حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = 4 - \frac{1}{2} x$ , $y = 0$ , $x = 1$ , $x = 2$

خطوة 1

لإيجاد حجم المجسّم، حدد أولاً مساحة كل شريحة ثم أوجِد التكامل عبر المدى. مساحة كل شريحة هي مساحة دائرة نصف قطرها $f (x)$ و $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{1}^{2} {(f (x))}^{2} d x$ حيث $f (x) = - \frac{x}{2} + 4$

خطوة 2

بسّط الدالة التكاملية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أعِد كتابة ${(- \frac{x}{2} + 4)}^{2}$ بالصيغة $(- \frac{x}{2} + 4) (- \frac{x}{2} + 4)$ .

$V = (- \frac{x}{2} + 4) (- \frac{x}{2} + 4)$

خطوة 2.2

وسّع $(- \frac{x}{2} + 4) (- \frac{x}{2} + 4)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$V = - \frac{x}{2} \cdot (- \frac{x}{2} + 4) + 4 (- \frac{x}{2} + 4)$

خطوة 2.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$V = - \frac{x}{2} \cdot (- \frac{x}{2}) - \frac{x}{2} \cdot 4 + 4 (- \frac{x}{2} + 4)$

خطوة 2.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$V = - \frac{x}{2} \cdot (- \frac{x}{2}) - \frac{x}{2} \cdot 4 + 4 (- \frac{x}{2}) + 4 \cdot 4$

خطوة 2.3

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

اضرب $- \frac{x}{2} (- \frac{x}{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$V = 1 (\frac{x}{2}) \cdot \frac{x}{2} - \frac{x}{2} \cdot 4 + 4 (- \frac{x}{2}) + 4 \cdot 4$

خطوة 2.3.1.1.2

اضرب $\frac{x}{2}$ في $1$ .

$V = \frac{x}{2} \cdot \frac{x}{2} - \frac{x}{2} \cdot 4 + 4 (- \frac{x}{2}) + 4 \cdot 4$

خطوة 2.3.1.1.3

اضرب $\frac{x}{2}$ في $\frac{x}{2}$ .

$V = \frac{x \cdot x}{2 \cdot 2} - \frac{x}{2} \cdot 4 + 4 (- \frac{x}{2}) + 4 \cdot 4$

خطوة 2.3.1.1.4

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$V = \frac{x \cdot x}{2 \cdot 2} - \frac{x}{2} \cdot 4 + 4 (- \frac{x}{2}) + 4 \cdot 4$

خطوة 2.3.1.1.5

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$V = \frac{x \cdot x}{2 \cdot 2} - \frac{x}{2} \cdot 4 + 4 (- \frac{x}{2}) + 4 \cdot 4$

خطوة 2.3.1.1.6

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$V = \frac{x^{1 + 1}}{2 \cdot 2} - \frac{x}{2} \cdot 4 + 4 (- \frac{x}{2}) + 4 \cdot 4$

خطوة 2.3.1.1.7

أضف $1$ و $1$ .

$V = \frac{x^{2}}{2 \cdot 2} - \frac{x}{2} \cdot 4 + 4 (- \frac{x}{2}) + 4 \cdot 4$

خطوة 2.3.1.1.8

اضرب $2$ في $2$ .

$V = \frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{2} \cdot 4 + 4 (- \frac{x}{2}) + 4 \cdot 4$

خطوة 2.3.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.2.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{x}{2}$ إلى بسط الكسر.

$V = \frac{x^{2}}{4} + \frac{- x}{2} \cdot 4 + 4 (- \frac{x}{2}) + 4 \cdot 4$

خطوة 2.3.1.2.2

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$V = \frac{x^{2}}{4} + \frac{- x}{2} \cdot (2 (2)) + 4 (- \frac{x}{2}) + 4 \cdot 4$

خطوة 2.3.1.2.3

ألغِ العامل المشترك.

