حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\sin^{2} (\frac{π}{4} x)$

خطوة 1

اكتب $\sin^{2} (\frac{π}{4} x)$ في صورة دالة.

$f (x) = \sin^{2} (\frac{π}{4} x)$

خطوة 2

يمكن إيجاد الدالة $F (x)$ بإيجاد التكامل غير المحدد للمشتق $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

خطوة 3

عيّن التكامل لإيجاد الحل.

$F (x) = \int \sin^{2} (\frac{π}{4} x) d x$

خطوة 4

لنفترض أن $u_{1} = \frac{π}{4} x$ . إذن $d u_{1} = \frac{π}{4} d x$ ، لذا $\frac{4}{π} d u_{1} = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{1}$ و $d$ $u_{1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

افترض أن $u_{1} = \frac{π}{4} x$ . أوجِد $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

أوجِد مشتقة $\frac{π}{4} x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{π}{4} x]$

خطوة 4.1.2

بما أن $\frac{π}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{π}{4} x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{π}{4} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{π}{4} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 4.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{π}{4} \cdot 1$

خطوة 4.1.4

اضرب $\frac{π}{4}$ في $1$ .

$\frac{π}{4}$

خطوة 4.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{1}$ و $d u_{1}$ .

$\int \sin^{2} (u_{1}) \frac{1}{\frac{π}{4}} d u_{1}$

خطوة 5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اضرب في مقلوب الكسر للقسمة على $\frac{π}{4}$ .

$\int \sin^{2} (u_{1}) (1 \frac{4}{π}) d u_{1}$

خطوة 5.2

اضرب $\frac{4}{π}$ في $1$ .

$\int \sin^{2} (u_{1}) \frac{4}{π} d u_{1}$

خطوة 5.3

اجمع $\sin^{2} (u_{1})$ و $\frac{4}{π}$ .

$\int \frac{\sin^{2} (u_{1}) \cdot 4}{π} d u_{1}$

خطوة 5.4

انقُل $4$ إلى يسار $\sin^{2} (u_{1})$ .

$\int \frac{4 \sin^{2} (u_{1})}{π} d u_{1}$

خطوة 6

بما أن $\frac{4}{π}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، انقُل $\frac{4}{π}$ خارج التكامل.

$\frac{4}{π} \int \sin^{2} (u_{1}) d u_{1}$

خطوة 7

استخدِم قاعدة نصف الزاوية لإعادة كتابة $\sin^{2} (u_{1})$ بحيث تصبح $\frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2}$ .

$\frac{4}{π} \int \frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1}$

خطوة 8

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{4}{π} (\frac{1}{2} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

خطوة 9

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{4}{π}$ .

$\frac{4}{2 π} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

خطوة 9.2

احذِف العامل المشترك لـ $4$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 π} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

خطوة 9.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2 π$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 (π)} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

خطوة 9.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \cdot 2}{2 π} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

خطوة 9.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{2}{π} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

خطوة 10

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\frac{2}{π} (\int d u_{1} + \int - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

خطوة 11

طبّق قاعدة الثابت.

$\frac{2}{π} (u_{1} + C + \int - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

خطوة 12

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\frac{2}{π} (u_{1} + C - \int \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

خطوة 13

لنفترض أن $u_{2} = 2 u_{1}$ . إذن $d u_{2} = 2 d u_{1}$ ، لذا $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

افترض أن $u_{2} = 2 u_{1}$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1.1

أوجِد مشتقة $2 u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

خطوة 13.1.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، إذن مشتق $2 u_{1}$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

خطوة 13.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

خطوة 13.1.4

اضرب $2$ في $1$ .

$2$

خطوة 13.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$\frac{2}{π} (u_{1} + C - \int \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})$

خطوة 14

اجمع $\cos (u_{2})$ و $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{π} (u_{1} + C - \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

خطوة 15

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{2}$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{2}{π} (u_{1} + C - (\frac{1}{2} \int \cos (u_{2}) d u_{2}))$

خطوة 16

تكامل $\cos (u_{2})$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $\sin (u_{2})$ .

$\frac{2}{π} (u_{1} + C - \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C))$

خطوة 17

بسّط.

