حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$lim_{x \to 1} \frac{4 \sin (π x)}{\cos (π x) + x}$

خطوة 1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$\frac{lim_{x \to 1} 4 \sin (π x)}{lim_{x \to 1} \cos (π x) + x}$

خطوة 1.2

احسِب قيمة حد بسط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1.1

انقُل الحد $4$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{4 lim_{x \to 1} \sin (π x)}{lim_{x \to 1} \cos (π x) + x}$

خطوة 1.2.1.2

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة الجيب متصلة.

$\frac{4 \sin (lim_{x \to 1} π x)}{lim_{x \to 1} \cos (π x) + x}$

خطوة 1.2.1.3

انقُل الحد $π$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{4 \sin (π lim_{x \to 1} x)}{lim_{x \to 1} \cos (π x) + x}$

خطوة 1.2.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $1$ .

$\frac{4 \sin (π \cdot 1)}{lim_{x \to 1} \cos (π x) + x}$

خطوة 1.2.3

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

اضرب $π$ في $1$ .

$\frac{4 \sin (π)}{lim_{x \to 1} \cos (π x) + x}$

خطوة 1.2.3.2

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول.

$\frac{4 \sin (0)}{lim_{x \to 1} \cos (π x) + x}$

خطوة 1.2.3.3

القيمة الدقيقة لـ $\sin (0)$ هي $0$ .

$\frac{4 \cdot 0}{lim_{x \to 1} \cos (π x) + x}$

خطوة 1.2.3.4

اضرب $4$ في $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} \cos (π x) + x}$

خطوة 1.3

احسِب قيمة حد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} \cos (π x) + lim_{x \to 1} x}$

خطوة 1.3.2

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة جيب التمام متصلة.

$\frac{0}{\cos (lim_{x \to 1} π x) + lim_{x \to 1} x}$

خطوة 1.3.3

انقُل الحد $π$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{0}{\cos (π lim_{x \to 1} x) + lim_{x \to 1} x}$

خطوة 1.3.4

احسِب قيم الحدود بالتعويض عن جميع حالات حدوث $x$ بـ $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.4.1

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $1$ .

$\frac{0}{\cos (π \cdot 1) + lim_{x \to 1} x}$

خطوة 1.3.4.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $1$ .

$\frac{0}{\cos (π \cdot 1) + 1}$

خطوة 1.3.5

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.5.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.5.1.1

اضرب $π$ في $1$ .

$\frac{0}{\cos (π) + 1}$

خطوة 1.3.5.1.2

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول. اجعل العبارة سالبة لأن جيب التمام سالب في الربع الثاني.

$\frac{0}{- \cos (0) + 1}$

خطوة 1.3.5.1.3

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$\frac{0}{- 1 \cdot 1 + 1}$

خطوة 1.3.5.1.4

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{0}{- 1 + 1}$

خطوة 1.3.5.2

أضف $- 1$ و $1$ .

$\frac{0}{0}$

خطوة 1.3.5.3

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

خطوة 1.3.6

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

خطوة 1.4

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

خطوة 2

بما أن $\frac{0}{0}$ مكتوبة بصيغة غير معيّنة، طبّق قاعدة لوبيتال. تنص قاعدة لوبيتال على أن نهاية ناتج قسمة الدوال يساوي نهاية ناتج قسمة مشتقاتها.

$lim_{x \to 1} \frac{4 \sin (π x)}{\cos (π x) + x} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [4 \sin (π x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (π x) + x]}$

خطوة 3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [4 \sin (π x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (π x) + x]}$

خطوة 3.2

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 \sin (π x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [\sin (π x)]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 \frac{d}{d x} [\sin (π x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (π x) + x]}$

خطوة 3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \sin (x)$ و $g (x) = π x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $π x$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [π x])}{\frac{d}{d x} [\cos (π x) + x]}$

خطوة 3.3.2

مشتق $\sin (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\cos (u)$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 (\cos (u) \frac{d}{d x} [π x])}{\frac{d}{d x} [\cos (π x) + x]}$

خطوة 3.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $π x$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 (\cos (π x) \frac{d}{d x} [π x])}{\frac{d}{d x} [\cos (π x) + x]}$

خطوة 3.4

احذِف الأقواس.

