
					+	$200 x^{2}$	-	$90 x$
					-	$200 x^{2}$	+	$80 x$
							-	$10 x$	+	$4$
							+	$10 x$	-	$4$

خطوة 2.2.2.1.5.15

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

			-	$125 x^{2}$	+	$40 x$	-	$2$
$5 x$	-	$2$	-	$625 x^{3}$	+	$450 x^{2}$	-	$90 x$	+	$4$
			+	$625 x^{3}$	-	$250 x^{2}$
					+	$200 x^{2}$	-	$90 x$
					-	$200 x^{2}$	+	$80 x$
							-	$10 x$	+	$4$
							+	$10 x$	-	$4$
										$0$

خطوة 2.2.2.1.5.16

بما أن الباقي يساوي $0$ ، إذن الإجابة النهائية هي ناتج القسمة.

$- 125 x^{2} + 40 x - 2$

خطوة 2.2.2.1.6

اكتب $- 625 x^{3} + 450 x^{2} - 90 x + 4$ في صورة مجموعة من العوامل.

$4 ((5 x - 2) (- 125 x^{2} + 40 x - 2)) = 0$

خطوة 2.2.2.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$4 (5 x - 2) (- 125 x^{2} + 40 x - 2) = 0$

خطوة 2.3

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$5 x - 2 = 0$

$- 125 x^{2} + 40 x - 2 = 0$

خطوة 2.4

عيّن قيمة العبارة $5 x - 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

عيّن قيمة $5 x - 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$5 x - 2 = 0$

خطوة 2.4.2

أوجِد قيمة $x$ في $5 x - 2 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.1

أضف $2$ إلى كلا المتعادلين.

$5 x = 2$

خطوة 2.4.2.2

اقسِم كل حد في $5 x = 2$ على $5$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.2.1

اقسِم كل حد في $5 x = 2$ على $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{2}{5}$

خطوة 2.4.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{5 x}{5} = \frac{2}{5}$

خطوة 2.4.2.2.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{2}{5}$

خطوة 2.5

عيّن قيمة العبارة $- 125 x^{2} + 40 x - 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

عيّن قيمة $- 125 x^{2} + 40 x - 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$- 125 x^{2} + 40 x - 2 = 0$

خطوة 2.5.2

أوجِد قيمة $x$ في $- 125 x^{2} + 40 x - 2 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.1

استخدِم الصيغة التربيعية لإيجاد الحلول.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

خطوة 2.5.2.2

عوّض بقيم $a = - 125$ و $b = 40$ و $c = - 2$ في الصيغة التربيعية وأوجِد قيمة $x$ .

$\frac{- 40 \pm \sqrt{40^{2} - 4 \cdot (- 125 \cdot - 2)}}{2 \cdot - 125}$

خطوة 2.5.2.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.3.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.3.1.1

ارفع $40$ إلى القوة $2$ .

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{1600 - 4 \cdot - 125 \cdot - 2}}{2 \cdot - 125}$

خطوة 2.5.2.3.1.2

اضرب $- 4 \cdot - 125 \cdot - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.3.1.2.1

اضرب $- 4$ في $- 125$ .

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{1600 + 500 \cdot - 2}}{2 \cdot - 125}$

خطوة 2.5.2.3.1.2.2

اضرب $500$ في $- 2$ .

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{1600 - 1000}}{2 \cdot - 125}$

خطوة 2.5.2.3.1.3

اطرح $1000$ من $1600$ .

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{600}}{2 \cdot - 125}$

خطوة 2.5.2.3.1.4

أعِد كتابة $600$ بالصيغة $10^{2} \cdot 6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.3.1.4.1

أخرِج العامل $100$ من $600$ .

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{100 (6)}}{2 \cdot - 125}$

خطوة 2.5.2.3.1.4.2

أعِد كتابة $100$ بالصيغة $10^{2}$ .

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{10^{2} \cdot 6}}{2 \cdot - 125}$

خطوة 2.5.2.3.1.5

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$x = \frac{- 40 \pm 10 \sqrt{6}}{2 \cdot - 125}$

خطوة 2.5.2.3.2

اضرب $2$ في $- 125$ .

