حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \arctan (\frac{1}{5} x)$ ; $(5, \frac{π}{4})$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول واحسِب القيمة عند $x = 5$ و $y = \frac{π}{4}$ لإيجاد ميل خط المماس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \arctan (x)$ و $g (x) = \frac{1}{5} x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $\frac{1}{5} x$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [\frac{1}{5} x]$

خطوة 1.1.2

مشتق $\arctan (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{5} x]$

خطوة 1.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\frac{1}{5} x$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{1}{5} x)}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{5} x]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

اجمع $\frac{1}{5}$ و $x$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x}{5})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{5} x]$

خطوة 1.2.2

اجمع $\frac{1}{5}$ و $x$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x}{5})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{5}]$

خطوة 1.2.3

بما أن $\frac{1}{5}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{x}{5}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x}{5})}^{2}} (\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 1.2.4

اضرب $\frac{1}{5}$ في $\frac{1}{1 + {(\frac{x}{5})}^{2}}$ .

$\frac{1}{5 (1 + {(\frac{x}{5})}^{2})} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.2.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{1}{5 (1 + {(\frac{x}{5})}^{2})} \cdot 1$

خطوة 1.2.6

اضرب $\frac{1}{5 (1 + {(\frac{x}{5})}^{2})}$ في $1$ .

$\frac{1}{5 (1 + {(\frac{x}{5})}^{2})}$

خطوة 1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{x}{5}$ .

$\frac{1}{5 (1 + \frac{x^{2}}{5^{2}})}$

خطوة 1.3.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1}{5 \cdot 1 + 5 \frac{x^{2}}{5^{2}}}$

خطوة 1.3.3

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.1

اضرب $5$ في $1$ .

$\frac{1}{5 + 5 \frac{x^{2}}{5^{2}}}$

خطوة 1.3.3.2

ارفع $5$ إلى القوة $2$ .

$\frac{1}{5 + 5 \frac{x^{2}}{25}}$

خطوة 1.3.3.3

اجمع $5$ و $\frac{x^{2}}{25}$ .

$\frac{1}{5 + \frac{5 x^{2}}{25}}$

خطوة 1.3.3.4

احذِف العامل المشترك لـ $5$ و $25$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.4.1

أخرِج العامل $5$ من $5 x^{2}$ .

$\frac{1}{5 + \frac{5 (x^{2})}{25}}$

خطوة 1.3.3.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.4.2.1

أخرِج العامل $5$ من $25$ .

$\frac{1}{5 + \frac{5 x^{2}}{5 \cdot 5}}$

خطوة 1.3.3.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{5 + \frac{5 x^{2}}{5 \cdot 5}}$

خطوة 1.3.3.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{5 + \frac{x^{2}}{5}}$

خطوة 1.3.4

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{1}{\frac{x^{2}}{5} + 5}$

خطوة 1.3.5

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.5.1

لكتابة $5$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{5}{5}$ .

$\frac{1}{\frac{x^{2}}{5} + 5 \cdot \frac{5}{5}}$

خطوة 1.3.5.2

اجمع $5$ و $\frac{5}{5}$ .

$\frac{1}{\frac{x^{2}}{5} + \frac{5 \cdot 5}{5}}$

خطوة 1.3.5.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{\frac{x^{2} + 5 \cdot 5}{5}}$

خطوة 1.3.5.4

اضرب $5$ في $5$ .

$\frac{1}{\frac{x^{2} + 25}{5}}$

خطوة 1.3.6

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$1 \frac{5}{x^{2} + 25}$

خطوة 1.3.7

اضرب $\frac{5}{x^{2} + 25}$ في $1$ .

$\frac{5}{x^{2} + 25}$

خطوة 1.4

احسِب قيمة المشتق في $x = 5$ .

$\frac{5}{{(5)}^{2} + 25}$

خطوة 1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1.1

ارفع $5$ إلى القوة $2$ .

$\frac{5}{25 + 25}$

خطوة 1.5.1.2

أضف $25$ و $25$ .

$\frac{5}{50}$

خطوة 1.5.2

احذِف العامل المشترك لـ $5$ و $50$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.1

أخرِج العامل $5$ من $5$ .

$\frac{5 (1)}{50}$

خطوة 1.5.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.2.1

أخرِج العامل $5$ من $50$ .

