حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{x^{2}}{\sqrt{16 - x^{2}}}$

خطوة 1

اكتب $\frac{x^{2}}{\sqrt{16 - x^{2}}}$ في صورة دالة.

$f (x) = \frac{x^{2}}{\sqrt{16 - x^{2}}}$

خطوة 2

يمكن إيجاد الدالة $F (x)$ بإيجاد التكامل غير المحدد للمشتق $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

خطوة 3

عيّن التكامل لإيجاد الحل.

$F (x) = \int \frac{x^{2}}{\sqrt{16 - x^{2}}} d x$

خطوة 4

لنفترض أن $x = 4 \sin (t)$ ، حيث $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . إذن $d x = 4 \cos (t) d t$ . لاحظ أنه نظرًا إلى أن $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ ، إذن تُعد $4 \cos (t)$ موجبة.

$\int \frac{{(4 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{16 - {(4 \sin (t))}^{2}}} (4 \cos (t)) d t$

خطوة 5

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بسّط $\sqrt{16 - {(4 \sin (t))}^{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $4 \sin (t)$ .

$\int \frac{{(4 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{16 - (4^{2} \sin^{2} (t))}} (4 \cos (t)) d t$

خطوة 5.1.1.2

ارفع $4$ إلى القوة $2$ .

$\int \frac{{(4 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{16 - (16 \sin^{2} (t))}} (4 \cos (t)) d t$

خطوة 5.1.1.3

اضرب $16$ في $- 1$ .

$\int \frac{{(4 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{16 - 16 \sin^{2} (t)}} (4 \cos (t)) d t$

خطوة 5.1.2

أخرِج العامل $16$ من $16$ .

$\int \frac{{(4 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{16 (1) - 16 \sin^{2} (t)}} (4 \cos (t)) d t$

خطوة 5.1.3

أخرِج العامل $16$ من $- 16 \sin^{2} (t)$ .

$\int \frac{{(4 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{16 (1) + 16 (- \sin^{2} (t))}} (4 \cos (t)) d t$

خطوة 5.1.4

أخرِج العامل $16$ من $16 (1) + 16 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int \frac{{(4 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{16 (1 - \sin^{2} (t))}} (4 \cos (t)) d t$

خطوة 5.1.5

طبّق متطابقة فيثاغورس.

$\int \frac{{(4 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{16 \cos^{2} (t)}} (4 \cos (t)) d t$

خطوة 5.1.6

أعِد كتابة $16 \cos^{2} (t)$ بالصيغة ${(4 \cos (t))}^{2}$ .

$\int \frac{{(4 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{{(4 \cos (t))}^{2}}} (4 \cos (t)) d t$

خطوة 5.1.7

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$\int \frac{{(4 \sin (t))}^{2}}{4 \cos (t)} (4 \cos (t)) d t$

خطوة 5.2

اختزِل العبارة بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $4 \cos (t)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\int \frac{{(4 \sin (t))}^{2}}{4 \cos (t)} (4 \cos (t)) d t$

خطوة 5.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\int {(4 \sin (t))}^{2} d t$

خطوة 5.2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

أخرِج العامل $4$ من $4 \sin (t)$ .

$\int {(4 (\sin (t)))}^{2} d t$

خطوة 5.2.2.2

طبّق قاعدة الضرب على $4 (\sin (t))$ .

$\int 4^{2} \sin^{2} (t) d t$

خطوة 5.2.2.3

ارفع $4$ إلى القوة $2$ .

$\int 16 \sin^{2} (t) d t$

خطوة 6

بما أن $16$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، انقُل $16$ خارج التكامل.

$16 \int \sin^{2} (t) d t$

خطوة 7

استخدِم قاعدة نصف الزاوية لإعادة كتابة $\sin^{2} (t)$ بحيث تصبح $\frac{1 - \cos (2 t)}{2}$ .

$16 \int \frac{1 - \cos (2 t)}{2} d t$

خطوة 8

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$16 (\frac{1}{2} \int 1 - \cos (2 t) d t)$

خطوة 9

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $16$ .

$\frac{16}{2} \int 1 - \cos (2 t) d t$

خطوة 9.2

احذِف العامل المشترك لـ $16$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

أخرِج العامل $2$ من $16$ .

