حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x \sqrt{x} + \frac{1}{x \sqrt{x}}$

خطوة 1

اكتب $x \sqrt{x} + \frac{1}{x \sqrt{x}}$ في صورة دالة.

$f (x) = x \sqrt{x} + \frac{1}{x \sqrt{x}}$

خطوة 2

يمكن إيجاد الدالة $F (x)$ بإيجاد التكامل غير المحدد للمشتق $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

خطوة 3

عيّن التكامل لإيجاد الحل.

$F (x) = \int x \sqrt{x} + \frac{1}{x \sqrt{x}} d x$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x}$ في صورة $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int x \cdot x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x \sqrt{x}} d x$

خطوة 4.2

اضرب $x$ في $x^{\frac{1}{2}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

اضرب $x$ في $x^{\frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\int x^{1} x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x \sqrt{x}} d x$

خطوة 4.2.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int x^{1 + \frac{1}{2}} + \frac{1}{x \sqrt{x}} d x$

خطوة 4.2.2

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$\int x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} + \frac{1}{x \sqrt{x}} d x$

خطوة 4.2.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\int x^{\frac{2 + 1}{2}} + \frac{1}{x \sqrt{x}} d x$

خطوة 4.2.4

أضف $2$ و $1$ .

$\int x^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{x \sqrt{x}} d x$

خطوة 4.3

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x}$ في صورة $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int x^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{x \cdot x^{\frac{1}{2}}} d x$

خطوة 4.4

اضرب $x$ في $x^{\frac{1}{2}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.1

اضرب $x$ في $x^{\frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.1.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\int x^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{x^{1} x^{\frac{1}{2}}} d x$

خطوة 4.4.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int x^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{x^{1 + \frac{1}{2}}} d x$

خطوة 4.4.2

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$\int x^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}} d x$

خطوة 4.4.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\int x^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{x^{\frac{2 + 1}{2}}} d x$

خطوة 4.4.4

أضف $2$ و $1$ .

$\int x^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} d x$

خطوة 5

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int x^{\frac{3}{2}} d x + \int \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} d x$

خطوة 6

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{\frac{3}{2}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C + \int \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} d x$

خطوة 7

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

انقُل $x^{\frac{3}{2}}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C + \int {(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1} d x$

خطوة 7.2

اضرب الأُسس في ${(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C + \int x^{\frac{3}{2} \cdot - 1} d x$

خطوة 7.2.2

اضرب $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1

اجمع $\frac{3}{2}$ و $- 1$ .

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C + \int x^{\frac{3 \cdot - 1}{2}} d x$

خطوة 7.2.2.2

اضرب $3$ في $- 1$ .

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C + \int x^{\frac{- 3}{2}} d x$

خطوة 7.2.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C + \int x^{- \frac{3}{2}} d x$

خطوة 8

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{- \frac{3}{2}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $- 2 x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C - 2 x^{- \frac{1}{2}} + C$

خطوة 9

بسّط.

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} - 2 x^{- \frac{1}{2}} + C$

خطوة 10

الإجابة هي المشتق العكسي للدالة $f (x) = x \sqrt{x} + \frac{1}{x \sqrt{x}}$ .

$F (x) =$ $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} - 2 x^{- \frac{1}{2}} + C$