حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$- 4 \sin (x) - e^{- x} + 4 x^{3}$

خطوة 1

اكتب $- 4 \sin (x) - e^{- x} + 4 x^{3}$ في صورة دالة.

$f (x) = - 4 \sin (x) - e^{- x} + 4 x^{3}$

خطوة 2

يمكن إيجاد الدالة $F (x)$ بإيجاد التكامل غير المحدد للمشتق $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

خطوة 3

عيّن التكامل لإيجاد الحل.

$F (x) = \int - 4 \sin (x) - e^{- x} + 4 x^{3} d x$

خطوة 4

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int - 4 \sin (x) d x + \int - e^{- x} d x + \int 4 x^{3} d x$

خطوة 5

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 4$ خارج التكامل.

$- 4 \int \sin (x) d x + \int - e^{- x} d x + \int 4 x^{3} d x$

خطوة 6

تكامل $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $- \cos (x)$ .

$- 4 (- \cos (x) + C) + \int - e^{- x} d x + \int 4 x^{3} d x$

خطوة 7

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- 4 (- \cos (x) + C) - \int e^{- x} d x + \int 4 x^{3} d x$

خطوة 8

لنفترض أن $u = - x$ . إذن $d u = - d x$ ، لذا $- d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

افترض أن $u = - x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.1

أوجِد مشتقة $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

خطوة 8.1.2

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 8.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

خطوة 8.1.4

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- 1$

خطوة 8.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$- 4 (- \cos (x) + C) - \int - e^{u} d u + \int 4 x^{3} d x$

خطوة 9

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- 4 (- \cos (x) + C) - - \int e^{u} d u + \int 4 x^{3} d x$

خطوة 10

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$- 4 (- \cos (x) + C) + 1 \int e^{u} d u + \int 4 x^{3} d x$

خطوة 10.2

اضرب $\int e^{u} d u$ في $1$ .

$- 4 (- \cos (x) + C) + \int e^{u} d u + \int 4 x^{3} d x$

خطوة 11

تكامل $e^{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $e^{u}$ .

$- 4 (- \cos (x) + C) + e^{u} + C + \int 4 x^{3} d x$

خطوة 12

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $4$ خارج التكامل.

$- 4 (- \cos (x) + C) + e^{u} + C + 4 \int x^{3} d x$

خطوة 13

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$- 4 (- \cos (x) + C) + e^{u} + C + 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C)$

خطوة 14

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

اجمع $\frac{1}{4}$ و $x^{4}$ .

$- 4 (- \cos (x) + C) + e^{u} + C + 4 (\frac{x^{4}}{4} + C)$

خطوة 14.2

بسّط.

$4 \cos (x) + e^{u} + 4 \frac{x^{4}}{4} + C$

خطوة 14.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.3.1

اجمع $4$ و $\frac{x^{4}}{4}$ .

$4 \cos (x) + e^{u} + \frac{4 x^{4}}{4} + C$

خطوة 14.3.2

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.3.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$4 \cos (x) + e^{u} + \frac{4 x^{4}}{4} + C$

خطوة 14.3.2.2

اقسِم $x^{4}$ على $1$ .

$4 \cos (x) + e^{u} + x^{4} + C$

خطوة 15

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $- x$ .

$4 \cos (x) + e^{- x} + x^{4} + C$

خطوة 16

الإجابة هي المشتق العكسي للدالة $f (x) = - 4 \sin (x) - e^{- x} + 4 x^{3}$ .

$F (x) =$ $4 \cos (x) + e^{- x} + x^{4} + C$