حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x^{3} \sqrt{1 - x^{2}}$

خطوة 1

اكتب $x^{3} \sqrt{1 - x^{2}}$ في صورة دالة.

$f (x) = x^{3} \sqrt{1 - x^{2}}$

خطوة 2

يمكن إيجاد الدالة $F (x)$ بإيجاد التكامل غير المحدد للمشتق $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

خطوة 3

عيّن التكامل لإيجاد الحل.

$F (x) = \int x^{3} \sqrt{1 - x^{2}} d x$

خطوة 4

لنفترض أن $x = \sin (t)$ ، حيث $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . إذن $d x = \cos (t) d t$ . لاحظ أنه نظرًا إلى أن $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ ، إذن تُعد $\cos (t)$ موجبة.

$\int \sin^{3} (t) \sqrt{1 - \sin^{2} (t)} \cos (t) d t$

خطوة 5

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بسّط $\sqrt{1 - \sin^{2} (t)}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

طبّق متطابقة فيثاغورس.

$\int \sin^{3} (t) \sqrt{\cos^{2} (t)} \cos (t) d t$

خطوة 5.1.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$\int \sin^{3} (t) \cos (t) \cos (t) d t$

خطوة 5.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

ارفع $\cos (t)$ إلى القوة $1$ .

$\int \sin^{3} (t) (\cos^{1} (t) \cos (t)) d t$

خطوة 5.2.2

ارفع $\cos (t)$ إلى القوة $1$ .

$\int \sin^{3} (t) (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)) d t$

خطوة 5.2.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int \sin^{3} (t) {\cos (t)}^{1 + 1} d t$

خطوة 5.2.4

أضف $1$ و $1$ .

$\int \sin^{3} (t) \cos^{2} (t) d t$

خطوة 6

أخرِج عامل $\sin^{2} (t)$ .

$\int \sin^{2} (t) \sin (t) \cos^{2} (t) d t$

خطوة 7

باستخدام متطابقة فيثاغورس، أعِد كتابة $\sin^{2} (t)$ بحيث تصبح $1 - \cos^{2} (t)$ .

$\int (1 - \cos^{2} (t)) \sin (t) \cos^{2} (t) d t$

خطوة 8

لنفترض أن $u = \cos (t)$ . إذن $d u = - \sin (t) d t$ ، لذا $- \frac{1}{\sin (t)} d u = d t$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

افترض أن $u = \cos (t)$ . أوجِد $\frac{d u}{d t}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.1

أوجِد مشتقة $\cos (t)$ .

$\frac{d}{d t} [\cos (t)]$

خطوة 8.1.2

مشتق $\cos (t)$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $- \sin (t)$ .

$- \sin (t)$

خطوة 8.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int (- 1 + u^{2}) u^{2} d u$

خطوة 9

اضرب $(- 1 + u^{2}) u^{2}$ .

$\int - 1 u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

خطوة 10

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

أعِد كتابة $- 1 u^{2}$ بالصيغة $- u^{2}$ .

$\int - u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

خطوة 10.2

اضرب $u^{2}$ في $u^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.1

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int - u^{2} + u^{2 + 2} d u$

خطوة 10.2.2

أضف $2$ و $2$ .

$\int - u^{2} + u^{4} d u$

خطوة 11

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int - u^{2} d u + \int u^{4} d u$

خطوة 12

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- \int u^{2} d u + \int u^{4} d u$

خطوة 13

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{2}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$- (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \int u^{4} d u$

خطوة 14

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{4}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$- (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \frac{1}{5} u^{5} + C$

خطوة 15

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1

اجمع $\frac{1}{3}$ و $u^{3}$ .

$- (\frac{u^{3}}{3} + C) + \frac{1}{5} u^{5} + C$

خطوة 15.2

بسّط.

$- \frac{1}{3} u^{3} + \frac{1}{5} u^{5} + C$

خطوة 16

عوّض مجددًا بقيمة كل متغير في التكامل بالتعويض.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.1

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\cos (t)$ .

$- \frac{1}{3} \cos^{3} (t) + \frac{1}{5} \cos^{5} (t) + C$

خطوة 16.2

استبدِل كافة حالات حدوث $t$ بـ $\arcsin (x)$ .

$- \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (x)) + \frac{1}{5} \cos^{5} (\arcsin (x)) + C$

خطوة 17

الإجابة هي المشتق العكسي للدالة $f (x) = x^{3} \sqrt{1 - x^{2}}$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (x)) + \frac{1}{5} \cos^{5} (\arcsin (x)) + C$