حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = 14 x - x^{2}$ , $[0, 2]$

خطوة 1

نطاق العبارة هو جميع الأعداد الحقيقية ما عدا ما يجعل العبارة غير معرّفة. في هذه الحالة، لا يوجد عدد حقيقي يجعل العبارة غير معرّفة.

ترميز الفترة:

$(- \infty, \infty)$

ترميز بناء المجموعات:

${x | x \in ℝ}$

خطوة 2

$f (x)$ متصلة على $[0, 2]$ .

$f (x)$ متصلة

خطوة 3

يُعرف متوسط قيمة الدالة $f$ على مدى الفترة $[a, b]$ بأنه $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

خطوة 4

عوّض بالقيم الفعلية في قاعدة القيمة المتوسطة لدالة.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\int_{0}^{2} 14 x - x^{2} d x)$

خطوة 5

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\int_{0}^{2} 14 x d x + \int_{0}^{2} - x^{2} d x)$

خطوة 6

بما أن $14$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $14$ خارج التكامل.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (14 \int_{0}^{2} x d x + \int_{0}^{2} - x^{2} d x)$

خطوة 7

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (14 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} - x^{2} d x)$

خطوة 8

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (14 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} - x^{2} d x)$

خطوة 9

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (14 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2}) - \int_{0}^{2} x^{2} d x)$

خطوة 10

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (14 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2}) - (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{2}))$

خطوة 11

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

اجمع $\frac{1}{3}$ و $x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (14 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}))$

خطوة 11.2

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1

احسِب قيمة $\frac{x^{2}}{2}$ في $2$ وفي $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (14 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}))$

خطوة 11.2.2

احسِب قيمة $\frac{x^{3}}{3}$ في $2$ وفي $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (14 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

خطوة 11.2.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.3.1

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (14 (\frac{4}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

خطوة 11.2.3.2

احذِف العامل المشترك لـ $4$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.3.2.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (14 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

خطوة 11.2.3.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.3.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (14 (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

خطوة 11.2.3.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (14 (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

خطوة 11.2.3.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (14 (\frac{2}{1} - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

خطوة 11.2.3.2.2.4

اقسِم $2$ على $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (14 (2 - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

خطوة 11.2.3.3

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (14 (2 - \frac{0}{2}) - (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

خطوة 11.2.3.4

احذِف العامل المشترك لـ $0$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.3.4.1

أخرِج العامل $2$ من $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (14 (2 - \frac{2 (0)}{2}) - (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

خطوة 11.2.3.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.3.4.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (14 (2 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

خطوة 11.2.3.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (14 (2 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

خطوة 11.2.3.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (14 (2 - \frac{0}{1}) - (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

خطوة 11.2.3.4.2.4

اقسِم $0$ على $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (14 (2 - 0) - (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

خطوة 11.2.3.5

اضرب $- 1$ في $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (14 (2 + 0) - (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

خطوة 11.2.3.6

أضف $2$ و $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (14 \cdot 2 - (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

خطوة 11.2.3.7

اضرب $14$ في $2$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (28 - (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

خطوة 11.2.3.8

ارفع $2$ إلى القوة $3$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (28 - (\frac{8}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

خطوة 11.2.3.9

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (28 - (\frac{8}{3} - \frac{0}{3}))$

خطوة 11.2.3.10

احذِف العامل المشترك لـ $0$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.3.10.1

أخرِج العامل $3$ من $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (28 - (\frac{8}{3} - \frac{3 (0)}{3}))$

خطوة 11.2.3.10.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.3.10.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (28 - (\frac{8}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}))$

خطوة 11.2.3.10.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (28 - (\frac{8}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}))$

خطوة 11.2.3.10.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (28 - (\frac{8}{3} - \frac{0}{1}))$

خطوة 11.2.3.10.2.4

اقسِم $0$ على $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (28 - (\frac{8}{3} - 0))$

خطوة 11.2.3.11

اضرب $- 1$ في $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (28 - (\frac{8}{3} + 0))$

خطوة 11.2.3.12

أضف $\frac{8}{3}$ و $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (28 - \frac{8}{3})$

خطوة 11.2.3.13

لكتابة $28$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (28 \cdot \frac{3}{3} - \frac{8}{3})$

خطوة 11.2.3.14

اجمع $28$ و $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{28 \cdot 3}{3} - \frac{8}{3})$

خطوة 11.2.3.15

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{28 \cdot 3 - 8}{3})$

خطوة 11.2.3.16

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.3.16.1

اضرب $28$ في $3$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{84 - 8}{3})$

خطوة 11.2.3.16.2

اطرح $8$ من $84$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{76}{3})$

خطوة 12

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

اضرب $- 1$ في $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 0} \cdot \frac{76}{3}$

خطوة 12.2

أضف $2$ و $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{76}{3}$

خطوة 13

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

أخرِج العامل $2$ من $76$ .

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 (38)}{3}$

خطوة 13.2

ألغِ العامل المشترك.

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 38}{3}$

خطوة 13.3

أعِد كتابة العبارة.

$A (x) = \frac{38}{3}$

خطوة 14