$V = \frac{x^{2}}{4} + \frac{- x}{2} \cdot (2 \cdot 2) + 4 (- \frac{x}{2}) + 4 \cdot 4$

خطوة 2.3.1.2.4

أعِد كتابة العبارة.

$V = \frac{x^{2}}{4} - x \cdot 2 + 4 (- \frac{x}{2}) + 4 \cdot 4$

خطوة 2.3.1.3

اضرب $2$ في $- 1$ .

$V = \frac{x^{2}}{4} - 2 x + 4 (- \frac{x}{2}) + 4 \cdot 4$

خطوة 2.3.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.4.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{x}{2}$ إلى بسط الكسر.

$V = \frac{x^{2}}{4} - 2 x + 4 (\frac{- x}{2}) + 4 \cdot 4$

خطوة 2.3.1.4.2

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$V = \frac{x^{2}}{4} - 2 x + 2 (2) (\frac{- x}{2}) + 4 \cdot 4$

خطوة 2.3.1.4.3

ألغِ العامل المشترك.

$V = \frac{x^{2}}{4} - 2 x + 2 \cdot (2 (\frac{- x}{2})) + 4 \cdot 4$

خطوة 2.3.1.4.4

أعِد كتابة العبارة.

$V = \frac{x^{2}}{4} - 2 x + 2 (- x) + 4 \cdot 4$

خطوة 2.3.1.5

اضرب $- 1$ في $2$ .

$V = \frac{x^{2}}{4} - 2 x - 2 x + 4 \cdot 4$

خطوة 2.3.1.6

اضرب $4$ في $4$ .

$V = \frac{x^{2}}{4} - 2 x - 2 x + 16$

خطوة 2.3.2

اطرح $2 x$ من $- 2 x$ .

$V = \frac{x^{2}}{4} - 4 x + 16$

خطوة 3

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$V = π (\int_{1}^{2} \frac{x^{2}}{4} d x + \int_{1}^{2} - 4 x d x + \int_{1}^{2} 16 d x)$

خطوة 4

بما أن $\frac{1}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{1}{4}$ خارج التكامل.

$V = π (\frac{1}{4} \cdot \int_{1}^{2} x^{2} d x + \int_{1}^{2} - 4 x d x + \int_{1}^{2} 16 d x)$

خطوة 5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$V = π (\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{2} + \int_{1}^{2} - 4 x d x + \int_{1}^{2} 16 d x)$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اجمع $\frac{1}{3}$ و $x^{3}$ .

$V = π (\frac{1}{4} \cdot \frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2} + \int_{1}^{2} - 4 x d x + \int_{1}^{2} 16 d x)$

خطوة 6.2

اجمع $\frac{1}{4}$ و $\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}$ .

$V = π (\frac{\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}}{4} + \int_{1}^{2} - 4 x d x + \int_{1}^{2} 16 d x)$

خطوة 7

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 4$ خارج التكامل.

$V = π (\frac{\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}}{4} - 4 \int_{1}^{2} x d x + \int_{1}^{2} 16 d x)$

خطوة 8

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$V = π (\frac{\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}}{4} - 4 (\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} 16 d x)$

خطوة 9

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$V = π (\frac{\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}}{4} - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} 16 d x)$

خطوة 10

طبّق قاعدة الثابت.

$V = π (\frac{\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}}{4} - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{2}) + 16 x]_{1}^{2})$

خطوة 11

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

احسِب قيمة $\frac{x^{3}}{3}$ في $2$ وفي $1$ .

$V = π (\frac{(\frac{2^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}}{4} - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{2}) + 16 x]_{1}^{2})$

خطوة 11.2

احسِب قيمة $\frac{x^{2}}{2}$ في $2$ وفي $1$ .

$V = π (\frac{(\frac{2^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}}{4} - 4 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}) + 16 x]_{1}^{2})$

خطوة 11.3

احسِب قيمة $16 x$ في $2$ وفي $1$ .