$x = \frac{- 40 \pm 10 \sqrt{6}}{- 250}$

خطوة 2.5.2.3.3

بسّط $\frac{- 40 \pm 10 \sqrt{6}}{- 250}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{6}}{25}$

خطوة 2.5.2.4

بسّط العبارة لإيجاد قيمة الجزء $+$ من $\pm$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.4.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.4.1.1

ارفع $40$ إلى القوة $2$ .

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{1600 - 4 \cdot - 125 \cdot - 2}}{2 \cdot - 125}$

خطوة 2.5.2.4.1.2

اضرب $- 4 \cdot - 125 \cdot - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.4.1.2.1

اضرب $- 4$ في $- 125$ .

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{1600 + 500 \cdot - 2}}{2 \cdot - 125}$

خطوة 2.5.2.4.1.2.2

اضرب $500$ في $- 2$ .

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{1600 - 1000}}{2 \cdot - 125}$

خطوة 2.5.2.4.1.3

اطرح $1000$ من $1600$ .

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{600}}{2 \cdot - 125}$

خطوة 2.5.2.4.1.4

أعِد كتابة $600$ بالصيغة $10^{2} \cdot 6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.4.1.4.1

أخرِج العامل $100$ من $600$ .

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{100 (6)}}{2 \cdot - 125}$

خطوة 2.5.2.4.1.4.2

أعِد كتابة $100$ بالصيغة $10^{2}$ .

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{10^{2} \cdot 6}}{2 \cdot - 125}$

خطوة 2.5.2.4.1.5

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$x = \frac{- 40 \pm 10 \sqrt{6}}{2 \cdot - 125}$

خطوة 2.5.2.4.2

اضرب $2$ في $- 125$ .

$x = \frac{- 40 \pm 10 \sqrt{6}}{- 250}$

خطوة 2.5.2.4.3

بسّط $\frac{- 40 \pm 10 \sqrt{6}}{- 250}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{6}}{25}$

خطوة 2.5.2.4.4

غيّر $\pm$ إلى $+$ .

$x = \frac{4 + \sqrt{6}}{25}$

خطوة 2.5.2.5

بسّط العبارة لإيجاد قيمة الجزء $-$ من $\pm$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.5.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.5.1.1

ارفع $40$ إلى القوة $2$ .

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{1600 - 4 \cdot - 125 \cdot - 2}}{2 \cdot - 125}$

خطوة 2.5.2.5.1.2

اضرب $- 4 \cdot - 125 \cdot - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.5.1.2.1

اضرب $- 4$ في $- 125$ .

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{1600 + 500 \cdot - 2}}{2 \cdot - 125}$

خطوة 2.5.2.5.1.2.2

اضرب $500$ في $- 2$ .

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{1600 - 1000}}{2 \cdot - 125}$

خطوة 2.5.2.5.1.3

اطرح $1000$ من $1600$ .

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{600}}{2 \cdot - 125}$

خطوة 2.5.2.5.1.4

أعِد كتابة $600$ بالصيغة $10^{2} \cdot 6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.5.1.4.1

أخرِج العامل $100$ من $600$ .

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{100 (6)}}{2 \cdot - 125}$

خطوة 2.5.2.5.1.4.2

أعِد كتابة $100$ بالصيغة $10^{2}$ .

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{10^{2} \cdot 6}}{2 \cdot - 125}$

خطوة 2.5.2.5.1.5

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$x = \frac{- 40 \pm 10 \sqrt{6}}{2 \cdot - 125}$

خطوة 2.5.2.5.2

اضرب $2$ في $- 125$ .

$x = \frac{- 40 \pm 10 \sqrt{6}}{- 250}$

خطوة 2.5.2.5.3

بسّط $\frac{- 40 \pm 10 \sqrt{6}}{- 250}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{6}}{25}$

خطوة 2.5.2.5.4

غيّر $\pm$ إلى $-$ .

