حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = 2 - \frac{1}{2} x$ , $y = 0$ , $x = 0$ , $x = 1$

خطوة 1

لإيجاد حجم المجسّم، حدد أولاً مساحة كل شريحة ثم أوجِد التكامل عبر المدى. مساحة كل شريحة هي مساحة دائرة نصف قطرها $f (x)$ و $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{0}^{1} {(f (x))}^{2} d x$ حيث $f (x) = - \frac{x}{2} + 2$

خطوة 2

بسّط الدالة التكاملية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أعِد كتابة ${(- \frac{x}{2} + 2)}^{2}$ بالصيغة $(- \frac{x}{2} + 2) (- \frac{x}{2} + 2)$ .

$V = (- \frac{x}{2} + 2) (- \frac{x}{2} + 2)$

خطوة 2.2

وسّع $(- \frac{x}{2} + 2) (- \frac{x}{2} + 2)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$V = - \frac{x}{2} \cdot (- \frac{x}{2} + 2) + 2 (- \frac{x}{2} + 2)$

خطوة 2.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$V = - \frac{x}{2} \cdot (- \frac{x}{2}) - \frac{x}{2} \cdot 2 + 2 (- \frac{x}{2} + 2)$

خطوة 2.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$V = - \frac{x}{2} \cdot (- \frac{x}{2}) - \frac{x}{2} \cdot 2 + 2 (- \frac{x}{2}) + 2 \cdot 2$

خطوة 2.3

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

اضرب $- \frac{x}{2} (- \frac{x}{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$V = 1 (\frac{x}{2}) \cdot \frac{x}{2} - \frac{x}{2} \cdot 2 + 2 (- \frac{x}{2}) + 2 \cdot 2$

خطوة 2.3.1.1.2

اضرب $\frac{x}{2}$ في $1$ .

$V = \frac{x}{2} \cdot \frac{x}{2} - \frac{x}{2} \cdot 2 + 2 (- \frac{x}{2}) + 2 \cdot 2$

خطوة 2.3.1.1.3

اضرب $\frac{x}{2}$ في $\frac{x}{2}$ .

$V = \frac{x \cdot x}{2 \cdot 2} - \frac{x}{2} \cdot 2 + 2 (- \frac{x}{2}) + 2 \cdot 2$

خطوة 2.3.1.1.4

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$V = \frac{x \cdot x}{2 \cdot 2} - \frac{x}{2} \cdot 2 + 2 (- \frac{x}{2}) + 2 \cdot 2$

خطوة 2.3.1.1.5

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$V = \frac{x \cdot x}{2 \cdot 2} - \frac{x}{2} \cdot 2 + 2 (- \frac{x}{2}) + 2 \cdot 2$

خطوة 2.3.1.1.6

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$V = \frac{x^{1 + 1}}{2 \cdot 2} - \frac{x}{2} \cdot 2 + 2 (- \frac{x}{2}) + 2 \cdot 2$

خطوة 2.3.1.1.7

أضف $1$ و $1$ .

$V = \frac{x^{2}}{2 \cdot 2} - \frac{x}{2} \cdot 2 + 2 (- \frac{x}{2}) + 2 \cdot 2$

خطوة 2.3.1.1.8

اضرب $2$ في $2$ .

$V = \frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{2} \cdot 2 + 2 (- \frac{x}{2}) + 2 \cdot 2$

خطوة 2.3.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.2.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{x}{2}$ إلى بسط الكسر.

$V = \frac{x^{2}}{4} + \frac{- x}{2} \cdot 2 + 2 (- \frac{x}{2}) + 2 \cdot 2$

خطوة 2.3.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$V = \frac{x^{2}}{4} + \frac{- x}{2} \cdot 2 + 2 (- \frac{x}{2}) + 2 \cdot 2$

خطوة 2.3.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$V = \frac{x^{2}}{4} - x + 2 (- \frac{x}{2}) + 2 \cdot 2$

خطوة 2.3.1.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.3.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{x}{2}$ إلى بسط الكسر.

$V = \frac{x^{2}}{4} - x + 2 (\frac{- x}{2}) + 2 \cdot 2$

خطوة 2.3.1.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$V = \frac{x^{2}}{4} - x + 2 (\frac{- x}{2}) + 2 \cdot 2$

خطوة 2.3.1.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$V = \frac{x^{2}}{4} - x - x + 2 \cdot 2$

خطوة 2.3.1.4

اضرب $2$ في $2$ .

$V = \frac{x^{2}}{4} - x - x + 4$

خطوة 2.3.2

اطرح $x$ من $- x$ .

$V = \frac{x^{2}}{4} - 2 x + 4$

خطوة 3

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$V = π (\int_{0}^{1} \frac{x^{2}}{4} d x + \int_{0}^{1} - 2 x d x + \int_{0}^{1} 4 d x)$

خطوة 4

بما أن $\frac{1}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{1}{4}$ خارج التكامل.

