حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = 1 + \sqrt{3 + 6 x}$

خطوة 1

اكتب $f (x) = 1 + \sqrt{3 + 6 x}$ في صورة معادلة.

$y = 1 + \sqrt{3 + 6 x}$

خطوة 2

بادِل المتغيرات.

$x = 1 + \sqrt{3 + 6 y}$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $1 + \sqrt{3 + 6 y} = x$ .

$1 + \sqrt{3 + 6 y} = x$

خطوة 3.2

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$\sqrt{3 + 6 y} = x - 1$

خطوة 3.3

لحذف الجذر في المتعادل الأيسر، ربّع كلا المتعادلين.

${\sqrt{3 + 6 y}}^{2} = {(x - 1)}^{2}$

خطوة 3.4

بسّط كل متعادل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{3 + 6 y}$ في صورة ${(3 + 6 y)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(3 + 6 y)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 1)}^{2}$

خطوة 3.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1

بسّط ${({(3 + 6 y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1.1

اضرب الأُسس في ${({(3 + 6 y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(3 + 6 y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 1)}^{2}$

خطوة 3.4.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

${(3 + 6 y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 1)}^{2}$

خطوة 3.4.2.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

${(3 + 6 y)}^{1} = {(x - 1)}^{2}$

خطوة 3.4.2.1.2

بسّط.

$3 + 6 y = {(x - 1)}^{2}$

خطوة 3.4.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.3.1

بسّط ${(x - 1)}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.3.1.1

أعِد كتابة ${(x - 1)}^{2}$ بالصيغة $(x - 1) (x - 1)$ .

$3 + 6 y = (x - 1) (x - 1)$

خطوة 3.4.3.1.2

وسّع $(x - 1) (x - 1)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.3.1.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$3 + 6 y = x (x - 1) - 1 (x - 1)$

خطوة 3.4.3.1.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$3 + 6 y = x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)$

خطوة 3.4.3.1.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$3 + 6 y = x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1$

خطوة 3.4.3.1.3

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.3.1.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.3.1.3.1.1

اضرب $x$ في $x$ .

$3 + 6 y = x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1$

خطوة 3.4.3.1.3.1.2

انقُل $- 1$ إلى يسار $x$ .

$3 + 6 y = x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1$

خطوة 3.4.3.1.3.1.3

أعِد كتابة $- 1 x$ بالصيغة $- x$ .

$3 + 6 y = x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1$

خطوة 3.4.3.1.3.1.4

أعِد كتابة $- 1 x$ بالصيغة $- x$ .

$3 + 6 y = x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1$

خطوة 3.4.3.1.3.1.5

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$3 + 6 y = x^{2} - x - x + 1$

خطوة 3.4.3.1.3.2

اطرح $x$ من $- x$ .

$3 + 6 y = x^{2} - 2 x + 1$

خطوة 3.5

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1.1

اطرح $3$ من كلا المتعادلين.

$6 y = x^{2} - 2 x + 1 - 3$

خطوة 3.5.1.2

اطرح $3$ من $1$ .

$6 y = x^{2} - 2 x - 2$

خطوة 3.5.2

اقسِم كل حد في $6 y = x^{2} - 2 x - 2$ على $6$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1

اقسِم كل حد في $6 y = x^{2} - 2 x - 2$ على $6$ .

$\frac{6 y}{6} = \frac{x^{2}}{6} + \frac{- 2 x}{6} + \frac{- 2}{6}$

خطوة 3.5.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{6 y}{6} = \frac{x^{2}}{6} + \frac{- 2 x}{6} + \frac{- 2}{6}$

خطوة 3.5.2.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{6} + \frac{- 2 x}{6} + \frac{- 2}{6}$

خطوة 3.5.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.3.1.1

احذِف العامل المشترك لـ $- 2$ و $6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.3.1.1.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2 x$ .

$y = \frac{x^{2}}{6} + \frac{2 (- x)}{6} + \frac{- 2}{6}$

خطوة 3.5.2.3.1.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.3.1.1.2.1

أخرِج العامل $2$ من $6$ .