$\frac{2 \cdot 8}{2} \int 1 - \cos (2 t) d t$

خطوة 9.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} \int 1 - \cos (2 t) d t$

خطوة 9.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} \int 1 - \cos (2 t) d t$

خطوة 9.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{8}{1} \int 1 - \cos (2 t) d t$

خطوة 9.2.2.4

اقسِم $8$ على $1$ .

$8 \int 1 - \cos (2 t) d t$

خطوة 10

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$8 (\int d t + \int - \cos (2 t) d t)$

خطوة 11

طبّق قاعدة الثابت.

$8 (t + C + \int - \cos (2 t) d t)$

خطوة 12

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$8 (t + C - \int \cos (2 t) d t)$

خطوة 13

لنفترض أن $u = 2 t$ . إذن $d u = 2 d t$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = d t$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

افترض أن $u = 2 t$ . أوجِد $\frac{d u}{d t}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1.1

أوجِد مشتقة $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

خطوة 13.1.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $2 t$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

خطوة 13.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

خطوة 13.1.4

اضرب $2$ في $1$ .

$2$

خطوة 13.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$8 (t + C - \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

خطوة 14

اجمع $\cos (u)$ و $\frac{1}{2}$ .

$8 (t + C - \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

خطوة 15

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$8 (t + C - (\frac{1}{2} \int \cos (u) d u))$

خطوة 16

تكامل $\cos (u)$ بالنسبة إلى $u$ هو $\sin (u)$ .

$8 (t + C - \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

خطوة 17

بسّط.

$8 (t - \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

خطوة 18

عوّض مجددًا بقيمة كل متغير في التكامل بالتعويض.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 18.1

استبدِل كافة حالات حدوث $t$ بـ $\arcsin (\frac{x}{4})$ .

$8 (\arcsin (\frac{x}{4}) - \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

خطوة 18.2

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 t$ .

$8 (\arcsin (\frac{x}{4}) - \frac{1}{2} \sin (2 t)) + C$

خطوة 18.3

استبدِل كافة حالات حدوث $t$ بـ $\arcsin (\frac{x}{4})$ .

$8 (\arcsin (\frac{x}{4}) - \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x}{4}))) + C$

خطوة 19

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 19.1

اجمع $\sin (2 \arcsin (\frac{x}{4}))$ و $\frac{1}{2}$ .

$8 (\arcsin (\frac{x}{4}) - \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{4}))}{2}) + C$

خطوة 19.2

طبّق خاصية التوزيع.

$8 \arcsin (\frac{x}{4}) + 8 (- \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{4}))}{2}) + C$

خطوة 19.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 19.3.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{4}))}{2}$ إلى بسط الكسر.

$8 \arcsin (\frac{x}{4}) + 8 \frac{- \sin (2 \arcsin (\frac{x}{4}))}{2} + C$

خطوة 19.3.2

أخرِج العامل $2$ من $8$ .

$8 \arcsin (\frac{x}{4}) + 2 (4) \frac{- \sin (2 \arcsin (\frac{x}{4}))}{2} + C$

خطوة 19.3.3

ألغِ العامل المشترك.

$8 \arcsin (\frac{x}{4}) + 2 \cdot 4 \frac{- \sin (2 \arcsin (\frac{x}{4}))}{2} + C$

خطوة 19.3.4

أعِد كتابة العبارة.

$8 \arcsin (\frac{x}{4}) + 4 (- \sin (2 \arcsin (\frac{x}{4}))) + C$

خطوة 19.4

اضرب $- 1$ في $4$ .

$8 \arcsin (\frac{x}{4}) - 4 \sin (2 \arcsin (\frac{x}{4})) + C$

خطوة 20

أعِد ترتيب الحدود.

$8 \arcsin (\frac{1}{4} x) - 4 \sin (2 \arcsin (\frac{1}{4} x)) + C$

خطوة 21

الإجابة هي المشتق العكسي للدالة $f (x) = \frac{x^{2}}{\sqrt{16 - x^{2}}}$ .

$F (x) =$ $8 \arcsin (\frac{1}{4} x) - 4 \sin (2 \arcsin (\frac{1}{4} x)) + C$