حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$lim_{t \to \infty} \frac{e^{3 t} + t^{2}}{2 e^{3 t} - t}$

خطوة 1

اقسِم البسط والقاسم على أكبر حد في القاسم.

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{e^{3 t}}{e^{3 t}} + \frac{t^{2}}{e^{3 t}}}{\frac{2 e^{3 t}}{e^{3 t}} - \frac{t}{e^{3 t}}}$

خطوة 2

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{3 t}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{e^{3 t}}{e^{3 t}} + \frac{t^{2}}{e^{3 t}}}{\frac{2 e^{3 t}}{e^{3 t}} - \frac{t}{e^{3 t}}}$

خطوة 2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$lim_{t \to \infty} \frac{1 + \frac{t^{2}}{e^{3 t}}}{\frac{2 e^{3 t}}{e^{3 t}} - \frac{t}{e^{3 t}}}$

خطوة 2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{3 t}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$lim_{t \to \infty} \frac{1 + \frac{t^{2}}{e^{3 t}}}{\frac{2 e^{3 t}}{e^{3 t}} - \frac{t}{e^{3 t}}}$

خطوة 2.2.2

اقسِم $2$ على $1$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1 + \frac{t^{2}}{e^{3 t}}}{2 - \frac{t}{e^{3 t}}}$

خطوة 2.3

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة قسمة النهايات على النهاية بينما يقترب $t$ من $\infty$ .

$\frac{lim_{t \to \infty} 1 + \frac{t^{2}}{e^{3 t}}}{lim_{t \to \infty} 2 - \frac{t}{e^{3 t}}}$

خطوة 2.4

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $t$ من $\infty$ .

$\frac{lim_{t \to \infty} 1 + lim_{t \to \infty} \frac{t^{2}}{e^{3 t}}}{lim_{t \to \infty} 2 - \frac{t}{e^{3 t}}}$

خطوة 2.5

احسِب قيمة حد $1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $t$ من $\infty$ .

$\frac{1 + lim_{t \to \infty} \frac{t^{2}}{e^{3 t}}}{lim_{t \to \infty} 2 - \frac{t}{e^{3 t}}}$

خطوة 3

طبّق قاعدة لوبيتال.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$\frac{1 + \frac{lim_{t \to \infty} t^{2}}{lim_{t \to \infty} e^{3 t}}}{lim_{t \to \infty} 2 - \frac{t}{e^{3 t}}}$

خطوة 3.1.2

النهاية عند ما لا نهاية متعدد حدود معامله الرئيسي موجب تساوي ما لا نهاية.

$\frac{1 + \frac{\infty}{lim_{t \to \infty} e^{3 t}}}{lim_{t \to \infty} 2 - \frac{t}{e^{3 t}}}$

خطوة 3.1.3

بما أن الأُس $3 t$ يقترب من $\infty$ ، إذن الكمية $e^{3 t}$ تقترب من $\infty$ .

$\frac{1 + \frac{\infty}{\infty}}{lim_{t \to \infty} 2 - \frac{t}{e^{3 t}}}$

خطوة 3.1.4

ناتج قسمة ما لا نهاية على ما لا نهاية يساوي قيمة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{1 + \frac{\infty}{\infty}}{lim_{t \to \infty} 2 - \frac{t}{e^{3 t}}}$

خطوة 3.2

بما أن $\frac{\infty}{\infty}$ مكتوبة بصيغة غير معيّنة، طبّق قاعدة لوبيتال. تنص قاعدة لوبيتال على أن نهاية ناتج قسمة الدوال يساوي نهاية ناتج قسمة مشتقاتها.

$lim_{t \to \infty} \frac{t^{2}}{e^{3 t}} = lim_{t \to \infty} \frac{\frac{d}{d t} [t^{2}]}{\frac{d}{d t} [e^{3 t}]}$

خطوة 3.3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$\frac{1 + lim_{t \to \infty} \frac{\frac{d}{d t} [t^{2}]}{\frac{d}{d t} [e^{3 t}]}}{lim_{t \to \infty} 2 - \frac{t}{e^{3 t}}}$

خطوة 3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{1 + lim_{t \to \infty} \frac{2 t}{\frac{d}{d t} [e^{3 t}]}}{lim_{t \to \infty} 2 - \frac{t}{e^{3 t}}}$

خطوة 3.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ هو $f' (g (t)) g' (t)$ حيث $f (t) = e^{t}$ و $g (t) = 3 t$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $3 t$ .

$\frac{1 + lim_{t \to \infty} \frac{2 t}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d t} [3 t]}}{lim_{t \to \infty} 2 - \frac{t}{e^{3 t}}}$

خطوة 3.3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$\frac{1 + lim_{t \to \infty} \frac{2 t}{e^{u} \frac{d}{d t} [3 t]}}{lim_{t \to \infty} 2 - \frac{t}{e^{3 t}}}$

خطوة 3.3.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $3 t$ .