$x = \frac{4 - \sqrt{6}}{25}$

خطوة 2.5.2.6

الإجابة النهائية هي تركيبة من كلا الحلّين.

$x = \frac{4 + \sqrt{6}}{25}, \frac{4 - \sqrt{6}}{25}$

خطوة 2.6

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $4 (5 x - 2) (- 125 x^{2} + 40 x - 2) = 0$ صحيحة.

$x = \frac{2}{5}, \frac{4 + \sqrt{6}}{25}, \frac{4 - \sqrt{6}}{25}$

خطوة 3

أوجِد النقاط التي يكون فيها المشتق الثاني هو $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بقيمة $\frac{2}{5}$ في $f (x) = x^{2} {(2 - 5 x)}^{3}$ لإيجاد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{2}{5}$ في العبارة.

$f (\frac{2}{5}) = {(\frac{2}{5})}^{2} {(2 - 5 (\frac{2}{5}))}^{3}$

خطوة 3.1.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{2}{5}$ .

$f (\frac{2}{5}) = \frac{2^{2}}{5^{2}} \cdot {(2 - 5 (\frac{2}{5}))}^{3}$

خطوة 3.1.2.1.2

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$f (\frac{2}{5}) = \frac{4}{5^{2}} \cdot {(2 - 5 (\frac{2}{5}))}^{3}$

خطوة 3.1.2.1.3

ارفع $5$ إلى القوة $2$ .

$f (\frac{2}{5}) = \frac{4}{25} \cdot {(2 - 5 (\frac{2}{5}))}^{3}$

خطوة 3.1.2.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.2.1.1

أخرِج العامل $5$ من $- 5$ .

$f (\frac{2}{5}) = \frac{4}{25} \cdot {(2 + 5 (- 1) (\frac{2}{5}))}^{3}$

خطوة 3.1.2.2.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{2}{5}) = \frac{4}{25} \cdot {(2 + 5 \cdot (- 1 (\frac{2}{5})))}^{3}$

خطوة 3.1.2.2.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{2}{5}) = \frac{4}{25} \cdot {(2 - 1 \cdot 2)}^{3}$

خطوة 3.1.2.2.2

اضرب $- 1$ في $2$ .

$f (\frac{2}{5}) = \frac{4}{25} \cdot {(2 - 2)}^{3}$

خطوة 3.1.2.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.3.1

اطرح $2$ من $2$ .

$f (\frac{2}{5}) = \frac{4}{25} \cdot 0^{3}$

خطوة 3.1.2.3.2

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$f (\frac{2}{5}) = \frac{4}{25} \cdot 0$

خطوة 3.1.2.3.3

اضرب $\frac{4}{25}$ في $0$ .

$f (\frac{2}{5}) = 0$

خطوة 3.1.2.4

الإجابة النهائية هي $0$ .

$0$

خطوة 3.2

النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ $\frac{2}{5}$ في $f (x) = x^{2} {(2 - 5 x)}^{3}$ هي $(\frac{2}{5}, 0)$ . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.

$(\frac{2}{5}, 0)$

خطوة 3.3

عوّض بقيمة $0.25797958$ في $f (x) = x^{2} {(2 - 5 x)}^{3}$ لإيجاد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0.25797958$ في العبارة.

$f (0.25797958) = {(0.25797958)}^{2} {(2 - 5 \cdot 0.25797958)}^{3}$

خطوة 3.3.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

ارفع $0.25797958$ إلى القوة $2$ .

$f (0.25797958) = 0.06655346 {(2 - 5 \cdot 0.25797958)}^{3}$

خطوة 3.3.2.2

اضرب $- 5$ في $0.25797958$ .

$f (0.25797958) = 0.06655346 {(2 - 1.28989794)}^{3}$

خطوة 3.3.2.3

اطرح $1.28989794$ من $2$ .

$f (0.25797958) = 0.06655346 \cdot {0.71010205}^{3}$

خطوة 3.3.2.4

ارفع $0.71010205$ إلى القوة $3$ .

