حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x \cos (y) = 1$ , $(2, \frac{π}{3})$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول واحسِب القيمة عند $x = 2$ و $y = \frac{π}{3}$ لإيجاد ميل خط المماس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (x \cos (y)) = \frac{d}{d x} (1)$

خطوة 1.2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = \cos (y)$ .

$x \frac{d}{d x} [\cos (y)] + \cos (y) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \cos (x)$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $y$ .

$x (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [y]) + \cos (y) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.2.2.2

مشتق $\cos (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $- \sin (u)$ .

$x (- \sin (u) \frac{d}{d x} [y]) + \cos (y) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y$ .

$x (- \sin (y) \frac{d}{d x} [y]) + \cos (y) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.2.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$x (- \sin (y) y') + \cos (y) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$x (- \sin (y) y') + \cos (y) \cdot 1$

خطوة 1.2.5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.1

اضرب $\cos (y)$ في $1$ .

$x (- \sin (y) y') + \cos (y)$

خطوة 1.2.5.2

أعِد ترتيب الحدود.

$- x \sin (y) y' + \cos (y)$

خطوة 1.3

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0$

خطوة 1.4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$- x \sin (y) y' + \cos (y) = 0$

خطوة 1.5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1.1

أعِد ترتيب العوامل في $- x \sin (y) y' + \cos (y)$ .

$- x y' \sin (y) + \cos (y) = 0$

خطوة 1.5.2

اطرح $\cos (y)$ من كلا المتعادلين.

$- x y' \sin (y) = - \cos (y)$

خطوة 1.5.3

اقسِم كل حد في $- x y' \sin (y) = - \cos (y)$ على $- x \sin (y)$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.1

اقسِم كل حد في $- x y' \sin (y) = - \cos (y)$ على $- x \sin (y)$ .

$\frac{- x y' \sin (y)}{- x \sin (y)} = \frac{- \cos (y)}{- x \sin (y)}$

خطوة 1.5.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{x y' \sin (y)}{x \sin (y)} = \frac{- \cos (y)}{- x \sin (y)}$

خطوة 1.5.3.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x y' \sin (y)}{x \sin (y)} = \frac{- \cos (y)}{- x \sin (y)}$

خطوة 1.5.3.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y' \sin (y)}{\sin (y)} = \frac{- \cos (y)}{- x \sin (y)}$

خطوة 1.5.3.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $\sin (y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.2.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y' \sin (y)}{\sin (y)} = \frac{- \cos (y)}{- x \sin (y)}$

خطوة 1.5.3.2.3.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{- \cos (y)}{- x \sin (y)}$

خطوة 1.5.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.3.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$y' = \frac{\cos (y)}{x \sin (y)}$

خطوة 1.5.3.3.2

افصِل الكسور.

$y' = \frac{1}{x} \cdot \frac{\cos (y)}{\sin (y)}$

خطوة 1.5.3.3.3

حوّل من $\frac{\cos (y)}{\sin (y)}$ إلى $\cot (y)$ .

$y' = \frac{1}{x} \cot (y)$

خطوة 1.5.3.3.4

اجمع $\frac{1}{x}$ و $\cot (y)$ .

$y' = \frac{\cot (y)}{x}$

خطوة 1.6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\cot (y)}{x}$

خطوة 1.7

احسِب القيمة عند $x = 2$ و $y = \frac{π}{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $2$ في العبارة.

$\frac{\cot (y)}{2}$

خطوة 1.7.2

استبدِل المتغير $y$ بـ $\frac{π}{3}$ في العبارة.

$\frac{\cot (\frac{π}{3})}{2}$

خطوة 1.7.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.3.1

القيمة الدقيقة لـ $\cot (\frac{π}{3})$ هي $\frac{1}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{\frac{1}{\sqrt{3}}}{2}$

خطوة 1.7.3.2

اضرب $\frac{1}{\sqrt{3}}$ في $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}}{2}$

خطوة 1.7.3.3

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.3.3.1

اضرب $\frac{1}{\sqrt{3}}$ في $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}}{2}$

خطوة 1.7.3.3.2

ارفع $\sqrt{3}$ إلى القوة $1$ .

$\frac{\frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}}{2}$

خطوة 1.7.3.3.3

ارفع $\sqrt{3}$ إلى القوة $1$ .

$\frac{\frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}}{2}$

خطوة 1.7.3.3.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{\frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}}{2}$

خطوة 1.7.3.3.5

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{\frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}}{2}$

خطوة 1.7.3.3.6

أعِد كتابة ${\sqrt{3}}^{2}$ بالصيغة $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.3.3.6.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{3}$ في صورة $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{2}$

خطوة 1.7.3.3.6.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{2}$

خطوة 1.7.3.3.6.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$\frac{\frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}}{2}$

خطوة 1.7.3.3.6.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.3.3.6.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}}{2}$

خطوة 1.7.3.3.6.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{\frac{\sqrt{3}}{3^{1}}}{2}$

خطوة 1.7.3.3.6.5

احسِب قيمة الأُس.