$\frac{1 + lim_{t \to \infty} \frac{2 t}{e^{3 t} \frac{d}{d t} [3 t]}}{lim_{t \to \infty} 2 - \frac{t}{e^{3 t}}}$

خطوة 3.3.4

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $3 t$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{1 + lim_{t \to \infty} \frac{2 t}{e^{3 t} \cdot 3 \frac{d}{d t} [t]}}{lim_{t \to \infty} 2 - \frac{t}{e^{3 t}}}$

خطوة 3.3.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{1 + lim_{t \to \infty} \frac{2 t}{e^{3 t} \cdot 3 \cdot 1}}{lim_{t \to \infty} 2 - \frac{t}{e^{3 t}}}$

خطوة 3.3.6

اضرب $3$ في $1$ .

$\frac{1 + lim_{t \to \infty} \frac{2 t}{e^{3 t} \cdot 3}}{lim_{t \to \infty} 2 - \frac{t}{e^{3 t}}}$

خطوة 3.3.7

انقُل $3$ إلى يسار $e^{3 t}$ .

$\frac{1 + lim_{t \to \infty} \frac{2 t}{3 e^{3 t}}}{lim_{t \to \infty} 2 - \frac{t}{e^{3 t}}}$

خطوة 4

انقُل الحد $\frac{2}{3}$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $t$ .

$\frac{1 + \frac{2}{3} lim_{t \to \infty} \frac{t}{e^{3 t}}}{lim_{t \to \infty} 2 - \frac{t}{e^{3 t}}}$

خطوة 5

طبّق قاعدة لوبيتال.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$\frac{1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{lim_{t \to \infty} t}{lim_{t \to \infty} e^{3 t}}}{lim_{t \to \infty} 2 - \frac{t}{e^{3 t}}}$

خطوة 5.1.2

النهاية عند ما لا نهاية متعدد حدود معامله الرئيسي موجب تساوي ما لا نهاية.

$\frac{1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{\infty}{lim_{t \to \infty} e^{3 t}}}{lim_{t \to \infty} 2 - \frac{t}{e^{3 t}}}$

خطوة 5.1.3

بما أن الأُس $3 t$ يقترب من $\infty$ ، إذن الكمية $e^{3 t}$ تقترب من $\infty$ .

$\frac{1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{\infty}{\infty}}{lim_{t \to \infty} 2 - \frac{t}{e^{3 t}}}$

خطوة 5.1.4

ناتج قسمة ما لا نهاية على ما لا نهاية يساوي قيمة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{\infty}{\infty}}{lim_{t \to \infty} 2 - \frac{t}{e^{3 t}}}$

خطوة 5.2

$lim_{t \to \infty} \frac{t}{e^{3 t}} = lim_{t \to \infty} \frac{\frac{d}{d t} [t]}{\frac{d}{d t} [e^{3 t}]}$

خطوة 5.3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$\frac{1 + \frac{2}{3} lim_{t \to \infty} \frac{\frac{d}{d t} [t]}{\frac{d}{d t} [e^{3 t}]}}{lim_{t \to \infty} 2 - \frac{t}{e^{3 t}}}$

خطوة 5.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{1 + \frac{2}{3} lim_{t \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d t} [e^{3 t}]}}{lim_{t \to \infty} 2 - \frac{t}{e^{3 t}}}$

خطوة 5.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ هو $f' (g (t)) g' (t)$ حيث $f (t) = e^{t}$ و $g (t) = 3 t$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $3 t$ .

$\frac{1 + \frac{2}{3} lim_{t \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d t} [3 t]}}{lim_{t \to \infty} 2 - \frac{t}{e^{3 t}}}$

خطوة 5.3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$\frac{1 + \frac{2}{3} lim_{t \to \infty} \frac{1}{e^{u} \frac{d}{d t} [3 t]}}{lim_{t \to \infty} 2 - \frac{t}{e^{3 t}}}$

خطوة 5.3.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $3 t$ .

$\frac{1 + \frac{2}{3} lim_{t \to \infty} \frac{1}{e^{3 t} \frac{d}{d t} [3 t]}}{lim_{t \to \infty} 2 - \frac{t}{e^{3 t}}}$

خطوة 5.3.4

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $3 t$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{1 + \frac{2}{3} lim_{t \to \infty} \frac{1}{e^{3 t} \cdot 3 \frac{d}{d t} [t]}}{lim_{t \to \infty} 2 - \frac{t}{e^{3 t}}}$

خطوة 5.3.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{1 + \frac{2}{3} lim_{t \to \infty} \frac{1}{e^{3 t} \cdot 3 \cdot 1}}{lim_{t \to \infty} 2 - \frac{t}{e^{3 t}}}$

خطوة 5.3.6

اضرب $3$ في $1$ .

$\frac{1 + \frac{2}{3} lim_{t \to \infty} \frac{1}{e^{3 t} \cdot 3}}{lim_{t \to \infty} 2 - \frac{t}{e^{3 t}}}$

خطوة 5.3.7

انقُل $3$ إلى يسار $e^{3 t}$ .

$\frac{1 + \frac{2}{3} lim_{t \to \infty} \frac{1}{3 e^{3 t}}}{lim_{t \to \infty} 2 - \frac{t}{e^{3 t}}}$

خطوة 6

انقُل الحد $\frac{1}{3}$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $t$ .

