حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$lim_{x \to - \infty} \frac{3 x}{\sqrt{16 x^{2} - 9 x}}$

خطوة 1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$\frac{lim_{x \to - \infty} 3 x}{lim_{x \to - \infty} \sqrt{16 x^{2} - 9 x}}$

خطوة 1.2

النهاية عند قيمة غير متناهية سالبة لمتعدد حدود ذي درجة فردية ومعامله الرئيسي موجب تساوي قيمة غير متناهية سالبة.

$\frac{- \infty}{lim_{x \to - \infty} \sqrt{16 x^{2} - 9 x}}$

خطوة 1.3

عند اقتراب $x$ من $- \infty$ للجذور، تتجه القيمة إلى $\infty$ .

$\frac{- \infty}{\infty}$

خطوة 1.4

ناتج قسمة ما لا نهاية على ما لا نهاية يساوي قيمة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{- \infty}{\infty}$

خطوة 2

بما أن $\frac{- \infty}{\infty}$ مكتوبة بصيغة غير معيّنة، طبّق قاعدة لوبيتال. تنص قاعدة لوبيتال على أن نهاية ناتج قسمة الدوال يساوي نهاية ناتج قسمة مشتقاتها.

$lim_{x \to - \infty} \frac{3 x}{\sqrt{16 x^{2} - 9 x}} = lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{16 x^{2} - 9 x}]}$

خطوة 3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{16 x^{2} - 9 x}]}$

خطوة 3.2

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{3 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{16 x^{2} - 9 x}]}$

خطوة 3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{3 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\sqrt{16 x^{2} - 9 x}]}$

خطوة 3.4

اضرب $3$ في $1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{3}{\frac{d}{d x} [\sqrt{16 x^{2} - 9 x}]}$

خطوة 3.5

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{16 x^{2} - 9 x}$ في صورة ${(16 x^{2} - 9 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{3}{\frac{d}{d x} [{(16 x^{2} - 9 x)}^{\frac{1}{2}}]}$

خطوة 3.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ و $g (x) = 16 x^{2} - 9 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $16 x^{2} - 9 x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{3}{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [16 x^{2} - 9 x]}$

خطوة 3.6.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{3}{\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [16 x^{2} - 9 x]}$

خطوة 3.6.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $16 x^{2} - 9 x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{3}{\frac{1}{2} {(16 x^{2} - 9 x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [16 x^{2} - 9 x]}$

خطوة 3.7

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{3}{\frac{1}{2} {(16 x^{2} - 9 x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [16 x^{2} - 9 x]}$

خطوة 3.8

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{3}{\frac{1}{2} {(16 x^{2} - 9 x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [16 x^{2} - 9 x]}$

خطوة 3.9

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$lim_{x \to - \infty} \frac{3}{\frac{1}{2} {(16 x^{2} - 9 x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [16 x^{2} - 9 x]}$

خطوة 3.10

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{3}{\frac{1}{2} {(16 x^{2} - 9 x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [16 x^{2} - 9 x]}$

خطوة 3.10.2

اطرح $2$ من $1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{3}{\frac{1}{2} {(16 x^{2} - 9 x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [16 x^{2} - 9 x]}$

خطوة 3.11

انقُل السالب أمام الكسر.

$lim_{x \to - \infty} \frac{3}{\frac{1}{2} {(16 x^{2} - 9 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [16 x^{2} - 9 x]}$

خطوة 3.12

اجمع $\frac{1}{2}$ و ${(16 x^{2} - 9 x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{3}{\frac{{(16 x^{2} - 9 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [16 x^{2} - 9 x]}$

خطوة 3.13

انقُل ${(16 x^{2} - 9 x)}^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{3}{\frac{1}{2 {(16 x^{2} - 9 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [16 x^{2} - 9 x]}$

خطوة 3.14

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $16 x^{2} - 9 x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [16 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x]$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{3}{\frac{1}{2 {(16 x^{2} - 9 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [16 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x])}$

خطوة 3.15

بما أن $16$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $16 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $16 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{3}{\frac{1}{2 {(16 x^{2} - 9 x)}^{\frac{1}{2}}} (16 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x])}$

خطوة 3.16

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{3}{\frac{1}{2 {(16 x^{2} - 9 x)}^{\frac{1}{2}}} (16 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 9 x])}$

خطوة 3.17

اضرب $2$ في $16$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{3}{\frac{1}{2 {(16 x^{2} - 9 x)}^{\frac{1}{2}}} (32 x + \frac{d}{d x} [- 9 x])}$

خطوة 3.18

بما أن $- 9$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 9 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{3}{\frac{1}{2 {(16 x^{2} - 9 x)}^{\frac{1}{2}}} (32 x - 9 \frac{d}{d x} [x])}$

خطوة 3.19

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{3}{\frac{1}{2 {(16 x^{2} - 9 x)}^{\frac{1}{2}}} (32 x - 9 \cdot 1)}$

