حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

${(e^{4 x} - 2)}^{2}$ , $(0, 1)$

خطوة 1

اكتب ${(e^{4 x} - 2)}^{2}$ في صورة معادلة.

$y = {(e^{4 x} - 2)}^{2}$

خطوة 2

أوجِد المشتق الأول واحسِب القيمة عند $x = 0$ و $y = 1$ لإيجاد ميل خط المماس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = e^{4 x} - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $e^{4 x} - 2$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [e^{4 x} - 2]$

خطوة 2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [e^{4 x} - 2]$

خطوة 2.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $e^{4 x} - 2$ .

$2 (e^{4 x} - 2) \frac{d}{d x} [e^{4 x} - 2]$

خطوة 2.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $e^{4 x} - 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$2 (e^{4 x} - 2) (\frac{d}{d x} [e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [- 2])$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = 4 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $4 x$ .

$2 (e^{4 x} - 2) (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2])$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ هو $a^{u_{2}} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$2 (e^{4 x} - 2) (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2])$

خطوة 2.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $4 x$ .

$2 (e^{4 x} - 2) (e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2])$

خطوة 2.4

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (e^{4 x} - 2) (e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 2])$

خطوة 2.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 (e^{4 x} - 2) (e^{4 x} (4 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 2])$

خطوة 2.4.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.3.1

اضرب $4$ في $1$ .

$2 (e^{4 x} - 2) (e^{4 x} \cdot 4 + \frac{d}{d x} [- 2])$

خطوة 2.4.3.2

انقُل $4$ إلى يسار $e^{4 x}$ .

$2 (e^{4 x} - 2) (4 \cdot e^{4 x} + \frac{d}{d x} [- 2])$

خطوة 2.4.4

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$2 (e^{4 x} - 2) (4 e^{4 x} + 0)$

خطوة 2.4.5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.5.1

أضف $4 e^{4 x}$ و $0$ .

$2 (e^{4 x} - 2) (4 e^{4 x})$

خطوة 2.4.5.2

اضرب $4$ في $2$ .

$8 (e^{4 x} - 2) e^{4 x}$

خطوة 2.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

طبّق خاصية التوزيع.

$(8 e^{4 x} + 8 \cdot - 2) e^{4 x}$

خطوة 2.5.2

طبّق خاصية التوزيع.

$8 e^{4 x} e^{4 x} + 8 \cdot - 2 e^{4 x}$

خطوة 2.5.3

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.3.1

اضرب $e^{4 x}$ في $e^{4 x}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.3.1.1

انقُل $e^{4 x}$ .

$8 (e^{4 x} e^{4 x}) + 8 \cdot - 2 e^{4 x}$

خطوة 2.5.3.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$8 e^{4 x + 4 x} + 8 \cdot - 2 e^{4 x}$

خطوة 2.5.3.1.3

أضف $4 x$ و $4 x$ .

$8 e^{8 x} + 8 \cdot - 2 e^{4 x}$

خطوة 2.5.3.2

اضرب $8$ في $- 2$ .

$8 e^{8 x} - 16 e^{4 x}$

خطوة 2.6

احسِب قيمة المشتق في $x = 0$ .

$8 e^{8 (0)} - 16 e^{4 (0)}$

خطوة 2.7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.1.1

اضرب $8$ في $0$ .

$8 e^{0} - 16 e^{4 (0)}$

خطوة 2.7.1.2

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$8 \cdot 1 - 16 e^{4 (0)}$

خطوة 2.7.1.3

اضرب $8$ في $1$ .

$8 - 16 e^{4 (0)}$

خطوة 2.7.1.4

اضرب $4$ في $0$ .

$8 - 16 e^{0}$

خطوة 2.7.1.5

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$8 - 16 \cdot 1$

خطوة 2.7.1.6

اضرب $- 16$ في $1$ .

$8 - 16$

خطوة 2.7.2

اطرح $16$ من $8$ .

$- 8$

خطوة 3

عوّض بقيمتَي الميل والنقطة في قاعدة ميل النقطة وأوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

استخدِم الميل $- 8$ ونقطة مُعطاة $(0, 1)$ للتعويض بقيمتَي $x_{1}$ و $y_{1}$ في شكل ميل النقطة $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ ، المشتق من معادلة الميل $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = - 8 \cdot (x - (0))$

خطوة 3.2

بسّط المعادلة واتركها بِشكل ميل النقطة.

$y - 1 = - 8 \cdot (x + 0)$

خطوة 3.3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

أضف $x$ و $0$ .

$y - 1 = - 8 x$

خطوة 3.3.2

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$y = - 8 x + 1$

خطوة 4