حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{4 \sin (x)}{3 + \cos (x)}$

خطوة 1

اكتب $\frac{4 \sin (x)}{3 + \cos (x)}$ في صورة دالة.

$f (x) = \frac{4 \sin (x)}{3 + \cos (x)}$

خطوة 2

يمكن إيجاد الدالة $F (x)$ بإيجاد التكامل غير المحدد للمشتق $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

خطوة 3

عيّن التكامل لإيجاد الحل.

$F (x) = \int \frac{4 \sin (x)}{3 + \cos (x)} d x$

خطوة 4

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $4$ خارج التكامل.

$4 \int \frac{\sin (x)}{3 + \cos (x)} d x$

خطوة 5

لنفترض أن $u = 3 + \cos (x)$ . إذن $d u = - \sin (x) d x$ ، لذا $- d u = \sin (x) d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

افترض أن $u = 3 + \cos (x)$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

أوجِد مشتقة $3 + \cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [3 + \cos (x)]$

خطوة 5.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 + \cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

خطوة 5.1.2.2

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $3$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

خطوة 5.1.3

مشتق $\cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \sin (x)$ .

$0 - \sin (x)$

خطوة 5.1.4

اطرح $\sin (x)$ من $0$ .

$- \sin (x)$

خطوة 5.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$4 \int \frac{- 1}{u} d u$

خطوة 6

انقُل السالب أمام الكسر.

$4 \int - \frac{1}{u} d u$

خطوة 7

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$4 (- \int \frac{1}{u} d u)$

خطوة 8

اضرب $- 1$ في $4$ .

$- 4 \int \frac{1}{u} d u$

خطوة 9

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$- 4 (\ln (| u |) + C)$

خطوة 10

بسّط.

$- 4 \ln (| u |) + C$

خطوة 11

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $3 + \cos (x)$ .

$- 4 \ln (| 3 + \cos (x) |) + C$

خطوة 12

الإجابة هي المشتق العكسي للدالة $f (x) = \frac{4 \sin (x)}{3 + \cos (x)}$ .

$F (x) =$ $- 4 \ln (| 3 + \cos (x) |) + C$