خطوة 3.20

اضرب $- 9$ في $1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{3}{\frac{1}{2 {(16 x^{2} - 9 x)}^{\frac{1}{2}}} (32 x - 9)}$

خطوة 3.21

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.21.1

أعِد ترتيب عوامل $\frac{1}{2 {(16 x^{2} - 9 x)}^{\frac{1}{2}}} (32 x - 9)$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{3}{(32 x - 9) \frac{1}{2 {(16 x^{2} - 9 x)}^{\frac{1}{2}}}}$

خطوة 3.21.2

اضرب $32 x - 9$ في $\frac{1}{2 {(16 x^{2} - 9 x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{3}{\frac{32 x - 9}{2 {(16 x^{2} - 9 x)}^{\frac{1}{2}}}}$

خطوة 4

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$lim_{x \to - \infty} 3 \frac{2 {(16 x^{2} - 9 x)}^{\frac{1}{2}}}{32 x - 9}$

خطوة 5

أعِد كتابة ${(16 x^{2} - 9 x)}^{\frac{1}{2}}$ بالصيغة $\sqrt{16 x^{2} - 9 x}$ .

$lim_{x \to - \infty} 3 \frac{2 \sqrt{16 x^{2} - 9 x}}{32 x - 9}$

خطوة 6

جمّع العوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اجمع $3$ و $\frac{2 \sqrt{16 x^{2} - 9 x}}{32 x - 9}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{3 (2 \sqrt{16 x^{2} - 9 x})}{32 x - 9}$

خطوة 6.2

اضرب $2$ في $3$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{6 \sqrt{16 x^{2} - 9 x}}{32 x - 9}$

خطوة 7

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

انقُل الحد $6$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$6 lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{16 x^{2} - 9 x}}{32 x - 9}$

خطوة 7.2

أخرِج العامل $x$ من $16 x^{2} - 9 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

أخرِج العامل $x$ من $16 x^{2}$ .

$6 lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x \cdot 16 x - 9 x}}{32 x - 9}$

خطوة 7.2.2

أخرِج العامل $x$ من $- 9 x$ .

$6 lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x \cdot 16 x + x \cdot - 9}}{32 x - 9}$

خطوة 7.2.3

أخرِج العامل $x$ من $x (16 x) + x \cdot - 9$ .

$6 lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x (16 x - 9)}}{32 x - 9}$

خطوة 8

اقسِم بسط الكسر والقاسم على أعلى قوة لـ $x$ في القاسم، وهي $- \sqrt{x^{2}} = x$ .

$6 lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{x (16 x - 9)}{x^{2}}}}{\frac{32 x}{x} + \frac{- 9}{x}}$

خطوة 9

بسّط كل حد.

$6 lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{x (16 x - 9)}{x^{2}}}}{32 - \frac{9}{x}}$

خطوة 10

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{2}$ .

$6 lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{x (16 x - 9)}{x \cdot x}}}{32 - \frac{9}{x}}$

خطوة 10.2

ألغِ العامل المشترك.

$6 lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{x (16 x - 9)}{x \cdot x}}}{32 - \frac{9}{x}}$

خطوة 10.3

أعِد كتابة العبارة.

$6 lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{16 x - 9}{x}}}{32 - \frac{9}{x}}$

خطوة 11

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة قسمة النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $- \infty$ .

$6 \frac{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{\frac{16 x - 9}{x}}}{lim_{x \to - \infty} 32 - \frac{9}{x}}$

خطوة 11.2

انقُل الحد $- 1$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$6 \frac{- lim_{x \to - \infty} \sqrt{\frac{16 x - 9}{x}}}{lim_{x \to - \infty} 32 - \frac{9}{x}}$

خطوة 11.3

انقُل النهاية أسفل علامة الجذر.

$6 \frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{16 x - 9}{x}}}{lim_{x \to - \infty} 32 - \frac{9}{x}}$

خطوة 12

اقسِم بسط الكسر والقاسم على أعلى قوة لـ $x$ في القاسم، وهي $x$ .

$6 \frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{16 x}{x} + \frac{- 9}{x}}{\frac{x}{x}}}}{lim_{x \to - \infty} 32 - \frac{9}{x}}$

خطوة 13

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$6 \frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{16 x}{x} + \frac{- 9}{x}}{\frac{x}{x}}}}{lim_{x \to - \infty} 32 - \frac{9}{x}}$

خطوة 13.1.1.2

اقسِم $16$ على $1$ .

$6 \frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{16 + \frac{- 9}{x}}{\frac{x}{x}}}}{lim_{x \to - \infty} 32 - \frac{9}{x}}$

خطوة 13.1.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$6 \frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{16 - \frac{9}{x}}{\frac{x}{x}}}}{lim_{x \to - \infty} 32 - \frac{9}{x}}$

خطوة 13.2

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$6 \frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{16 - \frac{9}{x}}{\frac{x}{x}}}}{lim_{x \to - \infty} 32 - \frac{9}{x}}$

خطوة 13.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$6 \frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{16 - \frac{9}{x}}{1}}}{lim_{x \to - \infty} 32 - \frac{9}{x}}$

خطوة 13.3

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة قسمة النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $- \infty$ .

