حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{7 \sqrt{x} - 3 x^{2} - 3}{4 \sqrt{x}}$

خطوة 1

اكتب $\frac{7 \sqrt{x} - 3 x^{2} - 3}{4 \sqrt{x}}$ في صورة دالة.

$f (x) = \frac{7 \sqrt{x} - 3 x^{2} - 3}{4 \sqrt{x}}$

خطوة 2

يمكن إيجاد الدالة $F (x)$ بإيجاد التكامل غير المحدد للمشتق $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

خطوة 3

عيّن التكامل لإيجاد الحل.

$F (x) = \int \frac{7 \sqrt{x} - 3 x^{2} - 3}{4 \sqrt{x}} d x$

خطوة 4

بما أن $\frac{1}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{1}{4}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{4} \int \frac{7 \sqrt{x} - 3 x^{2} - 3}{\sqrt{x}} d x$

خطوة 5

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x}$ في صورة $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{7 x^{\frac{1}{2}} - 3 x^{2} - 3}{\sqrt{x}} d x$

خطوة 5.2

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x}$ في صورة $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{7 x^{\frac{1}{2}} - 3 x^{2} - 3}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

خطوة 5.3

انقُل $x^{\frac{1}{2}}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$\frac{1}{4} \int (7 x^{\frac{1}{2}} - 3 x^{2} - 3) {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

خطوة 5.4

اضرب الأُسس في ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} \int (7 x^{\frac{1}{2}} - 3 x^{2} - 3) x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

خطوة 5.4.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $- 1$ .

$\frac{1}{4} \int (7 x^{\frac{1}{2}} - 3 x^{2} - 3) x^{\frac{- 1}{2}} d x$

خطوة 5.4.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{4} \int (7 x^{\frac{1}{2}} - 3 x^{2} - 3) x^{- \frac{1}{2}} d x$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1}{4} \int (7 x^{\frac{1}{2}} - 3 x^{2}) x^{- \frac{1}{2}} - 3 x^{- \frac{1}{2}} d x$

خطوة 6.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1}{4} \int 7 x^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{2}} - 3 x^{2} x^{- \frac{1}{2}} - 3 x^{- \frac{1}{2}} d x$

خطوة 6.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{1}{4} \int 7 x^{\frac{1}{2} - \frac{1}{2}} - 3 x^{2} x^{- \frac{1}{2}} - 3 x^{- \frac{1}{2}} d x$

خطوة 6.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{4} \int 7 x^{\frac{1 - 1}{2}} - 3 x^{2} x^{- \frac{1}{2}} - 3 x^{- \frac{1}{2}} d x$

خطوة 6.5

اطرح $1$ من $1$ .

$\frac{1}{4} \int 7 x^{\frac{0}{2}} - 3 x^{2} x^{- \frac{1}{2}} - 3 x^{- \frac{1}{2}} d x$

خطوة 6.6

احذِف العامل المشترك لـ $0$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.6.1

أخرِج العامل $2$ من $0$ .

$\frac{1}{4} \int 7 x^{\frac{2 (0)}{2}} - 3 x^{2} x^{- \frac{1}{2}} - 3 x^{- \frac{1}{2}} d x$

خطوة 6.6.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.6.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{1}{4} \int 7 x^{\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}} - 3 x^{2} x^{- \frac{1}{2}} - 3 x^{- \frac{1}{2}} d x$

خطوة 6.6.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{4} \int 7 x^{\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}} - 3 x^{2} x^{- \frac{1}{2}} - 3 x^{- \frac{1}{2}} d x$

خطوة 6.6.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{4} \int 7 x^{\frac{0}{1}} - 3 x^{2} x^{- \frac{1}{2}} - 3 x^{- \frac{1}{2}} d x$

خطوة 6.6.2.4

اقسِم $0$ على $1$ .

$\frac{1}{4} \int 7 x^{0} - 3 x^{2} x^{- \frac{1}{2}} - 3 x^{- \frac{1}{2}} d x$

خطوة 6.7

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$\frac{1}{4} \int 7 \cdot 1 - 3 x^{2} x^{- \frac{1}{2}} - 3 x^{- \frac{1}{2}} d x$

خطوة 6.8

اضرب $7$ في $1$ .

$\frac{1}{4} \int 7 - 3 x^{2} x^{- \frac{1}{2}} - 3 x^{- \frac{1}{2}} d x$

خطوة 6.9

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{1}{4} \int 7 - 3 x^{2 - \frac{1}{2}} - 3 x^{- \frac{1}{2}} d x$

خطوة 6.10

لكتابة $2$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{4} \int 7 - 3 x^{2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}} - 3 x^{- \frac{1}{2}} d x$

خطوة 6.11

اجمع $2$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{4} \int 7 - 3 x^{\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}} - 3 x^{- \frac{1}{2}} d x$

خطوة 6.12

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{4} \int 7 - 3 x^{\frac{2 \cdot 2 - 1}{2}} - 3 x^{- \frac{1}{2}} d x$

خطوة 6.13

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.13.1

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{1}{4} \int 7 - 3 x^{\frac{4 - 1}{2}} - 3 x^{- \frac{1}{2}} d x$

خطوة 6.13.2

اطرح $1$ من $4$ .

$\frac{1}{4} \int 7 - 3 x^{\frac{3}{2}} - 3 x^{- \frac{1}{2}} d x$

خطوة 6.14

أعِد ترتيب $7$ و $- 3 x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{4} \int - 3 x^{\frac{3}{2}} + 7 - 3 x^{- \frac{1}{2}} d x$

خطوة 6.15

انقُل $7$ .

$\frac{1}{4} \int - 3 x^{\frac{3}{2}} - 3 x^{- \frac{1}{2}} + 7 d x$

خطوة 7

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\frac{1}{4} (\int - 3 x^{\frac{3}{2}} d x + \int - 3 x^{- \frac{1}{2}} d x + \int 7 d x)$

خطوة 8

بما أن $- 3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 3$ خارج التكامل.

$\frac{1}{4} (- 3 \int x^{\frac{3}{2}} d x + \int - 3 x^{- \frac{1}{2}} d x + \int 7 d x)$

خطوة 9

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{\frac{3}{2}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{1}{4} (- 3 (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C) + \int - 3 x^{- \frac{1}{2}} d x + \int 7 d x)$

خطوة 10

بما أن $- 3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 3$ خارج التكامل.

$\frac{1}{4} (- 3 (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C) - 3 \int x^{- \frac{1}{2}} d x + \int 7 d x)$

خطوة 11

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{- \frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{4} (- 3 (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C) - 3 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + \int 7 d x)$

خطوة 12

طبّق قاعدة الثابت.

$\frac{1}{4} (- 3 (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C) - 3 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + 7 x + C)$

خطوة 13

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

اجمع $\frac{2}{5}$ و $x^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{1}{4} (- 3 (\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C) - 3 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + 7 x + C)$

خطوة 13.2

بسّط.

$\frac{1}{4} (- \frac{6 x^{\frac{5}{2}}}{5} - 6 x^{\frac{1}{2}} + 7 x) + C$

خطوة 14

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{1}{4} (- \frac{6}{5} x^{\frac{5}{2}} - 6 x^{\frac{1}{2}} + 7 x) + C$

خطوة 15

الإجابة هي المشتق العكسي للدالة $f (x) = \frac{7 \sqrt{x} - 3 x^{2} - 3}{4 \sqrt{x}}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{4} (- \frac{6}{5} x^{\frac{5}{2}} - 6 x^{\frac{1}{2}} + 7 x) + C$