$\frac{2}{π} (u_{1} - \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

خطوة 18

عوّض مجددًا بقيمة كل متغير في التكامل بالتعويض.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 18.1

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $\frac{π}{4} x$ .

$\frac{2}{π} (\frac{π}{4} x - \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

خطوة 18.2

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $2 u_{1}$ .

$\frac{2}{π} (\frac{π}{4} x - \frac{1}{2} \sin (2 u_{1})) + C$

خطوة 18.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $\frac{π}{4} x$ .

$\frac{2}{π} (\frac{π}{4} x - \frac{1}{2} \sin (2 (\frac{π}{4} x))) + C$

خطوة 19

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 19.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 19.1.1

اجمع $\frac{π}{4}$ و $x$ .

$\frac{2}{π} (\frac{π x}{4} - \frac{1}{2} \sin (2 (\frac{π}{4} x))) + C$

خطوة 19.1.2

اجمع $\frac{π}{4}$ و $x$ .

$\frac{2}{π} (\frac{π x}{4} - \frac{1}{2} \sin (2 \frac{π x}{4})) + C$

خطوة 19.1.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 19.1.3.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$\frac{2}{π} (\frac{π x}{4} - \frac{1}{2} \sin (2 \frac{π x}{2 (2)})) + C$

خطوة 19.1.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2}{π} (\frac{π x}{4} - \frac{1}{2} \sin (2 \frac{π x}{2 \cdot 2})) + C$

خطوة 19.1.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{2}{π} (\frac{π x}{4} - \frac{1}{2} \sin (\frac{π x}{2})) + C$

خطوة 19.1.4

اجمع $\sin (\frac{π x}{2})$ و $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{π} (\frac{π x}{4} - \frac{\sin (\frac{π x}{2})}{2}) + C$

خطوة 19.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2}{π} \cdot \frac{π x}{4} + \frac{2}{π} (- \frac{\sin (\frac{π x}{2})}{2}) + C$

خطوة 19.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 19.3.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$\frac{2}{π} \cdot \frac{π x}{2 (2)} + \frac{2}{π} (- \frac{\sin (\frac{π x}{2})}{2}) + C$

خطوة 19.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2}{π} \cdot \frac{π x}{2 \cdot 2} + \frac{2}{π} (- \frac{\sin (\frac{π x}{2})}{2}) + C$

خطوة 19.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{π} \cdot \frac{π x}{2} + \frac{2}{π} (- \frac{\sin (\frac{π x}{2})}{2}) + C$

خطوة 19.4

ألغِ العامل المشترك لـ $π$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 19.4.1

أخرِج العامل $π$ من $π x$ .

$\frac{1}{π} \cdot \frac{π (x)}{2} + \frac{2}{π} (- \frac{\sin (\frac{π x}{2})}{2}) + C$

خطوة 19.4.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{π} \cdot \frac{π x}{2} + \frac{2}{π} (- \frac{\sin (\frac{π x}{2})}{2}) + C$

خطوة 19.4.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{x}{2} + \frac{2}{π} (- \frac{\sin (\frac{π x}{2})}{2}) + C$

خطوة 19.5

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 19.5.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{\sin (\frac{π x}{2})}{2}$ إلى بسط الكسر.

$\frac{x}{2} + \frac{2}{π} \cdot \frac{- \sin (\frac{π x}{2})}{2} + C$

خطوة 19.5.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x}{2} + \frac{2}{π} \cdot \frac{- \sin (\frac{π x}{2})}{2} + C$

خطوة 19.5.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{x}{2} + \frac{1}{π} (- \sin (\frac{π x}{2})) + C$

خطوة 19.6

اجمع $\frac{1}{π}$ و $\sin (\frac{π x}{2})$ .

$\frac{x}{2} - \frac{\sin (\frac{π x}{2})}{π} + C$

خطوة 20

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{1}{2} x - \frac{1}{π} \sin (\frac{π}{2} x) + C$

خطوة 21

الإجابة هي المشتق العكسي للدالة $f (x) = \sin^{2} (\frac{π}{4} x)$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} x - \frac{1}{π} \sin (\frac{π}{2} x) + C$