حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\sec^{6} (x)$

خطوة 1

اكتب $\sec^{6} (x)$ في صورة دالة.

$f (x) = \sec^{6} (x)$

خطوة 2

يمكن إيجاد الدالة $F (x)$ بإيجاد التكامل غير المحدد للمشتق $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

خطوة 3

عيّن التكامل لإيجاد الحل.

$F (x) = \int \sec^{6} (x) d x$

خطوة 4

بسّط بالتحليل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد كتابة $6$ في صورة $4$ زائد $2$

$\int {\sec (x)}^{4 + 2} d x$

خطوة 4.2

أعِد كتابة ${\sec (x)}^{4 + 2}$ بالصيغة $\sec^{4} (x) \sec^{2} (x)$ .

$\int \sec^{4} (x) \sec^{2} (x) d x$

خطوة 4.3

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$\int {\sec (x)}^{2 (2)} \sec^{2} (x) d x$

خطوة 4.4

أعِد كتابة ${\sec (x)}^{2 (2)}$ في صورة أُس.

$\int {(\sec^{2} (x))}^{2} \sec^{2} (x) d x$

خطوة 5

باستخدام متطابقة فيثاغورس، أعِد كتابة $\sec^{2} (x)$ بحيث تصبح $1 + \tan^{2} (x)$ .

$\int {(1 + \tan^{2} (x))}^{2} \sec^{2} (x) d x$

خطوة 6

لنفترض أن $u = \tan (x)$ . إذن $d u = \sec^{2} (x) d x$ ، لذا $\frac{1}{\sec^{2} (x)} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

افترض أن $u = \tan (x)$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

أوجِد مشتقة $\tan (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\tan (x)]$

خطوة 6.1.2

مشتق $\tan (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\sec^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x)$

خطوة 6.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int {(1 + u^{2})}^{2} d u$

خطوة 7

وسّع ${(1 + u^{2})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

أعِد كتابة ${(1 + u^{2})}^{2}$ بالصيغة $(1 + u^{2}) (1 + u^{2})$ .

$\int (1 + u^{2}) (1 + u^{2}) d u$

خطوة 7.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\int 1 (1 + u^{2}) + u^{2} (1 + u^{2}) d u$

خطوة 7.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\int 1 \cdot 1 + 1 u^{2} + u^{2} (1 + u^{2}) d u$

خطوة 7.4

طبّق خاصية التوزيع.

$\int 1 \cdot 1 + 1 u^{2} + u^{2} \cdot 1 + u^{2} u^{2} d u$

خطوة 7.5

أعِد ترتيب $u^{2}$ و $1$ .

$\int 1 \cdot 1 + 1 u^{2} + 1 \cdot u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

خطوة 7.6

اضرب $1$ في $1$ .

$\int 1 + 1 u^{2} + 1 u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

خطوة 7.7

اضرب $u^{2}$ في $1$ .

$\int 1 + u^{2} + 1 u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

خطوة 7.8

اضرب $u^{2}$ في $1$ .

$\int 1 + u^{2} + u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

خطوة 7.9

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int 1 + u^{2} + u^{2} + u^{2 + 2} d u$

خطوة 7.10

أضف $2$ و $2$ .

$\int 1 + u^{2} + u^{2} + u^{4} d u$

خطوة 7.11

أضف $u^{2}$ و $u^{2}$ .

$\int 1 + 2 u^{2} + u^{4} d u$

خطوة 7.12

أعِد ترتيب $2 u^{2}$ و $u^{4}$ .

$\int 1 + u^{4} + 2 u^{2} d u$

خطوة 7.13

انقُل $1$ .

$\int u^{4} + 2 u^{2} + 1 d u$

خطوة 8

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int u^{4} d u + \int 2 u^{2} d u + \int d u$

خطوة 9

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{4}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$\frac{1}{5} u^{5} + C + \int 2 u^{2} d u + \int d u$

خطوة 10

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$\frac{1}{5} u^{5} + C + 2 \int u^{2} d u + \int d u$

خطوة 11

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{2}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{5} u^{5} + C + 2 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \int d u$

خطوة 12

طبّق قاعدة الثابت.

$\frac{1}{5} u^{5} + C + 2 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + u + C$

خطوة 13

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

اجمع $\frac{1}{3}$ و $u^{3}$ .

$\frac{1}{5} u^{5} + C + 2 (\frac{u^{3}}{3} + C) + u + C$

خطوة 13.2

بسّط.

$\frac{u^{5}}{5} + \frac{2 u^{3}}{3} + u + C$

خطوة 14

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\tan (x)$ .

$\frac{\tan^{5} (x)}{5} + \frac{2 \tan^{3} (x)}{3} + \tan (x) + C$

خطوة 15

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{1}{5} \tan^{5} (x) + \frac{2}{3} \tan^{3} (x) + \tan (x) + C$

خطوة 16

الإجابة هي المشتق العكسي للدالة $f (x) = \sec^{6} (x)$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{5} \tan^{5} (x) + \frac{2}{3} \tan^{3} (x) + \tan (x) + C$