$y = \frac{x^{2}}{6} + \frac{2 (- x)}{2 (3)} + \frac{- 2}{6}$

خطوة 3.5.2.3.1.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y = \frac{x^{2}}{6} + \frac{2 (- x)}{2 \cdot 3} + \frac{- 2}{6}$

خطوة 3.5.2.3.1.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y = \frac{x^{2}}{6} + \frac{- x}{3} + \frac{- 2}{6}$

خطوة 3.5.2.3.1.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$y = \frac{x^{2}}{6} - \frac{x}{3} + \frac{- 2}{6}$

خطوة 3.5.2.3.1.3

احذِف العامل المشترك لـ $- 2$ و $6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.3.1.3.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2$ .

$y = \frac{x^{2}}{6} - \frac{x}{3} + \frac{2 (- 1)}{6}$

خطوة 3.5.2.3.1.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.3.1.3.2.1

أخرِج العامل $2$ من $6$ .

$y = \frac{x^{2}}{6} - \frac{x}{3} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 3}$

خطوة 3.5.2.3.1.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y = \frac{x^{2}}{6} - \frac{x}{3} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 3}$

خطوة 3.5.2.3.1.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y = \frac{x^{2}}{6} - \frac{x}{3} + \frac{- 1}{3}$

خطوة 3.5.2.3.1.4

انقُل السالب أمام الكسر.

$y = \frac{x^{2}}{6} - \frac{x}{3} - \frac{1}{3}$

خطوة 4

استبدِل $y$ بـ $f^{- 1} (x)$ لعرض الإجابة النهائية.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{6} - \frac{x}{3} - \frac{1}{3}$

خطوة 5

تحقق مما إذا كانت $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{6} - \frac{x}{3} - \frac{1}{3}$ هي معكوس $f (x) = 1 + \sqrt{3 + 6 x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

للتحقق من صحة المعكوس، تحقق مما إذا كانتا $f^{- 1} (f (x)) = x$ و $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

خطوة 5.2

احسِب قيمة $f^{- 1} (f (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

عيّن دالة النتيجة المركّبة.

$f^{- 1} (f (x))$

خطوة 5.2.2

احسِب قيمة $f^{- 1} (1 + \sqrt{3 + 6 x})$ باستبدال قيمة $f$ في $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{3 + 6 x}) = \frac{{(1 + \sqrt{3 + 6 x})}^{2}}{6} - \frac{1 + \sqrt{3 + 6 x}}{3} - \frac{1}{3}$

خطوة 5.2.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{3 + 6 x}) = \frac{{(1 + \sqrt{3 + 6 x})}^{2}}{6} + \frac{- (1 + \sqrt{3 + 6 x}) - 1}{3}$

خطوة 5.2.4

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.4.1

أخرِج العامل $3$ من $3 + 6 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.4.1.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{3 + 6 x}) = \frac{{(1 + \sqrt{3 + 6 x})}^{2}}{6} + \frac{- (1 + \sqrt{3 (1) + 6 x}) - 1}{3}$

خطوة 5.2.4.1.2

أخرِج العامل $3$ من $6 x$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{3 + 6 x}) = \frac{{(1 + \sqrt{3 + 6 x})}^{2}}{6} + \frac{- (1 + \sqrt{3 (1) + 3 (2 x)}) - 1}{3}$

خطوة 5.2.4.1.3

أخرِج العامل $3$ من $3 (1) + 3 (2 x)$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{3 + 6 x}) = \frac{{(1 + \sqrt{3 + 6 x})}^{2}}{6} + \frac{- (1 + \sqrt{3 (1 + 2 x)}) - 1}{3}$

خطوة 5.2.4.2

طبّق خاصية التوزيع.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{3 + 6 x}) = \frac{{(1 + \sqrt{3 + 6 x})}^{2}}{6} + \frac{- 1 \cdot 1 - \sqrt{3 (1 + 2 x)} - 1}{3}$

خطوة 5.2.4.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{3 + 6 x}) = \frac{{(1 + \sqrt{3 + 6 x})}^{2}}{6} + \frac{- 1 - \sqrt{3 (1 + 2 x)} - 1}{3}$

خطوة 5.2.5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.5.1

اطرح $1$ من $- 1$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{3 + 6 x}) = \frac{{(1 + \sqrt{3 + 6 x})}^{2}}{6} + \frac{- 2 - \sqrt{3 (1 + 2 x)}}{3}$

خطوة 5.2.5.2

أعِد ترتيب $1$ و $2 x$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{3 + 6 x}) = \frac{{(1 + \sqrt{3 + 6 x})}^{2}}{6} + \frac{- 2 - \sqrt{3 (2 x + 1)}}{3}$