$V = π (\frac{1}{4} \cdot \int_{0}^{1} x^{2} d x + \int_{0}^{1} - 2 x d x + \int_{0}^{1} 4 d x)$

خطوة 5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$V = π (\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - 2 x d x + \int_{0}^{1} 4 d x)$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اجمع $\frac{1}{3}$ و $x^{3}$ .

$V = π (\frac{1}{4} \cdot \frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - 2 x d x + \int_{0}^{1} 4 d x)$

خطوة 6.2

اجمع $\frac{1}{4}$ و $\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}$ .

$V = π (\frac{\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}}{4} + \int_{0}^{1} - 2 x d x + \int_{0}^{1} 4 d x)$

خطوة 7

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 2$ خارج التكامل.

$V = π (\frac{\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}}{4} - 2 \int_{0}^{1} x d x + \int_{0}^{1} 4 d x)$

خطوة 8

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$V = π (\frac{\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}}{4} - 2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} 4 d x)$

خطوة 9

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$V = π (\frac{\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}}{4} - 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} 4 d x)$

خطوة 10

طبّق قاعدة الثابت.

$V = π (\frac{\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}}{4} - 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) + 4 x]_{0}^{1})$

خطوة 11

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

احسِب قيمة $\frac{x^{3}}{3}$ في $1$ وفي $0$ .

$V = π (\frac{(\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}}{4} - 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) + 4 x]_{0}^{1})$

خطوة 11.2

احسِب قيمة $\frac{x^{2}}{2}$ في $1$ وفي $0$ .

$V = π (\frac{(\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}}{4} - 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 4 x]_{0}^{1})$

خطوة 11.3

احسِب قيمة $4 x$ في $1$ وفي $0$ .

$V = π (\frac{(\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}}{4} - 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 4 \cdot 1 - 4 \cdot 0)$

خطوة 11.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.4.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$V = π (\frac{\frac{1}{3} - \frac{0^{3}}{3}}{4} - 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 4 \cdot 1 - 4 \cdot 0)$

خطوة 11.4.2

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$V = π (\frac{\frac{1}{3} - \frac{0}{3}}{4} - 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 4 \cdot 1 - 4 \cdot 0)$

خطوة 11.4.3

احذِف العامل المشترك لـ $0$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.4.3.1

أخرِج العامل $3$ من $0$ .

$V = π (\frac{\frac{1}{3} - \frac{3 (0)}{3}}{4} - 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 4 \cdot 1 - 4 \cdot 0)$

خطوة 11.4.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.4.3.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$V = π (\frac{\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}}{4} - 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 4 \cdot 1 - 4 \cdot 0)$

خطوة 11.4.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$V = π (\frac{\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}}{4} - 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 4 \cdot 1 - 4 \cdot 0)$

خطوة 11.4.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$V = π (\frac{\frac{1}{3} - \frac{0}{1}}{4} - 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 4 \cdot 1 - 4 \cdot 0)$

خطوة 11.4.3.2.4

اقسِم $0$ على $1$ .

$V = π (\frac{\frac{1}{3} - 0}{4} - 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 4 \cdot 1 - 4 \cdot 0)$

خطوة 11.4.4

اضرب $- 1$ في $0$ .

$V = π (\frac{\frac{1}{3} + 0}{4} - 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 4 \cdot 1 - 4 \cdot 0)$

خطوة 11.4.5

أضف $\frac{1}{3}$ و $0$ .

$V = π (\frac{\frac{1}{3}}{4} - 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 4 \cdot 1 - 4 \cdot 0)$

خطوة 11.4.6

أعِد كتابة $\frac{\frac{1}{3}}{4}$ في صورة حاصل ضرب.

$V = π (\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} - 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 4 \cdot 1 - 4 \cdot 0)$

خطوة 11.4.7

اضرب $\frac{1}{3}$ في $\frac{1}{4}$ .

$V = π (\frac{1}{3 \cdot 4} - 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 4 \cdot 1 - 4 \cdot 0)$

خطوة 11.4.8

اضرب $3$ في $4$ .

$V = π (\frac{1}{12} - 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 4 \cdot 1 - 4 \cdot 0)$

خطوة 11.4.9

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$V = π (\frac{1}{12} - 2 (\frac{1}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 4 \cdot 1 - 4 \cdot 0)$

خطوة 11.4.10

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$V = π (\frac{1}{12} - 2 (\frac{1}{2} - \frac{0}{2}) + 4 \cdot 1 - 4 \cdot 0)$

خطوة 11.4.11

احذِف العامل المشترك لـ $0$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.4.11.1

أخرِج العامل $2$ من $0$ .

