حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\cos^{2} (2 t)$

خطوة 1

اكتب $\cos^{2} (2 t)$ في صورة دالة.

$f (t) = \cos^{2} (2 t)$

خطوة 2

يمكن إيجاد الدالة $F (t)$ بإيجاد التكامل غير المحدد للمشتق $f (t)$ .

$F (t) = \int f (t) d t$

خطوة 3

عيّن التكامل لإيجاد الحل.

$F (t) = \int \cos^{2} (2 t) d t$

خطوة 4

لنفترض أن $u_{1} = 2 t$ . إذن $d u_{1} = 2 d t$ ، لذا $\frac{1}{2} d u_{1} = d t$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{1}$ و $d$ $u_{1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

افترض أن $u_{1} = 2 t$ . أوجِد $\frac{d u_{1}}{d t}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

أوجِد مشتقة $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

خطوة 4.1.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $2 t$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

خطوة 4.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

خطوة 4.1.4

اضرب $2$ في $1$ .

$2$

خطوة 4.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{1}$ و $d u_{1}$ .

$\int \cos^{2} (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1}$

خطوة 5

اجمع $\cos^{2} (u_{1})$ و $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{\cos^{2} (u_{1})}{2} d u_{1}$

خطوة 6

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} \int \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

خطوة 7

استخدِم قاعدة نصف الزاوية لإعادة كتابة $\cos^{2} (u_{1})$ بحيث تصبح $\frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1}$

خطوة 8

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

خطوة 9

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2} \int 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

خطوة 9.2

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{1}{4} \int 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

خطوة 10

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\frac{1}{4} (\int d u_{1} + \int \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

خطوة 11

طبّق قاعدة الثابت.

$\frac{1}{4} (u_{1} + C + \int \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

خطوة 12

لنفترض أن $u_{2} = 2 u_{1}$ . إذن $d u_{2} = 2 d u_{1}$ ، لذا $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

افترض أن $u_{2} = 2 u_{1}$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1

أوجِد مشتقة $2 u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

خطوة 12.1.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، إذن مشتق $2 u_{1}$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

خطوة 12.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

خطوة 12.1.4

اضرب $2$ في $1$ .

$2$

خطوة 12.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$\frac{1}{4} (u_{1} + C + \int \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})$

خطوة 13

اجمع $\cos (u_{2})$ و $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4} (u_{1} + C + \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

خطوة 14

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{2}$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{4} (u_{1} + C + \frac{1}{2} \int \cos (u_{2}) d u_{2})$

خطوة 15

تكامل $\cos (u_{2})$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $\sin (u_{2})$ .

$\frac{1}{4} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C))$

خطوة 16

بسّط.

$\frac{1}{4} (u_{1} + \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

خطوة 17

عوّض مجددًا بقيمة كل متغير في التكامل بالتعويض.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.1

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $2 t$ .

$\frac{1}{4} (2 t + \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

خطوة 17.2

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $2 u_{1}$ .

$\frac{1}{4} (2 t + \frac{1}{2} \sin (2 u_{1})) + C$

خطوة 17.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $2 t$ .

$\frac{1}{4} (2 t + \frac{1}{2} \sin (2 (2 t))) + C$

خطوة 18

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 18.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 18.1.1

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{1}{4} (2 t + \frac{1}{2} \sin (4 t)) + C$

خطوة 18.1.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $\sin (4 t)$ .

$\frac{1}{4} (2 t + \frac{\sin (4 t)}{2}) + C$

خطوة 18.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1}{4} (2 t) + \frac{1}{4} \cdot \frac{\sin (4 t)}{2} + C$

خطوة 18.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 18.3.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$\frac{1}{2 (2)} (2 t) + \frac{1}{4} \cdot \frac{\sin (4 t)}{2} + C$

خطوة 18.3.2

أخرِج العامل $2$ من $2 t$ .

$\frac{1}{2 (2)} (2 (t)) + \frac{1}{4} \cdot \frac{\sin (4 t)}{2} + C$

خطوة 18.3.3

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{2 \cdot 2} (2 t) + \frac{1}{4} \cdot \frac{\sin (4 t)}{2} + C$

خطوة 18.3.4

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{2} t + \frac{1}{4} \cdot \frac{\sin (4 t)}{2} + C$

خطوة 18.4

اجمع $\frac{1}{2}$ و $t$ .

$\frac{t}{2} + \frac{1}{4} \cdot \frac{\sin (4 t)}{2} + C$

خطوة 18.5

اضرب $\frac{1}{4} \cdot \frac{\sin (4 t)}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 18.5.1

اضرب $\frac{1}{4}$ في $\frac{\sin (4 t)}{2}$ .

$\frac{t}{2} + \frac{\sin (4 t)}{4 \cdot 2} + C$

خطوة 18.5.2

اضرب $4$ في $2$ .

$\frac{t}{2} + \frac{\sin (4 t)}{8} + C$

خطوة 19

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{1}{2} t + \frac{1}{8} \sin (4 t) + C$

خطوة 20

الإجابة هي المشتق العكسي للدالة $f (t) = \cos^{2} (2 t)$ .

$F (t) =$ $\frac{1}{2} t + \frac{1}{8} \sin (4 t) + C$