$\frac{1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} lim_{t \to \infty} \frac{1}{e^{3 t}}}{lim_{t \to \infty} 2 - \frac{t}{e^{3 t}}}$

خطوة 7

بما أن بسط الكسر يقترب من عدد حقيقي بينما يُعد قاسمه غير محدود، إذن الكسر $\frac{1}{e^{3 t}}$ يقترب من $0$ .

$\frac{1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot 0}{lim_{t \to \infty} 2 - \frac{t}{e^{3 t}}}$

خطوة 8

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $t$ من $\infty$ .

$\frac{1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot 0}{lim_{t \to \infty} 2 - lim_{t \to \infty} \frac{t}{e^{3 t}}}$

خطوة 8.2

احسِب قيمة حد $2$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $t$ من $\infty$ .

$\frac{1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot 0}{2 - lim_{t \to \infty} \frac{t}{e^{3 t}}}$

خطوة 9

طبّق قاعدة لوبيتال.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$\frac{1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot 0}{2 - \frac{lim_{t \to \infty} t}{lim_{t \to \infty} e^{3 t}}}$

خطوة 9.1.2

النهاية عند ما لا نهاية متعدد حدود معامله الرئيسي موجب تساوي ما لا نهاية.

$\frac{1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot 0}{2 - \frac{\infty}{lim_{t \to \infty} e^{3 t}}}$

خطوة 9.1.3

بما أن الأُس $3 t$ يقترب من $\infty$ ، إذن الكمية $e^{3 t}$ تقترب من $\infty$ .

$\frac{1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot 0}{2 - \frac{\infty}{\infty}}$

خطوة 9.1.4

ناتج قسمة ما لا نهاية على ما لا نهاية يساوي قيمة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot 0}{2 - \frac{\infty}{\infty}}$

خطوة 9.2

$lim_{t \to \infty} \frac{t}{e^{3 t}} = lim_{t \to \infty} \frac{\frac{d}{d t} [t]}{\frac{d}{d t} [e^{3 t}]}$

خطوة 9.3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$\frac{1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot 0}{2 - lim_{t \to \infty} \frac{\frac{d}{d t} [t]}{\frac{d}{d t} [e^{3 t}]}}$

خطوة 9.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot 0}{2 - lim_{t \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d t} [e^{3 t}]}}$

خطوة 9.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ هو $f' (g (t)) g' (t)$ حيث $f (t) = e^{t}$ و $g (t) = 3 t$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $3 t$ .

$\frac{1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot 0}{2 - lim_{t \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d t} [3 t]}}$

خطوة 9.3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$\frac{1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot 0}{2 - lim_{t \to \infty} \frac{1}{e^{u} \frac{d}{d t} [3 t]}}$

خطوة 9.3.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $3 t$ .

$\frac{1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot 0}{2 - lim_{t \to \infty} \frac{1}{e^{3 t} \frac{d}{d t} [3 t]}}$

خطوة 9.3.4

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $3 t$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot 0}{2 - lim_{t \to \infty} \frac{1}{e^{3 t} \cdot 3 \frac{d}{d t} [t]}}$

خطوة 9.3.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot 0}{2 - lim_{t \to \infty} \frac{1}{e^{3 t} \cdot 3 \cdot 1}}$

خطوة 9.3.6

اضرب $3$ في $1$ .

$\frac{1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot 0}{2 - lim_{t \to \infty} \frac{1}{e^{3 t} \cdot 3}}$

خطوة 9.3.7

انقُل $3$ إلى يسار $e^{3 t}$ .

$\frac{1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot 0}{2 - lim_{t \to \infty} \frac{1}{3 e^{3 t}}}$

خطوة 10

انقُل الحد $\frac{1}{3}$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $t$ .

$\frac{1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot 0}{2 - \frac{1}{3} lim_{t \to \infty} \frac{1}{e^{3 t}}}$

خطوة 11

بما أن بسط الكسر يقترب من عدد حقيقي بينما يُعد قاسمه غير محدود، إذن الكسر $\frac{1}{e^{3 t}}$ يقترب من $0$ .

$\frac{1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot 0}{2 - \frac{1}{3} \cdot 0}$

خطوة 12

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1

اضرب $\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1.1

اضرب $\frac{2}{3}$ في $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1 + \frac{2}{3 \cdot 3} \cdot 0}{2 - \frac{1}{3} \cdot 0}$

خطوة 12.1.1.2

اضرب $3$ في $3$ .

$\frac{1 + \frac{2}{9} \cdot 0}{2 - \frac{1}{3} \cdot 0}$

خطوة 12.1.2

اضرب $\frac{2}{9}$ في $0$ .

$\frac{1 + 0}{2 - \frac{1}{3} \cdot 0}$

خطوة 12.1.3

أضف $1$ و $0$ .

$\frac{1}{2 - \frac{1}{3} \cdot 0}$

خطوة 12.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.1

اضرب $- \frac{1}{3} \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.1.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$\frac{1}{2 + 0 (\frac{1}{3})}$

خطوة 12.2.1.2

اضرب $0$ في $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{2 + 0}$

خطوة 12.2.2

أضف $2$ و $0$ .

$\frac{1}{2}$