$V = π (\frac{1}{12} - 2 (\frac{1}{2} - \frac{2 (0)}{2}) + 4 \cdot 1 - 4 \cdot 0)$

خطوة 11.4.11.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.4.11.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$V = π (\frac{1}{12} - 2 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + 4 \cdot 1 - 4 \cdot 0)$

خطوة 11.4.11.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$V = π (\frac{1}{12} - 2 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + 4 \cdot 1 - 4 \cdot 0)$

خطوة 11.4.11.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$V = π (\frac{1}{12} - 2 (\frac{1}{2} - \frac{0}{1}) + 4 \cdot 1 - 4 \cdot 0)$

خطوة 11.4.11.2.4

اقسِم $0$ على $1$ .

$V = π (\frac{1}{12} - 2 (\frac{1}{2} - 0) + 4 \cdot 1 - 4 \cdot 0)$

خطوة 11.4.12

اضرب $- 1$ في $0$ .

$V = π (\frac{1}{12} - 2 (\frac{1}{2} + 0) + 4 \cdot 1 - 4 \cdot 0)$

خطوة 11.4.13

أضف $\frac{1}{2}$ و $0$ .

$V = π (\frac{1}{12} - 2 (\frac{1}{2}) + 4 \cdot 1 - 4 \cdot 0)$

خطوة 11.4.14

اجمع $- 2$ و $\frac{1}{2}$ .

$V = π (\frac{1}{12} + \frac{- 2}{2} + 4 \cdot 1 - 4 \cdot 0)$

خطوة 11.4.15

احذِف العامل المشترك لـ $- 2$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.4.15.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2$ .

$V = π (\frac{1}{12} + \frac{2 \cdot - 1}{2} + 4 \cdot 1 - 4 \cdot 0)$

خطوة 11.4.15.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.4.15.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$V = π (\frac{1}{12} + \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} + 4 \cdot 1 - 4 \cdot 0)$

خطوة 11.4.15.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$V = π (\frac{1}{12} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} + 4 \cdot 1 - 4 \cdot 0)$

خطوة 11.4.15.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$V = π (\frac{1}{12} + \frac{- 1}{1} + 4 \cdot 1 - 4 \cdot 0)$

خطوة 11.4.15.2.4

اقسِم $- 1$ على $1$ .

$V = π (\frac{1}{12} - 1 + 4 \cdot 1 - 4 \cdot 0)$

خطوة 11.4.16

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{12}{12}$ .

$V = π (\frac{1}{12} - 1 \cdot \frac{12}{12} + 4 \cdot 1 - 4 \cdot 0)$

خطوة 11.4.17

اجمع $- 1$ و $\frac{12}{12}$ .

$V = π (\frac{1}{12} + \frac{- 1 \cdot 12}{12} + 4 \cdot 1 - 4 \cdot 0)$

خطوة 11.4.18

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$V = π (\frac{1 - 1 \cdot 12}{12} + 4 \cdot 1 - 4 \cdot 0)$

خطوة 11.4.19

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.4.19.1

اضرب $- 1$ في $12$ .

$V = π (\frac{1 - 12}{12} + 4 \cdot 1 - 4 \cdot 0)$

خطوة 11.4.19.2

اطرح $12$ من $1$ .

$V = π (\frac{- 11}{12} + 4 \cdot 1 - 4 \cdot 0)$

خطوة 11.4.20

انقُل السالب أمام الكسر.

$V = π (- \frac{11}{12} + 4 \cdot 1 - 4 \cdot 0)$

خطوة 11.4.21

اضرب $4$ في $1$ .

$V = π (- \frac{11}{12} + 4 - 4 \cdot 0)$

خطوة 11.4.22

اضرب $- 4$ في $0$ .

$V = π (- \frac{11}{12} + 4 + 0)$

خطوة 11.4.23

أضف $4$ و $0$ .

$V = π (- \frac{11}{12} + 4)$

خطوة 11.4.24

لكتابة $4$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{12}{12}$ .

$V = π (- \frac{11}{12} + 4 \cdot \frac{12}{12})$

خطوة 11.4.25

اجمع $4$ و $\frac{12}{12}$ .

$V = π (- \frac{11}{12} + \frac{4 \cdot 12}{12})$

خطوة 11.4.26

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$V = π (\frac{- 11 + 4 \cdot 12}{12})$

خطوة 11.4.27

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.4.27.1

اضرب $4$ في $12$ .

$V = π (\frac{- 11 + 48}{12})$

خطوة 11.4.27.2

أضف $- 11$ و $48$ .

$V = π (\frac{37}{12})$

خطوة 11.4.28

اجمع $π$ و $\frac{37}{12}$ .

$V = \frac{π \cdot 37}{12}$

خطوة 11.4.29

انقُل $37$ إلى يسار $π$ .

$V = \frac{37 π}{12}$

خطوة 12

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$V = \frac{37 π}{12}$

الصيغة العشرية:

$V = 9.68657734 \dots$

خطوة 13