خطوة 5.2.6

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.6.1

أخرِج العامل $3$ من $3 + 6 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.6.1.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{3 + 6 x}) = \frac{{(1 + \sqrt{3 (1) + 6 x})}^{2}}{6} + \frac{- 2 - \sqrt{3 (2 x + 1)}}{3}$

خطوة 5.2.6.1.2

أخرِج العامل $3$ من $6 x$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{3 + 6 x}) = \frac{{(1 + \sqrt{3 (1) + 3 (2 x)})}^{2}}{6} + \frac{- 2 - \sqrt{3 (2 x + 1)}}{3}$

خطوة 5.2.6.1.3

أخرِج العامل $3$ من $3 (1) + 3 (2 x)$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{3 + 6 x}) = \frac{{(1 + \sqrt{3 (1 + 2 x)})}^{2}}{6} + \frac{- 2 - \sqrt{3 (2 x + 1)}}{3}$

خطوة 5.2.6.2

أعِد كتابة ${(1 + \sqrt{3 (1 + 2 x)})}^{2}$ بالصيغة $(1 + \sqrt{3 (1 + 2 x)}) (1 + \sqrt{3 (1 + 2 x)})$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{3 + 6 x}) = \frac{(1 + \sqrt{3 (1 + 2 x)}) (1 + \sqrt{3 (1 + 2 x)})}{6} + \frac{- 2 - \sqrt{3 (2 x + 1)}}{3}$

خطوة 5.2.6.3

وسّع $(1 + \sqrt{3 (1 + 2 x)}) (1 + \sqrt{3 (1 + 2 x)})$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.6.3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{3 + 6 x}) = \frac{1 (1 + \sqrt{3 (1 + 2 x)}) + \sqrt{3 (1 + 2 x)} (1 + \sqrt{3 (1 + 2 x)})}{6} + \frac{- 2 - \sqrt{3 (2 x + 1)}}{3}$

خطوة 5.2.6.3.2

طبّق خاصية التوزيع.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{3 + 6 x}) = \frac{1 \cdot 1 + 1 \sqrt{3 (1 + 2 x)} + \sqrt{3 (1 + 2 x)} (1 + \sqrt{3 (1 + 2 x)})}{6} + \frac{- 2 - \sqrt{3 (2 x + 1)}}{3}$

خطوة 5.2.6.3.3

طبّق خاصية التوزيع.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{3 + 6 x}) = \frac{1 \cdot 1 + 1 \sqrt{3 (1 + 2 x)} + \sqrt{3 (1 + 2 x)} \cdot 1 + \sqrt{3 (1 + 2 x)} \sqrt{3 (1 + 2 x)}}{6} + \frac{- 2 - \sqrt{3 (2 x + 1)}}{3}$

خطوة 5.2.6.4

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.6.4.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.6.4.1.1

اضرب $1$ في $1$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{3 + 6 x}) = \frac{1 + 1 \sqrt{3 (1 + 2 x)} + \sqrt{3 (1 + 2 x)} \cdot 1 + \sqrt{3 (1 + 2 x)} \sqrt{3 (1 + 2 x)}}{6} + \frac{- 2 - \sqrt{3 (2 x + 1)}}{3}$

خطوة 5.2.6.4.1.2

اضرب $\sqrt{3 (1 + 2 x)}$ في $1$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{3 + 6 x}) = \frac{1 + \sqrt{3 (1 + 2 x)} + \sqrt{3 (1 + 2 x)} \cdot 1 + \sqrt{3 (1 + 2 x)} \sqrt{3 (1 + 2 x)}}{6} + \frac{- 2 - \sqrt{3 (2 x + 1)}}{3}$

خطوة 5.2.6.4.1.3

اضرب $\sqrt{3 (1 + 2 x)}$ في $1$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{3 + 6 x}) = \frac{1 + \sqrt{3 (1 + 2 x)} + \sqrt{3 (1 + 2 x)} + \sqrt{3 (1 + 2 x)} \sqrt{3 (1 + 2 x)}}{6} + \frac{- 2 - \sqrt{3 (2 x + 1)}}{3}$

خطوة 5.2.6.4.1.4

اضرب $\sqrt{3 (1 + 2 x)} \sqrt{3 (1 + 2 x)}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.6.4.1.4.1