$6 \frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 16 - \frac{9}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1}}}{lim_{x \to - \infty} 32 - \frac{9}{x}}$

خطوة 13.4

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $- \infty$ .

$6 \frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 16 - lim_{x \to - \infty} \frac{9}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1}}}{lim_{x \to - \infty} 32 - \frac{9}{x}}$

خطوة 13.5

احسِب قيمة حد $16$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $- \infty$ .

$6 \frac{- \sqrt{\frac{16 - lim_{x \to - \infty} \frac{9}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1}}}{lim_{x \to - \infty} 32 - \frac{9}{x}}$

خطوة 13.6

انقُل الحد $9$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$6 \frac{- \sqrt{\frac{16 - 9 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1}}}{lim_{x \to - \infty} 32 - \frac{9}{x}}$

خطوة 14

بما أن بسط الكسر يقترب من عدد حقيقي بينما يُعد قاسمه غير محدود، إذن الكسر $\frac{1}{x}$ يقترب من $0$ .

$6 \frac{- \sqrt{\frac{16 - 9 \cdot 0}{lim_{x \to - \infty} 1}}}{lim_{x \to - \infty} 32 - \frac{9}{x}}$

خطوة 15

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1

احسِب قيمة حد $1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $- \infty$ .

$6 \frac{- \sqrt{\frac{16 - 9 \cdot 0}{1}}}{lim_{x \to - \infty} 32 - \frac{9}{x}}$

خطوة 15.2

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $- \infty$ .

$6 \frac{- \sqrt{\frac{16 - 9 \cdot 0}{1}}}{lim_{x \to - \infty} 32 - lim_{x \to - \infty} \frac{9}{x}}$

خطوة 15.3

احسِب قيمة حد $32$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $- \infty$ .

$6 \frac{- \sqrt{\frac{16 - 9 \cdot 0}{1}}}{32 - lim_{x \to - \infty} \frac{9}{x}}$

خطوة 15.4

انقُل الحد $9$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$6 \frac{- \sqrt{\frac{16 - 9 \cdot 0}{1}}}{32 - 9 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}$

خطوة 16

بما أن بسط الكسر يقترب من عدد حقيقي بينما يُعد قاسمه غير محدود، إذن الكسر $\frac{1}{x}$ يقترب من $0$ .

$6 \frac{- \sqrt{\frac{16 - 9 \cdot 0}{1}}}{32 - 9 \cdot 0}$

خطوة 17

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.1

اقسِم $16 - 9 \cdot 0$ على $1$ .

$6 \frac{- \sqrt{16 - 9 \cdot 0}}{32 - 9 \cdot 0}$

خطوة 17.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.2.1

اضرب $- 9$ في $0$ .

$6 \frac{- \sqrt{16 + 0}}{32 - 9 \cdot 0}$

خطوة 17.2.2

أضف $16$ و $0$ .

$6 \frac{- \sqrt{16}}{32 - 9 \cdot 0}$

خطوة 17.2.3

أعِد كتابة $16$ بالصيغة $4^{2}$ .

$6 \frac{- \sqrt{4^{2}}}{32 - 9 \cdot 0}$

خطوة 17.2.4

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$6 \frac{- 1 \cdot 4}{32 - 9 \cdot 0}$

خطوة 17.3

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.3.1

اضرب $- 9$ في $0$ .

$6 \frac{- 1 \cdot 4}{32 + 0}$

خطوة 17.3.2

أضف $32$ و $0$ .

$6 \frac{- 1 \cdot 4}{32}$

خطوة 17.4

اضرب $- 1$ في $4$ .

$6 (\frac{- 4}{32})$

خطوة 17.5

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.5.1

أخرِج العامل $2$ من $6$ .

$2 (3) \frac{- 4}{32}$

خطوة 17.5.2

أخرِج العامل $2$ من $32$ .

$2 \cdot 3 \frac{- 4}{2 \cdot 16}$

خطوة 17.5.3

ألغِ العامل المشترك.

$2 \cdot 3 \frac{- 4}{2 \cdot 16}$

خطوة 17.5.4

أعِد كتابة العبارة.

$3 (\frac{- 4}{16})$

خطوة 17.6

اجمع $3$ و $\frac{- 4}{16}$ .

$\frac{3 \cdot - 4}{16}$

خطوة 17.7

اضرب $3$ في $- 4$ .

$\frac{- 12}{16}$

خطوة 17.8

احذِف العامل المشترك لـ $- 12$ و $16$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.8.1

أخرِج العامل $4$ من $- 12$ .

$\frac{4 (- 3)}{16}$

خطوة 17.8.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.8.2.1

أخرِج العامل $4$ من $16$ .

$\frac{4 \cdot - 3}{4 \cdot 4}$

خطوة 17.8.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4 \cdot - 3}{4 \cdot 4}$

خطوة 17.8.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- 3}{4}$

خطوة 17.9

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{3}{4}$