حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \sin (x) + 8$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\sin (x) + 8$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [8]$

خطوة 1.1.2

مشتق $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\cos (x)$ .

$\cos (x) + \frac{d}{d x} [8]$

خطوة 1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

بما أن $8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $8$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\cos (x) + 0$

خطوة 1.1.3.2

أضف $\cos (x)$ و $0$ .

$f' (x) = \cos (x)$

خطوة 1.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

خطوة 2

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $\cos (x) = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\cos (x) = 0$

خطوة 2.2

خُذ جيب التمام العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل جيب التمام.

$x = \arccos (0)$

خطوة 2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

القيمة الدقيقة لـ $\arccos (0)$ هي $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

خطوة 2.4

دالة جيب التمام موجبة في الربعين الأول والرابع. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $2 π$ لإيجاد الحل في الربع الرابع.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

خطوة 2.5

بسّط $2 π - \frac{π}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

لكتابة $2 π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

خطوة 2.5.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.1

اجمع $2 π$ و $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

خطوة 2.5.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

خطوة 2.5.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.3.1

اضرب $2$ في $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

خطوة 2.5.3.2

اطرح $π$ من $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

خطوة 2.6

أوجِد فترة $\cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 2.6.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 2.6.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 2.6.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 2.7

فترة دالة $\cos (x)$ هي $2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 2.8

وحّد الإجابات.

$x = \frac{π}{2} + π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 3

القيم التي تجعل المشتق مساويًا لـ $0$ هي $\frac{π}{2} + π n$ .

$\frac{π}{2} + π n$

خطوة 4

بعد إيجاد النقطة التي تجعل المشتق $f' (x) = \cos (x)$ مساويًا لـ $0$ أو غير معرف، تكون الفترة اللازمة للتحقق من أين تتزايد وأين تتناقص $f (x) = \sin (x) + 8$ هو $(- \infty, \frac{π}{2} + π n) \cup (\frac{π}{2} + π n, \infty)$ .

$(- \infty, \frac{π}{2} + π n) \cup (\frac{π}{2} + π n, \infty)$

خطوة 5

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, \frac{π}{2} + π n)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{π}{2} + π n - 1$ في العبارة.

$f' (\frac{π}{2} + π n - 1) = \cos (\frac{π}{2} + π n - 1)$

خطوة 5.2

الإجابة النهائية هي $\cos (\frac{π}{2} + π n - 1)$ .

$\cos (\frac{π}{2} + π n - 1)$

خطوة 5.3

بسّط.

$\cos (\frac{π}{2} + π n - 1)$

خطوة 5.4

المشتق في $x = \frac{π}{2} + π n - 1$ هو $\cos (\frac{π}{2} + π n - 1)$ . نظرًا إلى أن هذا سالب، فإن الدالة تتناقص خلال $(- \infty, \frac{π}{2} + π n)$ .

تناقص خلال $(- \infty, \frac{π}{2} + π n)$ حيث إن $f' (x) < 0$

خطوة 6

عوّض بقيمة من الفترة $(\frac{π}{2} + π n, \infty)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{π}{2} + π n + 1$ في العبارة.

$f' (\frac{π}{2} + π n + 1) = \cos (\frac{π}{2} + π n + 1)$

خطوة 6.2

الإجابة النهائية هي $\cos (\frac{π}{2} + π n + 1)$ .

$\cos (\frac{π}{2} + π n + 1)$

خطوة 6.3

بسّط.

$\cos (\frac{π}{2} + π n + 1)$

خطوة 6.4

المشتق في $x = \frac{π}{2} + π n + 1$ هو $\cos (\frac{π}{2} + π n + 1)$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن الدالة تتزايد خلال $(\frac{π}{2} + π n, \infty)$ .

تزايد خلال $(\frac{π}{2} + π n, \infty)$ نظرًا إلى أن $f' (x) > 0$

خطوة 7

اسرِد الفترات التي تتزايد الدالة وتتناقص فيها.

تزايد خلال: $(\frac{π}{2} + π n, \infty)$

تناقص خلال: $(- \infty, \frac{π}{2} + π n)$

خطوة 8