حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = x + 1$ , $y = 0$ , $x = 0$ , $x = 7$

خطوة 1

لإيجاد حجم المجسّم، حدد أولاً مساحة كل شريحة ثم أوجِد التكامل عبر المدى. مساحة كل شريحة هي مساحة دائرة نصف قطرها $f (x)$ و $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{0}^{7} {(f (x))}^{2} d x$ حيث $f (x) = x + 1$

خطوة 2

بسّط الدالة التكاملية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أعِد كتابة ${(x + 1)}^{2}$ بالصيغة $(x + 1) (x + 1)$ .

$V = (x + 1) (x + 1)$

خطوة 2.2

وسّع $(x + 1) (x + 1)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$V = x (x + 1) + 1 (x + 1)$

خطوة 2.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$V = x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1)$

خطوة 2.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$V = x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1$

خطوة 2.3

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

اضرب $x$ في $x$ .

$V = x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1$

خطوة 2.3.1.2

اضرب $x$ في $1$ .

$V = x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1$

خطوة 2.3.1.3

اضرب $x$ في $1$ .

$V = x^{2} + x + x + 1 \cdot 1$

خطوة 2.3.1.4

اضرب $1$ في $1$ .

$V = x^{2} + x + x + 1$

خطوة 2.3.2

أضف $x$ و $x$ .

$V = x^{2} + 2 x + 1$

خطوة 3

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$V = π (\int_{0}^{7} x^{2} d x + \int_{0}^{7} 2 x d x + \int_{0}^{7} d x)$

خطوة 4

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$V = π (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{7} + \int_{0}^{7} 2 x d x + \int_{0}^{7} d x)$

خطوة 5

اجمع $\frac{1}{3}$ و $x^{3}$ .

$V = π (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{7} + \int_{0}^{7} 2 x d x + \int_{0}^{7} d x)$

خطوة 6

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$V = π (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{7} + 2 \int_{0}^{7} x d x + \int_{0}^{7} d x)$

خطوة 7

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$V = π (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{7} + 2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{7}) + \int_{0}^{7} d x)$

خطوة 8

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$V = π (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{7} + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{7}) + \int_{0}^{7} d x)$

خطوة 9

طبّق قاعدة الثابت.

$V = π (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{7} + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{7}) + x]_{0}^{7})$

خطوة 10

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

اجمع $\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{7}$ و $x]_{0}^{7}$ .

$V = π (2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{7}) + \frac{x^{3}}{3} + x]_{0}^{7})$

خطوة 10.2

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.1

احسِب قيمة $\frac{x^{2}}{2}$ في $7$ وفي $0$ .

$V = π (2 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + \frac{x^{3}}{3} + x]_{0}^{7})$

خطوة 10.2.2

احسِب قيمة $\frac{x^{3}}{3} + x$ في $7$ وفي $0$ .

$V = π (2 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + \frac{7^{3}}{3} + 7 - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

خطوة 10.2.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.3.1

ارفع $7$ إلى القوة $2$ .

$V = π (2 (\frac{49}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + \frac{7^{3}}{3} + 7 - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

خطوة 10.2.3.2

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$V = π (2 (\frac{49}{2} - \frac{0}{2}) + \frac{7^{3}}{3} + 7 - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

خطوة 10.2.3.3

احذِف العامل المشترك لـ $0$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.3.3.1

أخرِج العامل $2$ من $0$ .

$V = π (2 (\frac{49}{2} - \frac{2 (0)}{2}) + \frac{7^{3}}{3} + 7 - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

خطوة 10.2.3.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.3.3.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$V = π (2 (\frac{49}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + \frac{7^{3}}{3} + 7 - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

خطوة 10.2.3.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$V = π (2 (\frac{49}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + \frac{7^{3}}{3} + 7 - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

خطوة 10.2.3.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$V = π (2 (\frac{49}{2} - \frac{0}{1}) + \frac{7^{3}}{3} + 7 - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

خطوة 10.2.3.3.2.4

اقسِم $0$ على $1$ .

$V = π (2 (\frac{49}{2} - 0) + \frac{7^{3}}{3} + 7 - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

خطوة 10.2.3.4

اضرب $- 1$ في $0$ .

$V = π (2 (\frac{49}{2} + 0) + \frac{7^{3}}{3} + 7 - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

خطوة 10.2.3.5

أضف $\frac{49}{2}$ و $0$ .

