حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = e^{\sin (x)} \cos (x)$ , $[0, \frac{π}{2}]$

خطوة 1

نطاق العبارة هو جميع الأعداد الحقيقية ما عدا ما يجعل العبارة غير معرّفة. في هذه الحالة، لا يوجد عدد حقيقي يجعل العبارة غير معرّفة.

ترميز الفترة:

$(- \infty, \infty)$

ترميز بناء المجموعات:

${x | x \in ℝ}$

خطوة 2

$f (x)$ متصلة على $[0, \frac{π}{2}]$ .

$f (x)$ متصلة

خطوة 3

يُعرف متوسط قيمة الدالة $f$ على مدى الفترة $[a, b]$ بأنه $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

خطوة 4

عوّض بالقيم الفعلية في قاعدة القيمة المتوسطة لدالة.

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2} - 0} (\int_{0}^{\frac{π}{2}} e^{\sin (x)} \cos (x) d x)$

خطوة 5

لنفترض أن $u = \sin (x)$ . إذن $d u = \cos (x) d x$ ، لذا $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

افترض أن $u = \sin (x)$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

أوجِد مشتقة $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

خطوة 5.1.2

مشتق $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

خطوة 5.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = \sin (x)$ .

$u_{lower} = \sin (0)$

خطوة 5.3

القيمة الدقيقة لـ $\sin (0)$ هي $0$ .

$u_{lower} = 0$

خطوة 5.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = \sin (x)$ .

$u_{upper} = \sin (\frac{π}{2})$

خطوة 5.5

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{2})$ هي $1$ .

$u_{upper} = 1$

خطوة 5.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

خطوة 5.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2} - 0} (\int_{0}^{1} e^{u} d u)$

خطوة 6

تكامل $e^{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $e^{u}$ .

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2} - 0} (e^{u}]_{0}^{1})$

خطوة 7

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

احسِب قيمة $e^{u}$ في $1$ وفي $0$ .

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2} - 0} ((e) - e^{0})$

خطوة 7.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

بسّط.

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2} - 0} (e - e^{0})$

خطوة 7.2.2

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2} - 0} (e - 1 \cdot 1)$

خطوة 7.2.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2} - 0} (e - 1)$

خطوة 8

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

اضرب $- 1$ في $0$ .

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2} + 0} \cdot (e - 1)$

خطوة 8.2

أضف $\frac{π}{2}$ و $0$ .

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2}} \cdot (e - 1)$

خطوة 9

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$A (x) = 1 (\frac{2}{π}) \cdot (e - 1)$

خطوة 10

اضرب $\frac{2}{π}$ في $1$ .

$A (x) = \frac{2}{π} \cdot (e - 1)$

خطوة 11

طبّق خاصية التوزيع.

$A (x) = \frac{2}{π} \cdot e + \frac{2}{π} \cdot - 1$

خطوة 12

اجمع $\frac{2}{π}$ و $e$ .

$A (x) = \frac{2 e}{π} + \frac{2}{π} \cdot - 1$

خطوة 13

اضرب $\frac{2}{π} \cdot - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

اجمع $\frac{2}{π}$ و $- 1$ .

$A (x) = \frac{2 e}{π} + \frac{2 \cdot - 1}{π}$

خطوة 13.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$A (x) = \frac{2 e}{π} + \frac{- 2}{π}$

خطوة 14

انقُل السالب أمام الكسر.

$A (x) = \frac{2 e}{π} - \frac{2}{π}$

خطوة 15