حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \frac{x^{2}}{x + 7}$ ; $(2, \frac{4}{9})$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول واحسِب القيمة عند $x = 2$ و $y = \frac{4}{9}$ لإيجاد ميل خط المماس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = x + 7$ .

$\frac{(x + 7) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [x + 7]}{{(x + 7)}^{2}}$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{(x + 7) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [x + 7]}{{(x + 7)}^{2}}$

خطوة 1.2.2

انقُل $2$ إلى يسار $x + 7$ .

$\frac{2 \cdot (x + 7) x - x^{2} \frac{d}{d x} [x + 7]}{{(x + 7)}^{2}}$

خطوة 1.2.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 7$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{2 (x + 7) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7])}{{(x + 7)}^{2}}$

خطوة 1.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{2 (x + 7) x - x^{2} (1 + \frac{d}{d x} [7])}{{(x + 7)}^{2}}$

خطوة 1.2.5

بما أن $7$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $7$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{2 (x + 7) x - x^{2} (1 + 0)}{{(x + 7)}^{2}}$

خطوة 1.2.6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.6.1

أضف $1$ و $0$ .

$\frac{2 (x + 7) x - x^{2} \cdot 1}{{(x + 7)}^{2}}$

خطوة 1.2.6.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{2 (x + 7) x - x^{2}}{{(x + 7)}^{2}}$

خطوة 1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{(2 x + 2 \cdot 7) x - x^{2}}{{(x + 7)}^{2}}$

خطوة 1.3.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 x \cdot x + 2 \cdot 7 x - x^{2}}{{(x + 7)}^{2}}$

خطوة 1.3.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.1.1

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.1.1.1

انقُل $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + 2 \cdot 7 x - x^{2}}{{(x + 7)}^{2}}$

خطوة 1.3.3.1.1.2

اضرب $x$ في $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 \cdot 7 x - x^{2}}{{(x + 7)}^{2}}$

خطوة 1.3.3.1.2

اضرب $2$ في $7$ .

$\frac{2 x^{2} + 14 x - x^{2}}{{(x + 7)}^{2}}$

خطوة 1.3.3.2

اطرح $x^{2}$ من $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} + 14 x}{{(x + 7)}^{2}}$

خطوة 1.3.4

أخرِج العامل $x$ من $x^{2} + 14 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.4.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{2}$ .

$\frac{x \cdot x + 14 x}{{(x + 7)}^{2}}$

خطوة 1.3.4.2

أخرِج العامل $x$ من $14 x$ .

$\frac{x \cdot x + x \cdot 14}{{(x + 7)}^{2}}$

خطوة 1.3.4.3

أخرِج العامل $x$ من $x \cdot x + x \cdot 14$ .

$\frac{x (x + 14)}{{(x + 7)}^{2}}$

خطوة 1.4

احسِب قيمة المشتق في $x = 2$ .

$\frac{(2) ((2) + 14)}{{((2) + 7)}^{2}}$

خطوة 1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

أضف $2$ و $14$ .

$\frac{2 \cdot 16}{{(2 + 7)}^{2}}$

خطوة 1.5.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.1

أضف $2$ و $7$ .

$\frac{2 \cdot 16}{9^{2}}$

خطوة 1.5.2.2

ارفع $9$ إلى القوة $2$ .

$\frac{2 \cdot 16}{81}$

خطوة 1.5.3

اضرب $2$ في $16$ .

$\frac{32}{81}$

خطوة 2

عوّض بقيمتَي الميل والنقطة في قاعدة ميل النقطة وأوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

استخدِم الميل $\frac{32}{81}$ ونقطة مُعطاة $(2, \frac{4}{9})$ للتعويض بقيمتَي $x_{1}$ و $y_{1}$ في شكل ميل النقطة $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ ، المشتق من معادلة الميل $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{4}{9}) = \frac{32}{81} \cdot (x - (2))$

خطوة 2.2

بسّط المعادلة واتركها بِشكل ميل النقطة.

$y - \frac{4}{9} = \frac{32}{81} \cdot (x - 2)$

خطوة 2.3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بسّط $\frac{32}{81} \cdot (x - 2)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

أعِد الكتابة.

$y - \frac{4}{9} = 0 + 0 + \frac{32}{81} \cdot (x - 2)$

خطوة 2.3.1.2

بسّط بجمع الأصفار.

$y - \frac{4}{9} = \frac{32}{81} \cdot (x - 2)$

خطوة 2.3.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$y - \frac{4}{9} = \frac{32}{81} x + \frac{32}{81} \cdot - 2$

خطوة 2.3.1.4

اجمع $\frac{32}{81}$ و $x$ .

$y - \frac{4}{9} = \frac{32 x}{81} + \frac{32}{81} \cdot - 2$

خطوة 2.3.1.5

اضرب $\frac{32}{81} \cdot - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.5.1

اجمع $\frac{32}{81}$ و $- 2$ .

$y - \frac{4}{9} = \frac{32 x}{81} + \frac{32 \cdot - 2}{81}$

خطوة 2.3.1.5.2

اضرب $32$ في $- 2$ .

$y - \frac{4}{9} = \frac{32 x}{81} + \frac{- 64}{81}$

خطوة 2.3.1.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$y - \frac{4}{9} = \frac{32 x}{81} - \frac{64}{81}$

خطوة 2.3.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

أضف $\frac{4}{9}$ إلى كلا المتعادلين.

$y = \frac{32 x}{81} - \frac{64}{81} + \frac{4}{9}$

خطوة 2.3.2.2

لكتابة $\frac{4}{9}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{9}{9}$ .

$y = \frac{32 x}{81} - \frac{64}{81} + \frac{4}{9} \cdot \frac{9}{9}$

خطوة 2.3.2.3

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $81$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.3.1

اضرب $\frac{4}{9}$ في $\frac{9}{9}$ .

$y = \frac{32 x}{81} - \frac{64}{81} + \frac{4 \cdot 9}{9 \cdot 9}$

خطوة 2.3.2.3.2

اضرب $9$ في $9$ .

$y = \frac{32 x}{81} - \frac{64}{81} + \frac{4 \cdot 9}{81}$

خطوة 2.3.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \frac{32 x}{81} + \frac{- 64 + 4 \cdot 9}{81}$

خطوة 2.3.2.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.5.1

اضرب $4$ في $9$ .

$y = \frac{32 x}{81} + \frac{- 64 + 36}{81}$

خطوة 2.3.2.5.2

أضف $- 64$ و $36$ .

$y = \frac{32 x}{81} + \frac{- 28}{81}$

خطوة 2.3.2.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$y = \frac{32 x}{81} - \frac{28}{81}$

خطوة 2.3.3

أعِد ترتيب الحدود.

$y = \frac{32}{81} x - \frac{28}{81}$

خطوة 3