$V = π (\frac{(\frac{2^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}}{4} - 4 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}) + 16 \cdot 2 - 16 \cdot 1)$

خطوة 11.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.4.1

ارفع $2$ إلى القوة $3$ .

$V = π (\frac{\frac{8}{3} - \frac{1^{3}}{3}}{4} - 4 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}) + 16 \cdot 2 - 16 \cdot 1)$

خطوة 11.4.2

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$V = π (\frac{\frac{8}{3} - \frac{1}{3}}{4} - 4 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}) + 16 \cdot 2 - 16 \cdot 1)$

خطوة 11.4.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$V = π (\frac{\frac{8 - 1}{3}}{4} - 4 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}) + 16 \cdot 2 - 16 \cdot 1)$

خطوة 11.4.4

اطرح $1$ من $8$ .

$V = π (\frac{\frac{7}{3}}{4} - 4 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}) + 16 \cdot 2 - 16 \cdot 1)$

خطوة 11.4.5

أعِد كتابة $\frac{\frac{7}{3}}{4}$ في صورة حاصل ضرب.

$V = π (\frac{7}{3} \cdot \frac{1}{4} - 4 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}) + 16 \cdot 2 - 16 \cdot 1)$

خطوة 11.4.6

اضرب $\frac{7}{3}$ في $\frac{1}{4}$ .

$V = π (\frac{7}{3 \cdot 4} - 4 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}) + 16 \cdot 2 - 16 \cdot 1)$

خطوة 11.4.7

اضرب $3$ في $4$ .

$V = π (\frac{7}{12} - 4 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}) + 16 \cdot 2 - 16 \cdot 1)$

خطوة 11.4.8

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$V = π (\frac{7}{12} - 4 (\frac{4}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 16 \cdot 2 - 16 \cdot 1)$

خطوة 11.4.9

احذِف العامل المشترك لـ $4$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.4.9.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$V = π (\frac{7}{12} - 4 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 16 \cdot 2 - 16 \cdot 1)$

خطوة 11.4.9.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.4.9.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$V = π (\frac{7}{12} - 4 (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{1^{2}}{2}) + 16 \cdot 2 - 16 \cdot 1)$

خطوة 11.4.9.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$V = π (\frac{7}{12} - 4 (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{1^{2}}{2}) + 16 \cdot 2 - 16 \cdot 1)$

خطوة 11.4.9.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$V = π (\frac{7}{12} - 4 (\frac{2}{1} - \frac{1^{2}}{2}) + 16 \cdot 2 - 16 \cdot 1)$

خطوة 11.4.9.2.4

اقسِم $2$ على $1$ .

$V = π (\frac{7}{12} - 4 (2 - \frac{1^{2}}{2}) + 16 \cdot 2 - 16 \cdot 1)$

خطوة 11.4.10

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$V = π (\frac{7}{12} - 4 (2 - \frac{1}{2}) + 16 \cdot 2 - 16 \cdot 1)$

خطوة 11.4.11

لكتابة $2$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$V = π (\frac{7}{12} - 4 (2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}) + 16 \cdot 2 - 16 \cdot 1)$

خطوة 11.4.12

اجمع $2$ و $\frac{2}{2}$ .

$V = π (\frac{7}{12} - 4 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}) + 16 \cdot 2 - 16 \cdot 1)$

خطوة 11.4.13

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$V = π (\frac{7}{12} - 4 \frac{2 \cdot 2 - 1}{2} + 16 \cdot 2 - 16 \cdot 1)$

خطوة 11.4.14

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.4.14.1

اضرب $2$ في $2$ .

$V = π (\frac{7}{12} - 4 \frac{4 - 1}{2} + 16 \cdot 2 - 16 \cdot 1)$

خطوة 11.4.14.2

اطرح $1$ من $4$ .

$V = π (\frac{7}{12} - 4 (\frac{3}{2}) + 16 \cdot 2 - 16 \cdot 1)$

خطوة 11.4.15

اجمع $- 4$ و $\frac{3}{2}$ .