$\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 10}$

خطوة 1.5.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 10}$

خطوة 1.5.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{10}$

خطوة 2

عوّض بقيمتَي الميل والنقطة في قاعدة ميل النقطة وأوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

استخدِم الميل $\frac{1}{10}$ ونقطة مُعطاة $(5, \frac{π}{4})$ للتعويض بقيمتَي $x_{1}$ و $y_{1}$ في شكل ميل النقطة $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ ، المشتق من معادلة الميل $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{π}{4}) = \frac{1}{10} \cdot (x - (5))$

خطوة 2.2

بسّط المعادلة واتركها بِشكل ميل النقطة.

$y - \frac{π}{4} = \frac{1}{10} \cdot (x - 5)$

خطوة 2.3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بسّط $\frac{1}{10} \cdot (x - 5)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

أعِد الكتابة.

$y - \frac{π}{4} = 0 + 0 + \frac{1}{10} \cdot (x - 5)$

خطوة 2.3.1.2

بسّط بجمع الأصفار.

$y - \frac{π}{4} = \frac{1}{10} \cdot (x - 5)$

خطوة 2.3.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$y - \frac{π}{4} = \frac{1}{10} x + \frac{1}{10} \cdot - 5$

خطوة 2.3.1.4

اجمع $\frac{1}{10}$ و $x$ .

$y - \frac{π}{4} = \frac{x}{10} + \frac{1}{10} \cdot - 5$

خطوة 2.3.1.5

ألغِ العامل المشترك لـ $5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.5.1

أخرِج العامل $5$ من $10$ .

$y - \frac{π}{4} = \frac{x}{10} + \frac{1}{5 (2)} \cdot - 5$

خطوة 2.3.1.5.2

أخرِج العامل $5$ من $- 5$ .

$y - \frac{π}{4} = \frac{x}{10} + \frac{1}{5 \cdot 2} \cdot (5 \cdot - 1)$

خطوة 2.3.1.5.3

ألغِ العامل المشترك.

$y - \frac{π}{4} = \frac{x}{10} + \frac{1}{5 \cdot 2} \cdot (5 \cdot - 1)$

خطوة 2.3.1.5.4

أعِد كتابة العبارة.

$y - \frac{π}{4} = \frac{x}{10} + \frac{1}{2} \cdot - 1$

خطوة 2.3.1.6

اجمع $\frac{1}{2}$ و $- 1$ .

$y - \frac{π}{4} = \frac{x}{10} + \frac{- 1}{2}$

خطوة 2.3.1.7

انقُل السالب أمام الكسر.

$y - \frac{π}{4} = \frac{x}{10} - \frac{1}{2}$

خطوة 2.3.2

أضف $\frac{π}{4}$ إلى كلا المتعادلين.

$y = \frac{x}{10} - \frac{1}{2} + \frac{π}{4}$

خطوة 2.3.3

اكتب بصيغة $y = m x + b$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

لكتابة $- \frac{1}{2}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{x}{10} - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{4}$

خطوة 2.3.3.2

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $4$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.2.1

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{x}{10} - \frac{2}{2 \cdot 2} + \frac{π}{4}$

خطوة 2.3.3.2.2

اضرب $2$ في $2$ .

$y = \frac{x}{10} - \frac{2}{4} + \frac{π}{4}$

خطوة 2.3.3.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \frac{x}{10} + \frac{- 2 + π}{4}$

خطوة 2.3.3.4

أعِد كتابة $- 2$ بالصيغة $- 1 (2)$ .

$y = \frac{x}{10} + \frac{- 1 (2) + π}{4}$

خطوة 2.3.3.5

أخرِج العامل $- 1$ من $π$ .

$y = \frac{x}{10} + \frac{- 1 (2) - 1 (- π)}{4}$

خطوة 2.3.3.6

أخرِج العامل $- 1$ من $- 1 (2) - 1 (- π)$ .

$y = \frac{x}{10} + \frac{- 1 (2 - π)}{4}$

خطوة 2.3.3.7

انقُل السالب أمام الكسر.

$y = \frac{x}{10} - \frac{2 - π}{4}$

خطوة 2.3.3.8

أعِد ترتيب الحدود.

$y = \frac{1}{10} x - \frac{2 - π}{4}$

خطوة 3