$f (0.25797958) = 0.06655346 \cdot 0.35806535$

خطوة 3.3.2.5

اضرب $0.06655346$ في $0.35806535$ .

$f (0.25797958) = 0.02383049$

خطوة 3.3.2.6

الإجابة النهائية هي $0.02383049$ .

$0.02383049$

خطوة 3.4

النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ $0.25797958$ في $f (x) = x^{2} {(2 - 5 x)}^{3}$ هي $(0.25797958, 0.02383049)$ . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.

$(0.25797958, 0.02383049)$

خطوة 3.5

عوّض بقيمة $0.06202041$ في $f (x) = x^{2} {(2 - 5 x)}^{3}$ لإيجاد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0.06202041$ في العبارة.

$f (0.06202041) = {(0.06202041)}^{2} {(2 - 5 \cdot 0.06202041)}^{3}$

خطوة 3.5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1

ارفع $0.06202041$ إلى القوة $2$ .

$f (0.06202041) = 0.00384653 {(2 - 5 \cdot 0.06202041)}^{3}$

خطوة 3.5.2.2

اضرب $- 5$ في $0.06202041$ .

$f (0.06202041) = 0.00384653 {(2 - 0.31010205)}^{3}$

خطوة 3.5.2.3

اطرح $0.31010205$ من $2$ .

$f (0.06202041) = 0.00384653 \cdot {1.68989794}^{3}$

خطوة 3.5.2.4

ارفع $1.68989794$ إلى القوة $3$ .

$f (0.06202041) = 0.00384653 \cdot 4.82593464$

خطوة 3.5.2.5

اضرب $0.00384653$ في $4.82593464$ .

$f (0.06202041) = 0.0185631$

خطوة 3.5.2.6

الإجابة النهائية هي $0.0185631$ .

$0.0185631$

خطوة 3.6

النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ $0.06202041$ في $f (x) = x^{2} {(2 - 5 x)}^{3}$ هي $(0.06202041, 0.0185631)$ . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.

$(0.06202041, 0.0185631)$

خطوة 3.7

حدد النقاط التي يمكن أن تكون نقاط انقلاب.

$(\frac{2}{5}, 0), (0.25797958, 0.02383049), (0.06202041, 0.0185631)$

خطوة 4

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات حول النقاط التي من المحتمل أن تكون نقاط انقلاب.

$(- \infty, 0.06202041) \cup (0.06202041, 0.25797958) \cup (0.25797958, \frac{2}{5}) \cup (\frac{2}{5}, \infty)$

خطوة 5

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, 0.06202041)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 0.03797958$ في العبارة.

$f'' (- 0.03797958) = - 2500 {(- 0.03797958)}^{3} + 1800 {(- 0.03797958)}^{2} - 360 \cdot - 0.03797958 + 16$

خطوة 5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

ارفع $- 0.03797958$ إلى القوة $3$ .

$f'' (- 0.03797958) = - 2500 \cdot - 0.00005478 + 1800 {(- 0.03797958)}^{2} - 360 \cdot - 0.03797958 + 16$

خطوة 5.2.1.2

اضرب $- 2500$ في $- 0.00005478$ .

$f'' (- 0.03797958) = 0.13695907 + 1800 {(- 0.03797958)}^{2} - 360 \cdot - 0.03797958 + 16$

خطوة 5.2.1.3

ارفع $- 0.03797958$ إلى القوة $2$ .

$f'' (- 0.03797958) = 0.13695907 + 1800 \cdot 0.00144244 - 360 \cdot - 0.03797958 + 16$

خطوة 5.2.1.4

اضرب $1800$ في $0.00144244$ .

$f'' (- 0.03797958) = 0.13695907 + 2.59640862 - 360 \cdot - 0.03797958 + 16$

خطوة 5.2.1.5

اضرب $- 360$ في $- 0.03797958$ .

$f'' (- 0.03797958) = 0.13695907 + 2.59640862 + 13.67265229 + 16$

خطوة 5.2.2

بسّط بجمع الأعداد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

أضف $0.13695907$ و $2.59640862$ .

