حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = 6 x^{5} - 15 x^{4} + 10 x^{3}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $6 x^{5} - 15 x^{4} + 10 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [6 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [10 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [10 x^{3}]$

خطوة 1.1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [6 x^{5}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $6 x^{5}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $6 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [10 x^{3}]$

خطوة 1.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 5$ .

$6 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [10 x^{3}]$

خطوة 1.1.2.3

اضرب $5$ في $6$ .

$30 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [10 x^{3}]$

خطوة 1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 15 x^{4}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

بما أن $- 15$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 15 x^{4}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 15 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$30 x^{4} - 15 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [10 x^{3}]$

خطوة 1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$30 x^{4} - 15 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [10 x^{3}]$

خطوة 1.1.3.3

اضرب $4$ في $- 15$ .

$30 x^{4} - 60 x^{3} + \frac{d}{d x} [10 x^{3}]$

خطوة 1.1.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [10 x^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.1

بما أن $10$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $10 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $10 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$30 x^{4} - 60 x^{3} + 10 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

خطوة 1.1.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$30 x^{4} - 60 x^{3} + 10 (3 x^{2})$

خطوة 1.1.4.3

اضرب $3$ في $10$ .

$f' (x) = 30 x^{4} - 60 x^{3} + 30 x^{2}$

خطوة 1.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $30 x^{4} - 60 x^{3} + 30 x^{2}$ .

$30 x^{4} - 60 x^{3} + 30 x^{2}$

خطوة 2

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $30 x^{4} - 60 x^{3} + 30 x^{2} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$30 x^{4} - 60 x^{3} + 30 x^{2} = 0$

خطوة 2.2

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أخرِج العامل $30 x^{2}$ من $30 x^{4} - 60 x^{3} + 30 x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

أخرِج العامل $30 x^{2}$ من $30 x^{4}$ .

$30 x^{2} (x^{2}) - 60 x^{3} + 30 x^{2} = 0$

خطوة 2.2.1.2

أخرِج العامل $30 x^{2}$ من $- 60 x^{3}$ .

$30 x^{2} (x^{2}) + 30 x^{2} (- 2 x) + 30 x^{2} = 0$

خطوة 2.2.1.3

أخرِج العامل $30 x^{2}$ من $30 x^{2}$ .

$30 x^{2} (x^{2}) + 30 x^{2} (- 2 x) + 30 x^{2} (1) = 0$

خطوة 2.2.1.4

أخرِج العامل $30 x^{2}$ من $30 x^{2} (x^{2}) + 30 x^{2} (- 2 x)$ .

$30 x^{2} (x^{2} - 2 x) + 30 x^{2} (1) = 0$

خطوة 2.2.1.5

أخرِج العامل $30 x^{2}$ من $30 x^{2} (x^{2} - 2 x) + 30 x^{2} (1)$ .

$30 x^{2} (x^{2} - 2 x + 1) = 0$

خطوة 2.2.2

حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة المربع الكامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$30 x^{2} (x^{2} - 2 x + 1^{2}) = 0$

خطوة 2.2.2.2

تحقق من أن الحد الأوسط يساوي ضعف حاصل ضرب الأعداد المربعة في الحد الأول والحد الثالث.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

خطوة 2.2.2.3

أعِد كتابة متعدد الحدود.

$30 x^{2} (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

خطوة 2.2.2.4

حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة ثلاثي حدود المربع الكامل $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ ، حيث $a = x$ و $b = 1$ .

$30 x^{2} {(x - 1)}^{2} = 0$

خطوة 2.3

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x^{2} = 0$

${(x - 1)}^{2} = 0$

خطوة 2.4

عيّن قيمة العبارة $x^{2}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

عيّن قيمة $x^{2}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x^{2} = 0$

خطوة 2.4.2

أوجِد قيمة $x$ في $x^{2} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.1

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$x = \pm \sqrt{0}$

خطوة 2.4.2.2

بسّط $\pm \sqrt{0}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.2.1

أعِد كتابة $0$ بالصيغة $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

خطوة 2.4.2.2.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$x = \pm 0$

خطوة 2.4.2.2.3

زائد أو ناقص $0$ يساوي $0$ .

$x = 0$

خطوة 2.5

عيّن قيمة العبارة ${(x - 1)}^{2}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

عيّن قيمة ${(x - 1)}^{2}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

${(x - 1)}^{2} = 0$

خطوة 2.5.2

أوجِد قيمة $x$ في ${(x - 1)}^{2} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.1

عيّن قيمة $x - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 1 = 0$

خطوة 2.5.2.2

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 1$

خطوة 2.6

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $30 x^{2} {(x - 1)}^{2} = 0$ صحيحة.

$x = 0, 1$

خطوة 3

القيم التي تجعل المشتق مساويًا لـ $0$ هي $0, 1$ .

