حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\sin (x) \tan^{2} (x)$

خطوة 1

اكتب $\sin (x) \tan^{2} (x)$ في صورة دالة.

$f (x) = \sin (x) \tan^{2} (x)$

خطوة 2

يمكن إيجاد الدالة $F (x)$ بإيجاد التكامل غير المحدد للمشتق $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

خطوة 3

عيّن التكامل لإيجاد الحل.

$F (x) = \int \sin (x) \tan^{2} (x) d x$

خطوة 4

باستخدام متطابقة فيثاغورس، أعِد كتابة $\tan^{2} (x)$ بحيث تصبح $- 1 + \sec^{2} (x)$ .

$\int \sin (x) (- 1 + \sec^{2} (x)) d x$

خطوة 5

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\int \sin (x) \cdot - 1 + \sin (x) \sec^{2} (x) d x$

خطوة 5.2

بسّط كل حد.

$\int - \sin (x) + \sin (x) \sec^{2} (x) d x$

خطوة 6

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int - \sin (x) d x + \int \sin (x) \sec^{2} (x) d x$

خطوة 7

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- \int \sin (x) d x + \int \sin (x) \sec^{2} (x) d x$

خطوة 8

تكامل $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $- \cos (x)$ .

$- (- \cos (x) + C) + \int \sin (x) \sec^{2} (x) d x$

خطوة 9

بسّط $\sin (x) \sec^{2} (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

أعِد كتابة $\sec (x)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$- (- \cos (x) + C) + \int \sin (x) {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} d x$

خطوة 9.2

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$- (- \cos (x) + C) + \int \sin (x) \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} d x$

خطوة 9.3

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$- (- \cos (x) + C) + \int \sin (x) \frac{1}{\cos^{2} (x)} d x$

خطوة 9.4

اجمع $\sin (x)$ و $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ .

$- (- \cos (x) + C) + \int \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} d x$

خطوة 9.5

أخرِج العامل $\cos (x)$ من $\cos^{2} (x)$ .

$- (- \cos (x) + C) + \int \frac{\sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} d x$

خطوة 9.6

افصِل الكسور.

$- (- \cos (x) + C) + \int \frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} d x$

خطوة 9.7

حوّل من $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ إلى $\tan (x)$ .

$- (- \cos (x) + C) + \int \frac{1}{\cos (x)} \tan (x) d x$

خطوة 9.8

حوّل من $\frac{1}{\cos (x)}$ إلى $\sec (x)$ .

$- (- \cos (x) + C) + \int \sec (x) \tan (x) d x$

خطوة 10

بما أن مشتق $\sec (x)$ هو $\sec (x) \tan (x)$ ، إذن تكامل $\sec (x) \tan (x)$ هو $\sec (x)$ .

$- (- \cos (x) + C) + \sec (x) + C$

خطوة 11

بسّط.

$\cos (x) + \sec (x) + C$

خطوة 12

الإجابة هي المشتق العكسي للدالة $f (x) = \sin (x) \tan^{2} (x)$ .

$F (x) =$ $\cos (x) + \sec (x) + C$