$f'' (- 0.03797958) = 2.73336769 + 13.67265229 + 16$

خطوة 5.2.2.2

أضف $2.73336769$ و $13.67265229$ .

$f'' (- 0.03797958) = 16.40601999 + 16$

خطوة 5.2.2.3

أضف $16.40601999$ و $16$ .

$f'' (- 0.03797958) = 32.40601999$

خطوة 5.2.3

الإجابة النهائية هي $32.40601999$ .

$32.40601999$

خطوة 5.3

في $- 0.03797958$ ، المشتق الثاني هو $32.40601999$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن المشتق الثاني يتزايد على مدى الفترة $(- \infty, 0.06202041)$ .

تزايد خلال $(- \infty, 0.06202041)$ نظرًا إلى أن $f'' (x) > 0$

خطوة 6

عوّض بقيمة من الفترة $(0.06202041, 0.25797958)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0.15\overline{9}$ في العبارة.

$f'' (0.15\overline{9}) = - 2500 {(0.15\overline{9})}^{3} + 1800 {(0.15\overline{9})}^{2} - 360 \cdot 0.15\overline{9} + 16$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

ارفع $0.15\overline{9}$ إلى القوة $3$ .

$f'' (0.15\overline{9}) = - 2500 \cdot 0.004096 + 1800 {(0.15\overline{9})}^{2} - 360 \cdot 0.15\overline{9} + 16$

خطوة 6.2.1.2

اضرب $- 2500$ في $0.004096$ .

$f'' (0.15\overline{9}) = - 10.24 + 1800 {(0.15\overline{9})}^{2} - 360 \cdot 0.15\overline{9} + 16$

خطوة 6.2.1.3

ارفع $0.15\overline{9}$ إلى القوة $2$ .

$f'' (0.15\overline{9}) = - 10.24 + 1800 \cdot 0.0256 - 360 \cdot 0.15\overline{9} + 16$

خطوة 6.2.1.4

اضرب $1800$ في $0.0256$ .

$f'' (0.15\overline{9}) = - 10.24 + 46.08 - 360 \cdot 0.15\overline{9} + 16$

خطوة 6.2.1.5

اضرب $- 360$ في $0.15\overline{9}$ .

$f'' (0.15\overline{9}) = - 10.24 + 46.08 - 57.6 + 16$

خطوة 6.2.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

أضف $- 10.24$ و $46.08$ .

$f'' (0.15\overline{9}) = 35.84 - 57.6 + 16$

خطوة 6.2.2.2

اطرح $57.6$ من $35.84$ .

$f'' (0.15\overline{9}) = - 21.76 + 16$

خطوة 6.2.2.3

أضف $- 21.76$ و $16$ .

$f'' (0.15\overline{9}) = - 5.76$

خطوة 6.2.3

الإجابة النهائية هي $- 5.76$ .

$- 5.76$

خطوة 6.3

المشتق الثاني عند $0.15\overline{9}$ يساوي $- 5.76$ . وبما أنه سالب، فإن المشتق الثاني يتناقص خلال الفترة $(0.06202041, 0.25797958)$

تناقص خلال $(0.06202041, 0.25797958)$ حيث إن $f'' (x) < 0$

خطوة 7

عوّض بقيمة من الفترة $(0.25797958, \frac{2}{5})$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0.32898979$ في العبارة.

$f'' (0.32898979) = - 2500 {(0.32898979)}^{3} + 1800 {(0.32898979)}^{2} - 360 \cdot 0.32898979 + 16$

خطوة 7.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

ارفع $0.32898979$ إلى القوة $3$ .

$f'' (0.32898979) = - 2500 \cdot 0.03560797 + 1800 {(0.32898979)}^{2} - 360 \cdot 0.32898979 + 16$

خطوة 7.2.1.2

اضرب $- 2500$ في $0.03560797$ .

$f'' (0.32898979) = - 89.01993814 + 1800 {(0.32898979)}^{2} - 360 \cdot 0.32898979 + 16$

خطوة 7.2.1.3

ارفع $0.32898979$ إلى القوة $2$ .