ارفع $\sqrt{3 (1 + 2 x)}$ إلى القوة $1$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{3 + 6 x}) = \frac{1 + \sqrt{3 (1 + 2 x)} + \sqrt{3 (1 + 2 x)} + \sqrt{3 (1 + 2 x)} \sqrt{3 (1 + 2 x)}}{6} + \frac{- 2 - \sqrt{3 (2 x + 1)}}{3}$

خطوة 5.2.6.4.1.4.2

ارفع $\sqrt{3 (1 + 2 x)}$ إلى القوة $1$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{3 + 6 x}) = \frac{1 + \sqrt{3 (1 + 2 x)} + \sqrt{3 (1 + 2 x)} + \sqrt{3 (1 + 2 x)} \sqrt{3 (1 + 2 x)}}{6} + \frac{- 2 - \sqrt{3 (2 x + 1)}}{3}$

خطوة 5.2.6.4.1.4.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{3 + 6 x}) = \frac{1 + \sqrt{3 (1 + 2 x)} + \sqrt{3 (1 + 2 x)} + {\sqrt{3 (1 + 2 x)}}^{1 + 1}}{6} + \frac{- 2 - \sqrt{3 (2 x + 1)}}{3}$

خطوة 5.2.6.4.1.4.4

أضف $1$ و $1$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{3 + 6 x}) = \frac{1 + \sqrt{3 (1 + 2 x)} + \sqrt{3 (1 + 2 x)} + {\sqrt{3 (1 + 2 x)}}^{2}}{6} + \frac{- 2 - \sqrt{3 (2 x + 1)}}{3}$

خطوة 5.2.6.4.1.5

أعِد كتابة ${\sqrt{3 (1 + 2 x)}}^{2}$ بالصيغة $3 (1 + 2 x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.6.4.1.5.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{3 (1 + 2 x)}$ في صورة ${(3 (1 + 2 x))}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{3 + 6 x}) = \frac{1 + \sqrt{3 (1 + 2 x)} + \sqrt{3 (1 + 2 x)} + {({(3 (1 + 2 x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{6} + \frac{- 2 - \sqrt{3 (2 x + 1)}}{3}$

خطوة 5.2.6.4.1.5.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{3 + 6 x}) = \frac{1 + \sqrt{3 (1 + 2 x)} + \sqrt{3 (1 + 2 x)} + {(3 (1 + 2 x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{6} + \frac{- 2 - \sqrt{3 (2 x + 1)}}{3}$

خطوة 5.2.6.4.1.5.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{3 + 6 x}) = \frac{1 + \sqrt{3 (1 + 2 x)} + \sqrt{3 (1 + 2 x)} + {(3 (1 + 2 x))}^{\frac{2}{2}}}{6} + \frac{- 2 - \sqrt{3 (2 x + 1)}}{3}$

خطوة 5.2.6.4.1.5.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.6.4.1.5.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{3 + 6 x}) = \frac{1 + \sqrt{3 (1 + 2 x)} + \sqrt{3 (1 + 2 x)} + {(3 (1 + 2 x))}^{\frac{2}{2}}}{6} + \frac{- 2 - \sqrt{3 (2 x + 1)}}{3}$

خطوة 5.2.6.4.1.5.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{3 + 6 x}) = \frac{1 + \sqrt{3 (1 + 2 x)} + \sqrt{3 (1 + 2 x)} + 3 (1 + 2 x)}{6} + \frac{- 2 - \sqrt{3 (2 x + 1)}}{3}$

خطوة 5.2.6.4.1.5.5

بسّط.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{3 + 6 x}) = \frac{1 + \sqrt{3 (1 + 2 x)} + \sqrt{3 (1 + 2 x)} + 3 (1 + 2 x)}{6} + \frac{- 2 - \sqrt{3 (2 x + 1)}}{3}$

خطوة 5.2.6.4.1.6

طبّق خاصية التوزيع.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{3 + 6 x}) = \frac{1 + \sqrt{3 (1 + 2 x)} + \sqrt{3 (1 + 2 x)} + 3 \cdot 1 + 3 (2 x)}{6} + \frac{- 2 - \sqrt{3 (2 x + 1)}}{3}$