$V = π (\frac{7}{12} + \frac{- 4 \cdot 3}{2} + 16 \cdot 2 - 16 \cdot 1)$

خطوة 11.4.16

اضرب $- 4$ في $3$ .

$V = π (\frac{7}{12} + \frac{- 12}{2} + 16 \cdot 2 - 16 \cdot 1)$

خطوة 11.4.17

احذِف العامل المشترك لـ $- 12$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.4.17.1

أخرِج العامل $2$ من $- 12$ .

$V = π (\frac{7}{12} + \frac{2 \cdot - 6}{2} + 16 \cdot 2 - 16 \cdot 1)$

خطوة 11.4.17.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.4.17.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$V = π (\frac{7}{12} + \frac{2 \cdot - 6}{2 (1)} + 16 \cdot 2 - 16 \cdot 1)$

خطوة 11.4.17.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$V = π (\frac{7}{12} + \frac{2 \cdot - 6}{2 \cdot 1} + 16 \cdot 2 - 16 \cdot 1)$

خطوة 11.4.17.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$V = π (\frac{7}{12} + \frac{- 6}{1} + 16 \cdot 2 - 16 \cdot 1)$

خطوة 11.4.17.2.4

اقسِم $- 6$ على $1$ .

$V = π (\frac{7}{12} - 6 + 16 \cdot 2 - 16 \cdot 1)$

خطوة 11.4.18

لكتابة $- 6$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{12}{12}$ .

$V = π (\frac{7}{12} - 6 \cdot \frac{12}{12} + 16 \cdot 2 - 16 \cdot 1)$

خطوة 11.4.19

اجمع $- 6$ و $\frac{12}{12}$ .

$V = π (\frac{7}{12} + \frac{- 6 \cdot 12}{12} + 16 \cdot 2 - 16 \cdot 1)$

خطوة 11.4.20

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$V = π (\frac{7 - 6 \cdot 12}{12} + 16 \cdot 2 - 16 \cdot 1)$

خطوة 11.4.21

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.4.21.1

اضرب $- 6$ في $12$ .

$V = π (\frac{7 - 72}{12} + 16 \cdot 2 - 16 \cdot 1)$

خطوة 11.4.21.2

اطرح $72$ من $7$ .

$V = π (\frac{- 65}{12} + 16 \cdot 2 - 16 \cdot 1)$

خطوة 11.4.22

انقُل السالب أمام الكسر.

$V = π (- \frac{65}{12} + 16 \cdot 2 - 16 \cdot 1)$

خطوة 11.4.23

اضرب $16$ في $2$ .

$V = π (- \frac{65}{12} + 32 - 16 \cdot 1)$

خطوة 11.4.24

اضرب $- 16$ في $1$ .

$V = π (- \frac{65}{12} + 32 - 16)$

خطوة 11.4.25

اطرح $16$ من $32$ .

$V = π (- \frac{65}{12} + 16)$

خطوة 11.4.26

لكتابة $16$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{12}{12}$ .

$V = π (- \frac{65}{12} + 16 \cdot \frac{12}{12})$

خطوة 11.4.27

اجمع $16$ و $\frac{12}{12}$ .

$V = π (- \frac{65}{12} + \frac{16 \cdot 12}{12})$

خطوة 11.4.28

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$V = π (\frac{- 65 + 16 \cdot 12}{12})$

خطوة 11.4.29

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.4.29.1

اضرب $16$ في $12$ .

$V = π (\frac{- 65 + 192}{12})$

خطوة 11.4.29.2

أضف $- 65$ و $192$ .

$V = π (\frac{127}{12})$

خطوة 11.4.30

اجمع $π$ و $\frac{127}{12}$ .

$V = \frac{π \cdot 127}{12}$

خطوة 11.4.31

انقُل $127$ إلى يسار $π$ .

$V = \frac{127 π}{12}$

خطوة 12

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$V = \frac{127 π}{12}$

الصيغة العشرية:

$V = 33.24852225 \dots$

خطوة 13