$f'' (0.32898979) = - 89.01993814 + 1800 \cdot 0.10823428 - 360 \cdot 0.32898979 + 16$

خطوة 7.2.1.4

اضرب $1800$ في $0.10823428$ .

$f'' (0.32898979) = - 89.01993814 + 194.82171321 - 360 \cdot 0.32898979 + 16$

خطوة 7.2.1.5

اضرب $- 360$ في $0.32898979$ .

$f'' (0.32898979) = - 89.01993814 + 194.82171321 - 118.43632614 + 16$

خطوة 7.2.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1

أضف $- 89.01993814$ و $194.82171321$ .

$f'' (0.32898979) = 105.80177507 - 118.43632614 + 16$

خطوة 7.2.2.2

اطرح $118.43632614$ من $105.80177507$ .

$f'' (0.32898979) = - 12.63455107 + 16$

خطوة 7.2.2.3

أضف $- 12.63455107$ و $16$ .

$f'' (0.32898979) = 3.36544892$

خطوة 7.2.3

الإجابة النهائية هي $3.36544892$ .

$3.36544892$

خطوة 7.3

في $0.32898979$ ، المشتق الثاني هو $3.36544892$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن المشتق الثاني يتزايد على مدى الفترة $(0.25797958, \frac{2}{5})$ .

تزايد خلال $(0.25797958, \frac{2}{5})$ نظرًا إلى أن $f'' (x) > 0$

خطوة 8

عوّض بقيمة من الفترة $(\frac{2}{5}, \infty)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0.5$ في العبارة.

$f'' (0.5) = - 2500 {(0.5)}^{3} + 1800 {(0.5)}^{2} - 360 \cdot 0.5 + 16$

خطوة 8.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.1

ارفع $0.5$ إلى القوة $3$ .

$f'' (0.5) = - 2500 \cdot 0.125 + 1800 {(0.5)}^{2} - 360 \cdot 0.5 + 16$

خطوة 8.2.1.2

اضرب $- 2500$ في $0.125$ .

$f'' (0.5) = - 312.5 + 1800 {(0.5)}^{2} - 360 \cdot 0.5 + 16$

خطوة 8.2.1.3

ارفع $0.5$ إلى القوة $2$ .

$f'' (0.5) = - 312.5 + 1800 \cdot 0.25 - 360 \cdot 0.5 + 16$

خطوة 8.2.1.4

اضرب $1800$ في $0.25$ .

$f'' (0.5) = - 312.5 + 450 - 360 \cdot 0.5 + 16$

خطوة 8.2.1.5

اضرب $- 360$ في $0.5$ .

$f'' (0.5) = - 312.5 + 450 - 180 + 16$

خطوة 8.2.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.2.1

أضف $- 312.5$ و $450$ .

$f'' (0.5) = 137.5 - 180 + 16$

خطوة 8.2.2.2

اطرح $180$ من $137.5$ .

$f'' (0.5) = - 42.5 + 16$

خطوة 8.2.2.3

أضف $- 42.5$ و $16$ .

$f'' (0.5) = - 26.5$

خطوة 8.2.3

الإجابة النهائية هي $- 26.5$ .

$- 26.5$

خطوة 8.3

المشتق الثاني عند $0.5$ يساوي $- 26.5$ . وبما أنه سالب، فإن المشتق الثاني يتناقص خلال الفترة $(\frac{2}{5}, \infty)$

تناقص خلال $(\frac{2}{5}, \infty)$ حيث إن $f'' (x) < 0$

خطوة 9

نقطة الانقلاب هي نقطة على منحنى يغيّر التقعر عندها العلامة من موجب إلى سالب أو من سالب إلى موجب. نقاط الانقلاب في هذه الحالة هي $(0.06202041, 0.0185631), (0.25797958, 0.02383049), (\frac{2}{5}, 0)$ .

$(0.06202041, 0.0185631), (0.25797958, 0.02383049), (\frac{2}{5}, 0)$

خطوة 10