خطوة 5.2.6.4.1.7

اضرب $3$ في $1$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{3 + 6 x}) = \frac{1 + \sqrt{3 (1 + 2 x)} + \sqrt{3 (1 + 2 x)} + 3 + 3 (2 x)}{6} + \frac{- 2 - \sqrt{3 (2 x + 1)}}{3}$

خطوة 5.2.6.4.1.8

اضرب $2$ في $3$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{3 + 6 x}) = \frac{1 + \sqrt{3 (1 + 2 x)} + \sqrt{3 (1 + 2 x)} + 3 + 6 x}{6} + \frac{- 2 - \sqrt{3 (2 x + 1)}}{3}$

خطوة 5.2.6.4.2

أضف $1$ و $3$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{3 + 6 x}) = \frac{4 + \sqrt{3 (1 + 2 x)} + \sqrt{3 (1 + 2 x)} + 6 x}{6} + \frac{- 2 - \sqrt{3 (2 x + 1)}}{3}$

خطوة 5.2.6.4.3

أضف $\sqrt{3 (1 + 2 x)}$ و $\sqrt{3 (1 + 2 x)}$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{3 + 6 x}) = \frac{4 + 2 \sqrt{3 (1 + 2 x)} + 6 x}{6} + \frac{- 2 - \sqrt{3 (2 x + 1)}}{3}$

خطوة 5.2.6.5

احذِف العامل المشترك لـ $4 + 2 \sqrt{3 (1 + 2 x)} + 6 x$ و $6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.6.5.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{3 + 6 x}) = \frac{2 \cdot 2 + 2 \sqrt{3 (1 + 2 x)} + 6 x}{6} + \frac{- 2 - \sqrt{3 (2 x + 1)}}{3}$

خطوة 5.2.6.5.2

أخرِج العامل $2$ من $2 \sqrt{3 (1 + 2 x)}$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{3 + 6 x}) = \frac{2 \cdot 2 + 2 (\sqrt{3 (1 + 2 x)}) + 6 x}{6} + \frac{- 2 - \sqrt{3 (2 x + 1)}}{3}$

خطوة 5.2.6.5.3

أخرِج العامل $2$ من $2 \cdot 2 + 2 (\sqrt{3 (1 + 2 x)})$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{3 + 6 x}) = \frac{2 \cdot (2 + \sqrt{3 (1 + 2 x)}) + 6 x}{6} + \frac{- 2 - \sqrt{3 (2 x + 1)}}{3}$

خطوة 5.2.6.5.4

أخرِج العامل $2$ من $6 x$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{3 + 6 x}) = \frac{2 \cdot (2 + \sqrt{3 (1 + 2 x)}) + 2 (3 x)}{6} + \frac{- 2 - \sqrt{3 (2 x + 1)}}{3}$

خطوة 5.2.6.5.5

أخرِج العامل $2$ من $2 \cdot (2 + \sqrt{3 (1 + 2 x)}) + 2 (3 x)$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{3 + 6 x}) = \frac{2 \cdot (2 + \sqrt{3 (1 + 2 x)} + 3 x)}{6} + \frac{- 2 - \sqrt{3 (2 x + 1)}}{3}$

خطوة 5.2.6.5.6

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.6.5.6.1

أخرِج العامل $2$ من $6$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{3 + 6 x}) = \frac{2 \cdot (2 + \sqrt{3 (1 + 2 x)} + 3 x)}{2 (3)} + \frac{- 2 - \sqrt{3 (2 x + 1)}}{3}$

خطوة 5.2.6.5.6.2

ألغِ العامل المشترك.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{3 + 6 x}) = \frac{2 \cdot (2 + \sqrt{3 (1 + 2 x)} + 3 x)}{2 \cdot 3} + \frac{- 2 - \sqrt{3 (2 x + 1)}}{3}$

خطوة 5.2.6.5.6.3

أعِد كتابة العبارة.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{3 + 6 x}) = \frac{2 + \sqrt{3 (1 + 2 x)} + 3 x}{3} + \frac{- 2 - \sqrt{3 (2 x + 1)}}{3}$

خطوة 5.2.6.6

أخرِج العامل $- 1$ من $- 2 - \sqrt{3 (2 x + 1)}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.6.6.1

أعِد كتابة $- 2$ بالصيغة $- 1 (2)$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{3 + 6 x}) = \frac{2 + \sqrt{3 (1 + 2 x)} + 3 x}{3} + \frac{- 1 \cdot 2 - \sqrt{3 (2 x + 1)}}{3}$

