حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = - \frac{5}{3} x^{2} + 2 x + 2$ ; $(- 1, - \frac{5}{3})$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول واحسِب القيمة عند $x = - 1$ و $y = - \frac{5}{3}$ لإيجاد ميل خط المماس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $- \frac{5}{3} x^{2} + 2 x + 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [- \frac{5}{3} x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{5}{3} x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- \frac{5}{3} x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

بما أن $- \frac{5}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \frac{5}{3} x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{5}{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{5}{3} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$- \frac{5}{3} (2 x) + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 1.2.3

اضرب $2$ في $- 1$ .

$- 2 (\frac{5}{3}) x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 1.2.4

اجمع $- 2$ و $\frac{5}{3}$ .

$\frac{- 2 \cdot 5}{3} x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 1.2.5

اضرب $- 2$ في $5$ .

$\frac{- 10}{3} x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 1.2.6

اجمع $\frac{- 10}{3}$ و $x$ .

$\frac{- 10 x}{3} + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 1.2.7

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{10 x}{3} + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{10 x}{3} + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- \frac{10 x}{3} + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 1.3.3

اضرب $2$ في $1$ .

$- \frac{10 x}{3} + 2 + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$- \frac{10 x}{3} + 2 + 0$

خطوة 1.4.2

أضف $- \frac{10 x}{3} + 2$ و $0$ .

$- \frac{10 x}{3} + 2$

خطوة 1.5

احسِب قيمة المشتق في $x = - 1$ .

$- \frac{10 (- 1)}{3} + 2$

خطوة 1.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.1.1

اضرب $10$ في $- 1$ .

$- \frac{- 10}{3} + 2$

خطوة 1.6.1.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$- - \frac{10}{3} + 2$

خطوة 1.6.1.3

اضرب $- - \frac{10}{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.1.3.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$1 (\frac{10}{3}) + 2$

خطوة 1.6.1.3.2

اضرب $\frac{10}{3}$ في $1$ .

$\frac{10}{3} + 2$

خطوة 1.6.2

لكتابة $2$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$\frac{10}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3}$

خطوة 1.6.3

اجمع $2$ و $\frac{3}{3}$ .

$\frac{10}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3}$

خطوة 1.6.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{10 + 2 \cdot 3}{3}$

خطوة 1.6.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.5.1

اضرب $2$ في $3$ .

$\frac{10 + 6}{3}$

خطوة 1.6.5.2

أضف $10$ و $6$ .

$\frac{16}{3}$

خطوة 2

عوّض بقيمتَي الميل والنقطة في قاعدة ميل النقطة وأوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

استخدِم الميل $\frac{16}{3}$ ونقطة مُعطاة $(- 1, - \frac{5}{3})$ للتعويض بقيمتَي $x_{1}$ و $y_{1}$ في شكل ميل النقطة $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ ، المشتق من معادلة الميل $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- \frac{5}{3}) = \frac{16}{3} \cdot (x - (- 1))$

خطوة 2.2

بسّط المعادلة واتركها بِشكل ميل النقطة.

$y + \frac{5}{3} = \frac{16}{3} \cdot (x + 1)$

خطوة 2.3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بسّط $\frac{16}{3} \cdot (x + 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

أعِد الكتابة.

$y + \frac{5}{3} = 0 + 0 + \frac{16}{3} \cdot (x + 1)$

خطوة 2.3.1.2

بسّط بجمع الأصفار.

$y + \frac{5}{3} = \frac{16}{3} \cdot (x + 1)$

خطوة 2.3.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$y + \frac{5}{3} = \frac{16}{3} x + \frac{16}{3} \cdot 1$

خطوة 2.3.1.4

اجمع $\frac{16}{3}$ و $x$ .

$y + \frac{5}{3} = \frac{16 x}{3} + \frac{16}{3} \cdot 1$

خطوة 2.3.1.5

اضرب $\frac{16}{3}$ في $1$ .

$y + \frac{5}{3} = \frac{16 x}{3} + \frac{16}{3}$

خطوة 2.3.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

اطرح $\frac{5}{3}$ من كلا المتعادلين.

$y = \frac{16 x}{3} + \frac{16}{3} - \frac{5}{3}$

خطوة 2.3.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \frac{16 x + 16 - 5}{3}$

خطوة 2.3.2.3

اطرح $5$ من $16$ .

$y = \frac{16 x + 11}{3}$

خطوة 2.3.2.4

قسّم الكسر $\frac{16 x + 11}{3}$ إلى كسرين.

$y = \frac{16 x}{3} + \frac{11}{3}$

خطوة 2.3.3

أعِد ترتيب الحدود.

$y = \frac{16}{3} x + \frac{11}{3}$

خطوة 3