$0, 1$

خطوة 4

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات منفصلة حول قيم $x$ التي تجعل المشتق يساوي $0$ أو التي تجعله غير معرّف.

$(- \infty, 0) \cup (0, 1) \cup (1, \infty)$

خطوة 5

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, 0)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 1$ في العبارة.

$f' (- 1) = 30 {(- 1)}^{4} - 60 {(- 1)}^{3} + 30 {(- 1)}^{2}$

خطوة 5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

ارفع $- 1$ إلى القوة $4$ .

$f' (- 1) = 30 \cdot 1 - 60 {(- 1)}^{3} + 30 {(- 1)}^{2}$

خطوة 5.2.1.2

اضرب $30$ في $1$ .

$f' (- 1) = 30 - 60 {(- 1)}^{3} + 30 {(- 1)}^{2}$

خطوة 5.2.1.3

ارفع $- 1$ إلى القوة $3$ .

$f' (- 1) = 30 - 60 \cdot - 1 + 30 {(- 1)}^{2}$

خطوة 5.2.1.4

اضرب $- 60$ في $- 1$ .

$f' (- 1) = 30 + 60 + 30 {(- 1)}^{2}$

خطوة 5.2.1.5

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$f' (- 1) = 30 + 60 + 30 \cdot 1$

خطوة 5.2.1.6

اضرب $30$ في $1$ .

$f' (- 1) = 30 + 60 + 30$

خطوة 5.2.2

بسّط بجمع الأعداد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

أضف $30$ و $60$ .

$f' (- 1) = 90 + 30$

خطوة 5.2.2.2

أضف $90$ و $30$ .

$f' (- 1) = 120$

خطوة 5.2.3

الإجابة النهائية هي $120$ .

$120$

خطوة 5.3

المشتق في $x = - 1$ هو $120$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن الدالة تتزايد خلال $(- \infty, 0)$ .

تزايد خلال $(- \infty, 0)$ نظرًا إلى أن $f' (x) > 0$

خطوة 6

عوّض بقيمة من الفترة $(0, 1)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{1}{2}$ في العبارة.

$f' (\frac{1}{2}) = 30 {(\frac{1}{2})}^{4} - 60 {(\frac{1}{2})}^{3} + 30 {(\frac{1}{2})}^{2}$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{2}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = 30 (\frac{1^{4}}{2^{4}}) - 60 {(\frac{1}{2})}^{3} + 30 {(\frac{1}{2})}^{2}$

خطوة 6.2.1.2

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$f' (\frac{1}{2}) = 30 (\frac{1}{2^{4}}) - 60 {(\frac{1}{2})}^{3} + 30 {(\frac{1}{2})}^{2}$

خطوة 6.2.1.3

ارفع $2$ إلى القوة $4$ .

$f' (\frac{1}{2}) = 30 (\frac{1}{16}) - 60 {(\frac{1}{2})}^{3} + 30 {(\frac{1}{2})}^{2}$

خطوة 6.2.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.4.1

أخرِج العامل $2$ من $30$ .

$f' (\frac{1}{2}) = 2 (15) (\frac{1}{16}) - 60 {(\frac{1}{2})}^{3} + 30 {(\frac{1}{2})}^{2}$

خطوة 6.2.1.4.2

أخرِج العامل $2$ من $16$ .

$f' (\frac{1}{2}) = 2 \cdot (15 (\frac{1}{2 \cdot 8})) - 60 {(\frac{1}{2})}^{3} + 30 {(\frac{1}{2})}^{2}$

خطوة 6.2.1.4.3

ألغِ العامل المشترك.

$f' (\frac{1}{2}) = 2 \cdot (15 (\frac{1}{2 \cdot 8})) - 60 {(\frac{1}{2})}^{3} + 30 {(\frac{1}{2})}^{2}$

خطوة 6.2.1.4.4

أعِد كتابة العبارة.

$f' (\frac{1}{2}) = 15 (\frac{1}{8}) - 60 {(\frac{1}{2})}^{3} + 30 {(\frac{1}{2})}^{2}$

خطوة 6.2.1.5

اجمع $15$ و $\frac{1}{8}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15}{8} - 60 {(\frac{1}{2})}^{3} + 30 {(\frac{1}{2})}^{2}$

خطوة 6.2.1.6

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{2}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15}{8} - 60 \frac{1^{3}}{2^{3}} + 30 {(\frac{1}{2})}^{2}$

خطوة 6.2.1.7

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15}{8} - 60 \frac{1}{2^{3}} + 30 {(\frac{1}{2})}^{2}$

خطوة 6.2.1.8

ارفع $2$ إلى القوة $3$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15}{8} - 60 (\frac{1}{8}) + 30 {(\frac{1}{2})}^{2}$

خطوة 6.2.1.9

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.9.1

أخرِج العامل $4$ من $- 60$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15}{8} + 4 (- 15) (\frac{1}{8}) + 30 {(\frac{1}{2})}^{2}$

