حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = x \sqrt{x}$ , $(9, 27)$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول واحسِب القيمة عند $x = 9$ و $y = 27$ لإيجاد ميل خط المماس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x}$ في صورة $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x \cdot x^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 1.2

اضرب $x$ في $x^{\frac{1}{2}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

اضرب $x$ في $x^{\frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{1} x^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 1.2.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{d}{d x} [x^{1 + \frac{1}{2}}]$

خطوة 1.2.2

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}]$

خطوة 1.2.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{2 + 1}{2}}]$

خطوة 1.2.4

أضف $2$ و $1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

خطوة 1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}$

خطوة 1.4

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

خطوة 1.5

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

خطوة 1.6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}$

خطوة 1.7

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}}$

خطوة 1.7.2

اطرح $2$ من $3$ .

$\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}$

خطوة 1.8

اجمع $\frac{3}{2}$ و $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

خطوة 1.9

احسِب قيمة المشتق في $x = 9$ .

$\frac{3 {(9)}^{\frac{1}{2}}}{2}$

خطوة 1.10

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.10.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.10.1.1

أعِد كتابة $9$ بالصيغة $3^{2}$ .

$\frac{3 \cdot {(3^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2}$

خطوة 1.10.1.2

اضرب الأُسس في ${(3^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.10.1.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})}}{2}$

خطوة 1.10.1.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.10.1.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})}}{2}$

خطوة 1.10.1.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{3 \cdot 3^{1}}{2}$

خطوة 1.10.1.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{3^{1 + 1}}{2}$

خطوة 1.10.1.4

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{3^{2}}{2}$

خطوة 1.10.2

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$\frac{9}{2}$

خطوة 2

عوّض بقيمتَي الميل والنقطة في قاعدة ميل النقطة وأوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

استخدِم الميل $\frac{9}{2}$ ونقطة مُعطاة $(9, 27)$ للتعويض بقيمتَي $x_{1}$ و $y_{1}$ في شكل ميل النقطة $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ ، المشتق من معادلة الميل $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (27) = \frac{9}{2} \cdot (x - (9))$

خطوة 2.2

بسّط المعادلة واتركها بِشكل ميل النقطة.

$y - 27 = \frac{9}{2} \cdot (x - 9)$

خطوة 2.3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بسّط $\frac{9}{2} \cdot (x - 9)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

أعِد الكتابة.

$y - 27 = 0 + 0 + \frac{9}{2} \cdot (x - 9)$

خطوة 2.3.1.2

بسّط بجمع الأصفار.

$y - 27 = \frac{9}{2} \cdot (x - 9)$

خطوة 2.3.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$y - 27 = \frac{9}{2} x + \frac{9}{2} \cdot - 9$

خطوة 2.3.1.4

اجمع $\frac{9}{2}$ و $x$ .

$y - 27 = \frac{9 x}{2} + \frac{9}{2} \cdot - 9$

خطوة 2.3.1.5

اضرب $\frac{9}{2} \cdot - 9$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.5.1

اجمع $\frac{9}{2}$ و $- 9$ .

$y - 27 = \frac{9 x}{2} + \frac{9 \cdot - 9}{2}$

خطوة 2.3.1.5.2

اضرب $9$ في $- 9$ .

$y - 27 = \frac{9 x}{2} + \frac{- 81}{2}$

خطوة 2.3.1.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$y - 27 = \frac{9 x}{2} - \frac{81}{2}$

خطوة 2.3.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

أضف $27$ إلى كلا المتعادلين.

$y = \frac{9 x}{2} - \frac{81}{2} + 27$

خطوة 2.3.2.2

لكتابة $27$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{9 x}{2} - \frac{81}{2} + 27 \cdot \frac{2}{2}$

خطوة 2.3.2.3

اجمع $27$ و $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{9 x}{2} - \frac{81}{2} + \frac{27 \cdot 2}{2}$

خطوة 2.3.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \frac{9 x}{2} + \frac{- 81 + 27 \cdot 2}{2}$

خطوة 2.3.2.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.5.1

اضرب $27$ في $2$ .

$y = \frac{9 x}{2} + \frac{- 81 + 54}{2}$

خطوة 2.3.2.5.2

أضف $- 81$ و $54$ .

$y = \frac{9 x}{2} + \frac{- 27}{2}$

خطوة 2.3.2.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$y = \frac{9 x}{2} - \frac{27}{2}$

خطوة 2.3.3

أعِد ترتيب الحدود.

$y = \frac{9}{2} x - \frac{27}{2}$

خطوة 3