حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \frac{1}{4} x^{2}$ , $x = 2$ , $y = 0$

خطوة 1

لإيجاد حجم المجسّم، حدد أولاً مساحة كل شريحة ثم أوجِد التكامل عبر المدى. مساحة كل شريحة هي مساحة دائرة نصف قطرها $f (x)$ و $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{0}^{2} {(f (x))}^{2} d x$ حيث $f (x) = \frac{x^{2}}{4}$

خطوة 2

بسّط الدالة التكاملية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{x^{2}}{4}$ .

$V = \frac{{(x^{2})}^{2}}{4^{2}}$

خطوة 2.2

اضرب الأُسس في ${(x^{2})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V = \frac{x^{2 \cdot 2}}{4^{2}}$

خطوة 2.2.2

اضرب $2$ في $2$ .

$V = \frac{x^{4}}{4^{2}}$

خطوة 2.3

ارفع $4$ إلى القوة $2$ .

$V = \frac{x^{4}}{16}$

خطوة 3

بما أن $\frac{1}{16}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{1}{16}$ خارج التكامل.

$V = π (\frac{1}{16} \cdot \int_{0}^{2} x^{4} d x)$

خطوة 4

اجمع $\frac{1}{16}$ و $π$ .

$V = \frac{π}{16} \cdot \int_{0}^{2} x^{4} d x$

خطوة 5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{4}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$V = \frac{π}{16} \cdot \frac{1}{5} x^{5}]_{0}^{2}$

خطوة 6

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

احسِب قيمة $\frac{1}{5} x^{5}$ في $2$ وفي $0$ .

$V = \frac{π}{16} \cdot ((\frac{1}{5} \cdot 2^{5}) - \frac{1}{5} \cdot 0^{5})$

خطوة 6.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

ارفع $2$ إلى القوة $5$ .

$V = \frac{π}{16} \cdot (\frac{1}{5} \cdot 32 - \frac{1}{5} \cdot 0^{5})$

خطوة 6.2.2

اجمع $\frac{1}{5}$ و $32$ .

$V = \frac{π}{16} \cdot (\frac{32}{5} - \frac{1}{5} \cdot 0^{5})$

خطوة 6.2.3

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$V = \frac{π}{16} \cdot (\frac{32}{5} - \frac{1}{5} \cdot 0)$

خطوة 6.2.4

اضرب $0$ في $- 1$ .

$V = \frac{π}{16} \cdot (\frac{32}{5} + 0 (\frac{1}{5}))$

خطوة 6.2.5

اضرب $0$ في $\frac{1}{5}$ .

$V = \frac{π}{16} \cdot (\frac{32}{5} + 0)$

خطوة 6.2.6

أضف $\frac{32}{5}$ و $0$ .

$V = \frac{π}{16} \cdot \frac{32}{5}$

خطوة 6.2.7

اضرب $\frac{π}{16}$ في $\frac{32}{5}$ .

$V = \frac{π \cdot 32}{16 \cdot 5}$

خطوة 6.2.8

اضرب $16$ في $5$ .

$V = \frac{π \cdot 32}{80}$

خطوة 6.2.9

انقُل $32$ إلى يسار $π$ .

$V = \frac{32 \cdot π}{80}$

خطوة 6.2.10

احذِف العامل المشترك لـ $32$ و $80$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.10.1

أخرِج العامل $16$ من $32 π$ .

$V = \frac{16 (2 π)}{80}$

خطوة 6.2.10.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.10.2.1

أخرِج العامل $16$ من $80$ .

$V = \frac{16 (2 π)}{16 (5)}$

خطوة 6.2.10.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$V = \frac{16 (2 π)}{16 \cdot 5}$

خطوة 6.2.10.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$V = \frac{2 π}{5}$

خطوة 7

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$V = \frac{2 π}{5}$

الصيغة العشرية:

$V = 1.25663706 \dots$

خطوة 8