خطوة 6.2.1.9.2

أخرِج العامل $4$ من $8$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15}{8} + 4 \cdot (- 15 \frac{1}{4 \cdot 2}) + 30 {(\frac{1}{2})}^{2}$

خطوة 6.2.1.9.3

ألغِ العامل المشترك.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15}{8} + 4 \cdot (- 15 \frac{1}{4 \cdot 2}) + 30 {(\frac{1}{2})}^{2}$

خطوة 6.2.1.9.4

أعِد كتابة العبارة.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15}{8} - 15 (\frac{1}{2}) + 30 {(\frac{1}{2})}^{2}$

خطوة 6.2.1.10

اجمع $- 15$ و $\frac{1}{2}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15}{8} + \frac{- 15}{2} + 30 {(\frac{1}{2})}^{2}$

خطوة 6.2.1.11

انقُل السالب أمام الكسر.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15}{8} - \frac{15}{2} + 30 {(\frac{1}{2})}^{2}$

خطوة 6.2.1.12

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{2}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15}{8} - \frac{15}{2} + 30 (\frac{1^{2}}{2^{2}})$

خطوة 6.2.1.13

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15}{8} - \frac{15}{2} + 30 (\frac{1}{2^{2}})$

خطوة 6.2.1.14

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15}{8} - \frac{15}{2} + 30 (\frac{1}{4})$

خطوة 6.2.1.15

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.15.1

أخرِج العامل $2$ من $30$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15}{8} - \frac{15}{2} + 2 (15) (\frac{1}{4})$

خطوة 6.2.1.15.2

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15}{8} - \frac{15}{2} + 2 \cdot (15 (\frac{1}{2 \cdot 2}))$

خطوة 6.2.1.15.3

ألغِ العامل المشترك.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15}{8} - \frac{15}{2} + 2 \cdot (15 (\frac{1}{2 \cdot 2}))$

خطوة 6.2.1.15.4

أعِد كتابة العبارة.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15}{8} - \frac{15}{2} + 15 (\frac{1}{2})$

خطوة 6.2.1.16

اجمع $15$ و $\frac{1}{2}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15}{8} - \frac{15}{2} + \frac{15}{2}$

خطوة 6.2.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15}{8} + \frac{- 15 + 15}{2}$

خطوة 6.2.2.2

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.2.1

أضف $- 15$ و $15$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15}{8} + \frac{0}{2}$

خطوة 6.2.2.2.2

اقسِم $0$ على $2$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15}{8} + 0$

خطوة 6.2.2.2.3

أضف $\frac{15}{8}$ و $0$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15}{8}$

خطوة 6.2.3

الإجابة النهائية هي $\frac{15}{8}$ .

$\frac{15}{8}$

خطوة 6.3

المشتق في $x = \frac{1}{2}$ هو $\frac{15}{8}$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن الدالة تتزايد خلال $(0, 1)$ .

تزايد خلال $(0, 1)$ نظرًا إلى أن $f' (x) > 0$

خطوة 7

عوّض بقيمة من الفترة $(1, \infty)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $2$ في العبارة.

$f' (2) = 30 {(2)}^{4} - 60 {(2)}^{3} + 30 {(2)}^{2}$

خطوة 7.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

ارفع $2$ إلى القوة $4$ .

$f' (2) = 30 \cdot 16 - 60 {(2)}^{3} + 30 {(2)}^{2}$

خطوة 7.2.1.2

اضرب $30$ في $16$ .

$f' (2) = 480 - 60 {(2)}^{3} + 30 {(2)}^{2}$

خطوة 7.2.1.3

ارفع $2$ إلى القوة $3$ .

$f' (2) = 480 - 60 \cdot 8 + 30 {(2)}^{2}$

خطوة 7.2.1.4

اضرب $- 60$ في $8$ .

$f' (2) = 480 - 480 + 30 {(2)}^{2}$

خطوة 7.2.1.5

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$f' (2) = 480 - 480 + 30 \cdot 4$

خطوة 7.2.1.6

اضرب $30$ في $4$ .

$f' (2) = 480 - 480 + 120$

خطوة 7.2.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1

اطرح $480$ من $480$ .

$f' (2) = 0 + 120$

خطوة 7.2.2.2

أضف $0$ و $120$ .

$f' (2) = 120$

خطوة 7.2.3

الإجابة النهائية هي $120$ .

$120$

خطوة 7.3

المشتق في $x = 2$ هو $120$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن الدالة تتزايد خلال $(1, \infty)$ .

تزايد خلال $(1, \infty)$ نظرًا إلى أن $f' (x) > 0$

خطوة 8

اسرِد الفترات التي تتزايد الدالة وتتناقص فيها.

تزايد خلال: $(- \infty, 0), (0, 1), (1, \infty)$

خطوة 9