$V = π (2 (\frac{49}{2}) + \frac{7^{3}}{3} + 7 - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

خطوة 10.2.3.6

اجمع $2$ و $\frac{49}{2}$ .

$V = π (\frac{2 \cdot 49}{2} + \frac{7^{3}}{3} + 7 - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

خطوة 10.2.3.7

اضرب $2$ في $49$ .

$V = π (\frac{98}{2} + \frac{7^{3}}{3} + 7 - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

خطوة 10.2.3.8

احذِف العامل المشترك لـ $98$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.3.8.1

أخرِج العامل $2$ من $98$ .

$V = π (\frac{2 \cdot 49}{2} + \frac{7^{3}}{3} + 7 - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

خطوة 10.2.3.8.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.3.8.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$V = π (\frac{2 \cdot 49}{2 (1)} + \frac{7^{3}}{3} + 7 - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

خطوة 10.2.3.8.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$V = π (\frac{2 \cdot 49}{2 \cdot 1} + \frac{7^{3}}{3} + 7 - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

خطوة 10.2.3.8.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$V = π (\frac{49}{1} + \frac{7^{3}}{3} + 7 - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

خطوة 10.2.3.8.2.4

اقسِم $49$ على $1$ .

$V = π (49 + \frac{7^{3}}{3} + 7 - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

خطوة 10.2.3.9

ارفع $7$ إلى القوة $3$ .

$V = π (49 + \frac{343}{3} + 7 - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

خطوة 10.2.3.10

لكتابة $7$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$V = π (49 + \frac{343}{3} + 7 \cdot \frac{3}{3} - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

خطوة 10.2.3.11

اجمع $7$ و $\frac{3}{3}$ .

$V = π (49 + \frac{343}{3} + \frac{7 \cdot 3}{3} - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

خطوة 10.2.3.12

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$V = π (49 + \frac{343 + 7 \cdot 3}{3} - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

خطوة 10.2.3.13

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.3.13.1

اضرب $7$ في $3$ .

$V = π (49 + \frac{343 + 21}{3} - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

خطوة 10.2.3.13.2

أضف $343$ و $21$ .

$V = π (49 + \frac{364}{3} - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

خطوة 10.2.3.14

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$V = π (49 + \frac{364}{3} - (\frac{0}{3} + 0))$

خطوة 10.2.3.15

احذِف العامل المشترك لـ $0$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.3.15.1

أخرِج العامل $3$ من $0$ .

$V = π (49 + \frac{364}{3} - (\frac{3 (0)}{3} + 0))$

خطوة 10.2.3.15.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.3.15.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$V = π (49 + \frac{364}{3} - (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} + 0))$

خطوة 10.2.3.15.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$V = π (49 + \frac{364}{3} - (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} + 0))$

خطوة 10.2.3.15.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$V = π (49 + \frac{364}{3} - (\frac{0}{1} + 0))$

خطوة 10.2.3.15.2.4

اقسِم $0$ على $1$ .

$V = π (49 + \frac{364}{3} - (0 + 0))$

خطوة 10.2.3.16

أضف $0$ و $0$ .

$V = π (49 + \frac{364}{3} - 0)$

خطوة 10.2.3.17

اضرب $- 1$ في $0$ .

$V = π (49 + \frac{364}{3} + 0)$

خطوة 10.2.3.18

أضف $\frac{364}{3}$ و $0$ .

$V = π (49 + \frac{364}{3})$

خطوة 10.2.3.19

لكتابة $49$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$V = π (49 \cdot \frac{3}{3} + \frac{364}{3})$

خطوة 10.2.3.20

اجمع $49$ و $\frac{3}{3}$ .

$V = π (\frac{49 \cdot 3}{3} + \frac{364}{3})$

خطوة 10.2.3.21

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$V = π (\frac{49 \cdot 3 + 364}{3})$

خطوة 10.2.3.22

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.3.22.1

اضرب $49$ في $3$ .

$V = π (\frac{147 + 364}{3})$

خطوة 10.2.3.22.2

أضف $147$ و $364$ .

$V = π (\frac{511}{3})$

خطوة 10.2.3.23

اجمع $π$ و $\frac{511}{3}$ .

$V = \frac{π \cdot 511}{3}$

خطوة 10.2.3.24

انقُل $511$ إلى يسار $π$ .

$V = \frac{511 π}{3}$

خطوة 11

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$V = \frac{511 π}{3}$

الصيغة العشرية:

$V = 535.11794866 \dots$

خطوة 12