خطوة 5.2.6.6.2

أخرِج العامل $- 1$ من $- \sqrt{3 (2 x + 1)}$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{3 + 6 x}) = \frac{2 + \sqrt{3 (1 + 2 x)} + 3 x}{3} + \frac{- 1 \cdot 2 - (\sqrt{3 (2 x + 1)})}{3}$

خطوة 5.2.6.6.3

أخرِج العامل $- 1$ من $- 1 (2) - (\sqrt{3 (2 x + 1)})$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{3 + 6 x}) = \frac{2 + \sqrt{3 (1 + 2 x)} + 3 x}{3} + \frac{- 1 (2 + \sqrt{3 (2 x + 1)})}{3}$

خطوة 5.2.6.6.4

أعِد كتابة $- 1 (2 + \sqrt{3 (2 x + 1)})$ بالصيغة $- (2 + \sqrt{3 (2 x + 1)})$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{3 + 6 x}) = \frac{2 + \sqrt{3 (1 + 2 x)} + 3 x}{3} + \frac{- (2 + \sqrt{3 (2 x + 1)})}{3}$

خطوة 5.2.6.7

انقُل السالب أمام الكسر.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{3 + 6 x}) = \frac{2 + \sqrt{3 (1 + 2 x)} + 3 x}{3} - \frac{2 + \sqrt{3 (2 x + 1)}}{3}$

خطوة 5.2.7

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{3 + 6 x}) = \frac{2 + \sqrt{3 (1 + 2 x)} + 3 x - (2 + \sqrt{3 (2 x + 1)})}{3}$

خطوة 5.2.8

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.8.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{3 + 6 x}) = \frac{2 + \sqrt{3 (1 + 2 x)} + 3 x - 1 \cdot 2 - \sqrt{3 (2 x + 1)}}{3}$

خطوة 5.2.8.2

اضرب $- 1$ في $2$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{3 + 6 x}) = \frac{2 + \sqrt{3 (1 + 2 x)} + 3 x - 2 - \sqrt{3 (2 x + 1)}}{3}$

خطوة 5.2.9

جمّع الحدود المتعاكسة في $2 + \sqrt{3 (1 + 2 x)} + 3 x - 2 - \sqrt{3 (2 x + 1)}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.9.1

اطرح $2$ من $2$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{3 + 6 x}) = \frac{0 + \sqrt{3 (1 + 2 x)} + 3 x - \sqrt{3 (2 x + 1)}}{3}$

خطوة 5.2.9.2

أضف $0$ و $\sqrt{3 (1 + 2 x)}$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{3 + 6 x}) = \frac{\sqrt{3 (1 + 2 x)} + 3 x - \sqrt{3 (2 x + 1)}}{3}$

خطوة 5.2.10

اطرح $\sqrt{3 (2 x + 1)}$ من $\sqrt{3 (1 + 2 x)}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.10.1

أعِد ترتيب $1$ و $2 x$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{3 + 6 x}) = \frac{3 x + \sqrt{3 (2 x + 1)} - \sqrt{3 (2 x + 1)}}{3}$

خطوة 5.2.10.2

اطرح $\sqrt{3 (2 x + 1)}$ من $\sqrt{3 (2 x + 1)}$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{3 + 6 x}) = \frac{3 x + 0}{3}$

خطوة 5.2.11

أضف $3 x$ و $0$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{3 + 6 x}) = \frac{3 x}{3}$

خطوة 5.2.12

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.12.1

ألغِ العامل المشترك.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{3 + 6 x}) = \frac{3 x}{3}$

خطوة 5.2.12.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{3 + 6 x}) = x$

خطوة 5.3

احسِب قيمة $f (f^{- 1} (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

عيّن دالة النتيجة المركّبة.

$f (f^{- 1} (x))$

خطوة 5.3.2

احسِب قيمة $f (\frac{x^{2}}{6} - \frac{x}{3} - \frac{1}{3})$ باستبدال قيمة $f^{- 1}$ في $f$ .

