حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

${(\sin (x) + \cos (x))}^{2}$

خطوة 1

اكتب ${(\sin (x) + \cos (x))}^{2}$ في صورة دالة.

$f (x) = {(\sin (x) + \cos (x))}^{2}$

خطوة 2

يمكن إيجاد الدالة $F (x)$ بإيجاد التكامل غير المحدد للمشتق $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

خطوة 3

عيّن التكامل لإيجاد الحل.

$F (x) = \int {(\sin (x) + \cos (x))}^{2} d x$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد كتابة ${(\sin (x) + \cos (x))}^{2}$ بالصيغة $(\sin (x) + \cos (x)) (\sin (x) + \cos (x))$ .

$\int (\sin (x) + \cos (x)) (\sin (x) + \cos (x)) d x$

خطوة 4.2

وسّع $(\sin (x) + \cos (x)) (\sin (x) + \cos (x))$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\int \sin (x) (\sin (x) + \cos (x)) + \cos (x) (\sin (x) + \cos (x)) d x$

خطوة 4.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\int \sin (x) \sin (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) (\sin (x) + \cos (x)) d x$

خطوة 4.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\int \sin (x) \sin (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x) d x$

خطوة 4.3

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1.1

اضرب $\sin (x) \sin (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1.1.1

ارفع $\sin (x)$ إلى القوة $1$ .

$\int \sin^{1} (x) \sin (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x) d x$

خطوة 4.3.1.1.2

ارفع $\sin (x)$ إلى القوة $1$ .

$\int \sin^{1} (x) \sin^{1} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x) d x$

خطوة 4.3.1.1.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int {\sin (x)}^{1 + 1} + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x) d x$

خطوة 4.3.1.1.4

أضف $1$ و $1$ .

$\int \sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x) d x$

خطوة 4.3.1.2

اضرب $\cos (x) \cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1.2.1

ارفع $\cos (x)$ إلى القوة $1$ .

$\int \sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos^{1} (x) \cos (x) d x$

خطوة 4.3.1.2.2

ارفع $\cos (x)$ إلى القوة $1$ .

$\int \sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x) d x$

خطوة 4.3.1.2.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int \sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + {\cos (x)}^{1 + 1} d x$

خطوة 4.3.1.2.4

أضف $1$ و $1$ .

$\int \sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) d x$

خطوة 4.3.2

أعِد ترتيب عوامل $\sin (x) \cos (x)$ .

$\int \sin^{2} (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) d x$

خطوة 4.3.3

أضف $\cos (x) \sin (x)$ و $\cos (x) \sin (x)$ .

$\int \sin^{2} (x) + 2 \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) d x$

خطوة 4.4

انقُل $\cos^{2} (x)$ .

$\int \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) \sin (x) d x$

خطوة 4.5

طبّق متطابقة فيثاغورس.

$\int 1 + 2 \cos (x) \sin (x) d x$

خطوة 4.6

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.6.1

أعِد ترتيب $2 \cos (x)$ و $\sin (x)$ .

$\int 1 + \sin (x) (2 \cos (x)) d x$

خطوة 4.6.2

أعِد ترتيب $\sin (x)$ و $2$ .

$\int 1 + 2 \cdot \sin (x) \cos (x) d x$

خطوة 4.6.3

طبّق متطابقة ضعف الزاوية للجيب.

$\int 1 + \sin (2 x) d x$

خطوة 5

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int d x + \int \sin (2 x) d x$

خطوة 6

طبّق قاعدة الثابت.

$x + C + \int \sin (2 x) d x$

خطوة 7

لنفترض أن $u = 2 x$ . إذن $d u = 2 d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

افترض أن $u = 2 x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1

أوجِد مشتقة $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 7.1.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 7.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

خطوة 7.1.4

اضرب $2$ في $1$ .

$2$

خطوة 7.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$x + C + \int \sin (u) \frac{1}{2} d u$

خطوة 8

اجمع $\sin (u)$ و $\frac{1}{2}$ .

$x + C + \int \frac{\sin (u)}{2} d u$

خطوة 9

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$x + C + \frac{1}{2} \int \sin (u) d u$

خطوة 10

تكامل $\sin (u)$ بالنسبة إلى $u$ هو $- \cos (u)$ .

$x + C + \frac{1}{2} (- \cos (u) + C)$

خطوة 11

بسّط.

$x - \frac{\cos (u)}{2} + C$

خطوة 12

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 x$ .

$x - \frac{\cos (2 x)}{2} + C$

خطوة 13

أعِد ترتيب الحدود.

$x - \frac{1}{2} \cos (2 x) + C$

خطوة 14

الإجابة هي المشتق العكسي للدالة $f (x) = {(\sin (x) + \cos (x))}^{2}$ .

$F (x) =$ $x - \frac{1}{2} \cos (2 x) + C$