$\frac{\frac{\sqrt{3}}{3}}{2}$

خطوة 1.7.4

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$\frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{2}$

خطوة 1.7.5

اضرب $\frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.5.1

اضرب $\frac{\sqrt{3}}{3}$ في $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{3 \cdot 2}$

خطوة 1.7.5.2

اضرب $3$ في $2$ .

$\frac{\sqrt{3}}{6}$

خطوة 2

عوّض بقيمتَي الميل والنقطة في قاعدة ميل النقطة وأوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

استخدِم الميل $\frac{\sqrt{3}}{6}$ ونقطة مُعطاة $(2, \frac{π}{3})$ للتعويض بقيمتَي $x_{1}$ و $y_{1}$ في شكل ميل النقطة $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ ، المشتق من معادلة الميل $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{π}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{6} \cdot (x - (2))$

خطوة 2.2

بسّط المعادلة واتركها بِشكل ميل النقطة.

$y - \frac{π}{3} = \frac{\sqrt{3}}{6} \cdot (x - 2)$

خطوة 2.3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بسّط $\frac{\sqrt{3}}{6} \cdot (x - 2)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

أعِد الكتابة.

$y - \frac{π}{3} = 0 + 0 + \frac{\sqrt{3}}{6} \cdot (x - 2)$

خطوة 2.3.1.2

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y - \frac{π}{3} = \frac{\sqrt{3}}{6} x + \frac{\sqrt{3}}{6} \cdot - 2$

خطوة 2.3.1.2.2

اجمع $\frac{\sqrt{3}}{6}$ و $x$ .

$y - \frac{π}{3} = \frac{\sqrt{3} x}{6} + \frac{\sqrt{3}}{6} \cdot - 2$

خطوة 2.3.1.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.2.3.1

أخرِج العامل $2$ من $6$ .

$y - \frac{π}{3} = \frac{\sqrt{3} x}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2 (3)} \cdot - 2$

خطوة 2.3.1.2.3.2

أخرِج العامل $2$ من $- 2$ .

$y - \frac{π}{3} = \frac{\sqrt{3} x}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 3} \cdot (2 \cdot - 1)$

خطوة 2.3.1.2.3.3

ألغِ العامل المشترك.

$y - \frac{π}{3} = \frac{\sqrt{3} x}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 3} \cdot (2 \cdot - 1)$

خطوة 2.3.1.2.3.4

أعِد كتابة العبارة.

$y - \frac{π}{3} = \frac{\sqrt{3} x}{6} + \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot - 1$

خطوة 2.3.1.2.4

اجمع $\frac{\sqrt{3}}{3}$ و $- 1$ .

$y - \frac{π}{3} = \frac{\sqrt{3} x}{6} + \frac{\sqrt{3} \cdot - 1}{3}$

خطوة 2.3.1.3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.3.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.3.1.1

انقُل $- 1$ إلى يسار $\sqrt{3}$ .

$y - \frac{π}{3} = \frac{\sqrt{3} x}{6} + \frac{- 1 \cdot \sqrt{3}}{3}$

خطوة 2.3.1.3.1.2

أعِد كتابة $- 1 \sqrt{3}$ بالصيغة $- \sqrt{3}$ .

$y - \frac{π}{3} = \frac{\sqrt{3} x}{6} + \frac{- \sqrt{3}}{3}$

خطوة 2.3.1.3.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$y - \frac{π}{3} = \frac{\sqrt{3} x}{6} - \frac{\sqrt{3}}{3}$

خطوة 2.3.2

أضف $\frac{π}{3}$ إلى كلا المتعادلين.

$y = \frac{\sqrt{3} x}{6} - \frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{π}{3}$

خطوة 2.3.3

اكتب بصيغة $y = m x + b$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \frac{\sqrt{3} x}{6} + \frac{- \sqrt{3} + π}{3}$

خطوة 2.3.3.2

أخرِج العامل $- 1$ من $- \sqrt{3}$ .

$y = \frac{\sqrt{3} x}{6} + \frac{- (\sqrt{3}) + π}{3}$

خطوة 2.3.3.3

أخرِج العامل $- 1$ من $π$ .

$y = \frac{\sqrt{3} x}{6} + \frac{- (\sqrt{3}) - 1 (- π)}{3}$

خطوة 2.3.3.4

أخرِج العامل $- 1$ من $- (\sqrt{3}) - 1 (- π)$ .

$y = \frac{\sqrt{3} x}{6} + \frac{- (\sqrt{3} - π)}{3}$

خطوة 2.3.3.5

أعِد كتابة $- (\sqrt{3} - π)$ بالصيغة $- 1 (\sqrt{3} - π)$ .

$y = \frac{\sqrt{3} x}{6} + \frac{- 1 (\sqrt{3} - π)}{3}$

خطوة 2.3.3.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$y = \frac{\sqrt{3} x}{6} - \frac{\sqrt{3} - π}{3}$

خطوة 2.3.3.7

أعِد ترتيب الحدود.

$y = \frac{\sqrt{3}}{6} x - \frac{\sqrt{3} - π}{3}$

خطوة 3