$lim_{x \to 1} \frac{4 \cos (π x) \frac{d}{d x} [π x]}{\frac{d}{d x} [\cos (π x) + x]}$

خطوة 3.5

بما أن $π$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $π x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 \cos (π x) (π \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [\cos (π x) + x]}$

خطوة 3.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 \cos (π x) (π \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [\cos (π x) + x]}$

خطوة 3.7

اضرب $π$ في $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 \cos (π x) π}{\frac{d}{d x} [\cos (π x) + x]}$

خطوة 3.8

أعِد ترتيب عوامل $4 \cos (π x) π$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 π \cos (π x)}{\frac{d}{d x} [\cos (π x) + x]}$

خطوة 3.9

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\cos (π x) + x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [\cos (π x)] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 π \cos (π x)}{\frac{d}{d x} [\cos (π x)] + \frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 3.10

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\cos (π x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \cos (x)$ و $g (x) = π x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $π x$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 π \cos (π x)}{\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [π x] + \frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 3.10.1.2

مشتق $\cos (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $- \sin (u)$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 π \cos (π x)}{- \sin (u) \frac{d}{d x} [π x] + \frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 3.10.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $π x$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 π \cos (π x)}{- \sin (π x) \frac{d}{d x} [π x] + \frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 3.10.2

بما أن $π$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $π x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 π \cos (π x)}{- \sin (π x) (π \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 3.10.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 π \cos (π x)}{- \sin (π x) (π \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 3.10.4

اضرب $π$ في $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 π \cos (π x)}{- \sin (π x) π + \frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 3.11

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 π \cos (π x)}{- \sin (π x) π + 1}$

خطوة 3.12

أعِد ترتيب الحدود.

$lim_{x \to 1} \frac{4 π \cos (π x)}{- π \sin (π x) + 1}$

خطوة 4

انقُل الحد $4 π$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$4 π lim_{x \to 1} \frac{\cos (π x)}{- π \sin (π x) + 1}$

خطوة 5

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة قسمة النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $1$ .

$4 π \frac{lim_{x \to 1} \cos (π x)}{lim_{x \to 1} - π \sin (π x) + 1}$

خطوة 6

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة جيب التمام متصلة.

$4 π \frac{\cos (lim_{x \to 1} π x)}{lim_{x \to 1} - π \sin (π x) + 1}$

خطوة 7

انقُل الحد $π$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$4 π \frac{\cos (π lim_{x \to 1} x)}{lim_{x \to 1} - π \sin (π x) + 1}$

خطوة 8

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $1$ .

$4 π \frac{\cos (π lim_{x \to 1} x)}{- lim_{x \to 1} π \sin (π x) + lim_{x \to 1} 1}$

خطوة 9

انقُل الحد $π$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$4 π \frac{\cos (π lim_{x \to 1} x)}{- π lim_{x \to 1} \sin (π x) + lim_{x \to 1} 1}$

خطوة 10

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة الجيب متصلة.

$4 π \frac{\cos (π lim_{x \to 1} x)}{- π \sin (lim_{x \to 1} π x) + lim_{x \to 1} 1}$

خطوة 11

انقُل الحد $π$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$4 π \frac{\cos (π lim_{x \to 1} x)}{- π \sin (π lim_{x \to 1} x) + lim_{x \to 1} 1}$

خطوة 12

احسِب قيمة حد $1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $1$ .

$4 π \frac{\cos (π lim_{x \to 1} x)}{- π \sin (π lim_{x \to 1} x) + 1}$

خطوة 13

احسِب قيم الحدود بالتعويض عن جميع حالات حدوث $x$ بـ $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $1$ .

$4 π \frac{\cos (π \cdot 1)}{- π \sin (π lim_{x \to 1} x) + 1}$

خطوة 13.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $1$ .

$4 π \frac{\cos (π \cdot 1)}{- π \sin (π \cdot 1) + 1}$

خطوة 14

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1.1

اضرب $π$ في $1$ .

$4 π \frac{\cos (π)}{- π \sin (π \cdot 1) + 1}$

خطوة 14.1.2

$4 π \frac{- \cos (0)}{- π \sin (π \cdot 1) + 1}$

خطوة 14.1.3

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$4 π \frac{- 1 \cdot 1}{- π \sin (π \cdot 1) + 1}$

خطوة 14.1.4

اضرب $- 1$ في $1$ .

$4 π \frac{- 1}{- π \sin (π \cdot 1) + 1}$

خطوة 14.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.2.1

اضرب $π$ في $1$ .

$4 π \frac{- 1}{- π \sin (π) + 1}$

خطوة 14.2.2

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول.

$4 π \frac{- 1}{- π \sin (0) + 1}$

خطوة 14.2.3

القيمة الدقيقة لـ $\sin (0)$ هي $0$ .

$4 π \frac{- 1}{- π \cdot 0 + 1}$

خطوة 14.2.4

اضرب $- π \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.2.4.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$4 π \frac{- 1}{0 π + 1}$

خطوة 14.2.4.2

اضرب $0$ في $π$ .

$4 π \frac{- 1}{0 + 1}$

خطوة 14.2.5

أضف $0$ و $1$ .

$4 π \frac{- 1}{1}$

خطوة 14.3

اقسِم $- 1$ على $1$ .

$4 π \cdot - 1$

خطوة 14.4

اضرب $- 1$ في $4$ .

$- 4 π$