$f (\frac{x^{2}}{6} - \frac{x}{3} - \frac{1}{3}) = 1 + \sqrt{3 + 6 (\frac{x^{2}}{6} - \frac{x}{3} - \frac{1}{3})}$

خطوة 5.3.3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1

أخرِج العامل $3$ من $3 + 6 (\frac{x^{2}}{6} - \frac{x}{3} - \frac{1}{3})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$f (\frac{x^{2}}{6} - \frac{x}{3} - \frac{1}{3}) = 1 + \sqrt{3 (1) + 6 (\frac{x^{2}}{6} - \frac{x}{3} - \frac{1}{3})}$

خطوة 5.3.3.1.2

أخرِج العامل $3$ من $6 (\frac{x^{2}}{6} - \frac{x}{3} - \frac{1}{3})$ .

$f (\frac{x^{2}}{6} - \frac{x}{3} - \frac{1}{3}) = 1 + \sqrt{3 (1) + 3 (2 (\frac{x^{2}}{6} - \frac{x}{3} - \frac{1}{3}))}$

خطوة 5.3.3.1.3

أخرِج العامل $3$ من $3 (1) + 3 (2 (\frac{x^{2}}{6} - \frac{x}{3} - \frac{1}{3}))$ .

$f (\frac{x^{2}}{6} - \frac{x}{3} - \frac{1}{3}) = 1 + \sqrt{3 (1 + 2 (\frac{x^{2}}{6} - \frac{x}{3} - \frac{1}{3}))}$

خطوة 5.3.3.2

طبّق خاصية التوزيع.

$f (\frac{x^{2}}{6} - \frac{x}{3} - \frac{1}{3}) = 1 + \sqrt{3 (1 + 2 (\frac{x^{2}}{6}) + 2 (- \frac{x}{3}) + 2 (- \frac{1}{3}))}$

خطوة 5.3.3.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.3.1.1

أخرِج العامل $2$ من $6$ .

$f (\frac{x^{2}}{6} - \frac{x}{3} - \frac{1}{3}) = 1 + \sqrt{3 (1 + 2 (\frac{x^{2}}{2 (3)}) + 2 (- \frac{x}{3}) + 2 (- \frac{1}{3}))}$

خطوة 5.3.3.3.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{x^{2}}{6} - \frac{x}{3} - \frac{1}{3}) = 1 + \sqrt{3 (1 + 2 (\frac{x^{2}}{2 \cdot 3}) + 2 (- \frac{x}{3}) + 2 (- \frac{1}{3}))}$

خطوة 5.3.3.3.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{x^{2}}{6} - \frac{x}{3} - \frac{1}{3}) = 1 + \sqrt{3 (1 + \frac{x^{2}}{3} + 2 (- \frac{x}{3}) + 2 (- \frac{1}{3}))}$

خطوة 5.3.3.3.2

اضرب $2 (- \frac{x}{3})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.3.2.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$f (\frac{x^{2}}{6} - \frac{x}{3} - \frac{1}{3}) = 1 + \sqrt{3 (1 + \frac{x^{2}}{3} - 2 \frac{x}{3} + 2 (- \frac{1}{3}))}$

خطوة 5.3.3.3.2.2

اجمع $- 2$ و $\frac{x}{3}$ .

$f (\frac{x^{2}}{6} - \frac{x}{3} - \frac{1}{3}) = 1 + \sqrt{3 (1 + \frac{x^{2}}{3} + \frac{- 2 x}{3} + 2 (- \frac{1}{3}))}$

خطوة 5.3.3.3.3

اضرب $2 (- \frac{1}{3})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.3.3.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$f (\frac{x^{2}}{6} - \frac{x}{3} - \frac{1}{3}) = 1 + \sqrt{3 (1 + \frac{x^{2}}{3} + \frac{- 2 x}{3} - 2 (\frac{1}{3}))}$

خطوة 5.3.3.3.3.2

اجمع $- 2$ و $\frac{1}{3}$ .

