حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{1}{{(16 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 1

اكتب $\frac{1}{{(16 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ في صورة دالة.

$f (x) = \frac{1}{{(16 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 2

يمكن إيجاد الدالة $F (x)$ بإيجاد التكامل غير المحدد للمشتق $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

خطوة 3

عيّن التكامل لإيجاد الحل.

$F (x) = \int \frac{1}{{(16 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d x$

خطوة 4

طبّق القاعدة $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ لإعادة كتابة الأُس في صورة جذر.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(16 - x^{2})}^{3}}} d x$

خطوة 5

لنفترض أن $x = 4 \sin (t)$ ، حيث $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . إذن $d x = 4 \cos (t) d t$ . لاحظ أنه نظرًا إلى أن $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ ، إذن تُعد $4 \cos (t)$ موجبة.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(16 - {(4 \sin (t))}^{2})}^{3}}} (4 \cos (t)) d t$

خطوة 6

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

بسّط $\sqrt{{(16 - {(4 \sin (t))}^{2})}^{3}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $4 \sin (t)$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(16 - (4^{2} \sin^{2} (t)))}^{3}}} (4 \cos (t)) d t$

خطوة 6.1.1.2

ارفع $4$ إلى القوة $2$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(16 - (16 \sin^{2} (t)))}^{3}}} (4 \cos (t)) d t$

خطوة 6.1.1.3

اضرب $16$ في $- 1$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(16 - 16 \sin^{2} (t))}^{3}}} (4 \cos (t)) d t$

خطوة 6.1.2

أخرِج العامل $16$ من $16$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(16 (1) - 16 \sin^{2} (t))}^{3}}} (4 \cos (t)) d t$

خطوة 6.1.3

أخرِج العامل $16$ من $- 16 \sin^{2} (t)$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(16 (1) + 16 (- \sin^{2} (t)))}^{3}}} (4 \cos (t)) d t$

خطوة 6.1.4

أخرِج العامل $16$ من $16 (1) + 16 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(16 (1 - \sin^{2} (t)))}^{3}}} (4 \cos (t)) d t$

خطوة 6.1.5

طبّق متطابقة فيثاغورس.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(16 \cos^{2} (t))}^{3}}} (4 \cos (t)) d t$

خطوة 6.1.6

طبّق قاعدة الضرب على $16 \cos^{2} (t)$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{16^{3} {(\cos^{2} (t))}^{3}}} (4 \cos (t)) d t$

خطوة 6.1.7

ارفع $16$ إلى القوة $3$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{4096 {(\cos^{2} (t))}^{3}}} (4 \cos (t)) d t$

خطوة 6.1.8

اضرب الأُسس في ${(\cos^{2} (t))}^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.8.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{4096 {\cos (t)}^{2 \cdot 3}}} (4 \cos (t)) d t$

خطوة 6.1.8.2

اضرب $2$ في $3$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{4096 \cos^{6} (t)}} (4 \cos (t)) d t$

خطوة 6.1.9

أعِد كتابة $4096 \cos^{6} (t)$ بالصيغة ${(64 \cos^{3} (t))}^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(64 \cos^{3} (t))}^{2}}} (4 \cos (t)) d t$

خطوة 6.1.10

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$\int \frac{1}{64 \cos^{3} (t)} (4 \cos (t)) d t$

خطوة 6.2

ألغِ العامل المشترك لـ $4 \cos (t)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

أخرِج العامل $4 \cos (t)$ من $64 \cos^{3} (t)$ .

$\int \frac{1}{4 \cos (t) (16 \cos^{2} (t))} (4 \cos (t)) d t$

خطوة 6.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\int \frac{1}{4 \cos (t) (16 \cos^{2} (t))} (4 \cos (t)) d t$

خطوة 6.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\int \frac{1}{16 \cos^{2} (t)} d t$

خطوة 7

بما أن $\frac{1}{16}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، انقُل $\frac{1}{16}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{16} \int \frac{1}{\cos^{2} (t)} d t$

خطوة 8

حوّل من $\frac{1}{\cos^{2} (t)}$ إلى $\sec^{2} (t)$ .

$\frac{1}{16} \int \sec^{2} (t) d t$

خطوة 9

بما أن مشتق $\tan (t)$ هو $\sec^{2} (t)$ ، إذن تكامل $\sec^{2} (t)$ هو $\tan (t)$ .

$\frac{1}{16} (\tan (t) + C)$

خطوة 10

بسّط.

$\frac{1}{16} \tan (t) + C$

خطوة 11

استبدِل كافة حالات حدوث $t$ بـ $\arcsin (\frac{x}{4})$ .

$\frac{1}{16} \tan (\arcsin (\frac{x}{4})) + C$

خطوة 12

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{1}{16} \tan (\arcsin (\frac{1}{4} x)) + C$

خطوة 13

الإجابة هي المشتق العكسي للدالة $f (x) = \frac{1}{{(16 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{16} \tan (\arcsin (\frac{1}{4} x)) + C$