$f (\frac{x^{2}}{6} - \frac{x}{3} - \frac{1}{3}) = 1 + \sqrt{3 (1 + \frac{x^{2}}{3} + \frac{- 2 x}{3} + \frac{- 2}{3})}$

خطوة 5.3.3.4

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.4.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$f (\frac{x^{2}}{6} - \frac{x}{3} - \frac{1}{3}) = 1 + \sqrt{3 (1 + \frac{x^{2}}{3} - \frac{2 x}{3} + \frac{- 2}{3})}$

خطوة 5.3.3.4.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$f (\frac{x^{2}}{6} - \frac{x}{3} - \frac{1}{3}) = 1 + \sqrt{3 (1 + \frac{x^{2}}{3} - \frac{2 x}{3} - \frac{2}{3})}$

خطوة 5.3.3.5

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$f (\frac{x^{2}}{6} - \frac{x}{3} - \frac{1}{3}) = 1 + \sqrt{3 (\frac{x^{2}}{3} - \frac{2 x}{3} + \frac{3}{3} - \frac{2}{3})}$

خطوة 5.3.3.6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (\frac{x^{2}}{6} - \frac{x}{3} - \frac{1}{3}) = 1 + \sqrt{3 (\frac{x^{2}}{3} - \frac{2 x}{3} + \frac{3 - 2}{3})}$

خطوة 5.3.3.7

اطرح $2$ من $3$ .

$f (\frac{x^{2}}{6} - \frac{x}{3} - \frac{1}{3}) = 1 + \sqrt{3 (\frac{x^{2}}{3} - \frac{2 x}{3} + \frac{1}{3})}$

خطوة 5.3.3.8

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (\frac{x^{2}}{6} - \frac{x}{3} - \frac{1}{3}) = 1 + \sqrt{3 (\frac{x^{2} - 2 x + 1}{3})}$

خطوة 5.3.3.9

حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة المربع الكامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.9.1

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$f (\frac{x^{2}}{6} - \frac{x}{3} - \frac{1}{3}) = 1 + \sqrt{3 (\frac{x^{2} - 2 x + 1^{2}}{3})}$

خطوة 5.3.3.9.2

تحقق من أن الحد الأوسط يساوي ضعف حاصل ضرب الأعداد المربعة في الحد الأول والحد الثالث.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

خطوة 5.3.3.9.3

أعِد كتابة متعدد الحدود.

$f (\frac{x^{2}}{6} - \frac{x}{3} - \frac{1}{3}) = 1 + \sqrt{3 (\frac{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}}{3})}$

خطوة 5.3.3.9.4

حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة ثلاثي حدود المربع الكامل $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ ، حيث $a = x$ و $b = 1$ .

$f (\frac{x^{2}}{6} - \frac{x}{3} - \frac{1}{3}) = 1 + \sqrt{3 (\frac{{(x - 1)}^{2}}{3})}$

خطوة 5.3.3.10

اجمع $3$ و $\frac{{(x - 1)}^{2}}{3}$ .

$f (\frac{x^{2}}{6} - \frac{x}{3} - \frac{1}{3}) = 1 + \sqrt{\frac{3 {(x - 1)}^{2}}{3}}$

خطوة 5.3.3.11

اختزِل العبارة بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.11.1

اختزِل العبارة $\frac{3 {(x - 1)}^{2}}{3}$ بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.11.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{x^{2}}{6} - \frac{x}{3} - \frac{1}{3}) = 1 + \sqrt{\frac{3 {(x - 1)}^{2}}{3}}$

خطوة 5.3.3.11.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{x^{2}}{6} - \frac{x}{3} - \frac{1}{3}) = 1 + \sqrt{\frac{{(x - 1)}^{2}}{1}}$

خطوة 5.3.3.11.2

اقسِم ${(x - 1)}^{2}$ على $1$ .

$f (\frac{x^{2}}{6} - \frac{x}{3} - \frac{1}{3}) = 1 + \sqrt{{(x - 1)}^{2}}$

خطوة 5.3.3.12

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$f (\frac{x^{2}}{6} - \frac{x}{3} - \frac{1}{3}) = 1 + x - 1$

خطوة 5.3.4

جمّع الحدود المتعاكسة في $1 + x - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.4.1

اطرح $1$ من $1$ .

$f (\frac{x^{2}}{6} - \frac{x}{3} - \frac{1}{3}) = x + 0$

خطوة 5.3.4.2

أضف $x$ و $0$ .

$f (\frac{x^{2}}{6} - \frac{x}{3} - \frac{1}{3}) = x$

خطوة 5.4

بما أن $f^{- 1} (f (x)) = x$ و $f (f^{- 1} (x)) = x$ ، إذن $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{6} - \frac{x}{3} - \frac{1}{3}$ هي معكوس $f (x) = 1 + \sqrt{3 + 6 x}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{6} - \frac{x}{3} - \frac{1}{3}$