حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (1 + \frac{a}{x})}{\frac{1}{x}}$

خطوة 1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$\frac{lim_{x \to \infty} \ln (1 + \frac{a}{x})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

خطوة 1.2

احسِب قيمة حد بسط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1.1

انقُل النهاية داخل اللوغاريتم.

$\frac{\ln (lim_{x \to \infty} 1 + \frac{a}{x})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

خطوة 1.2.1.2

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $\infty$ .

$\frac{\ln (lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{a}{x})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

خطوة 1.2.1.3

احسِب قيمة حد $1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $\infty$ .

$\frac{\ln (1 + lim_{x \to \infty} \frac{a}{x})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

خطوة 1.2.1.4

انقُل الحد $a$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{\ln (1 + a lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

خطوة 1.2.2

بما أن بسط الكسر يقترب من عدد حقيقي بينما يُعد قاسمه غير محدود، إذن الكسر $\frac{1}{x}$ يقترب من $0$ .

$\frac{\ln (1 + a \cdot 0)}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

خطوة 1.2.3

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

اضرب $a$ في $0$ .

$\frac{\ln (1 + 0)}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

خطوة 1.2.3.2

أضف $1$ و $0$ .

$\frac{\ln (1)}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

خطوة 1.2.3.3

اللوغاريتم الطبيعي لـ $1$ يساوي $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

خطوة 1.3

بما أن بسط الكسر يقترب من عدد حقيقي بينما يُعد قاسمه غير محدود، إذن الكسر $\frac{1}{x}$ يقترب من $0$ .

$\frac{0}{0}$

خطوة 1.4

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

خطوة 2

بما أن $\frac{0}{0}$ مكتوبة بصيغة غير معيّنة، طبّق قاعدة لوبيتال. تنص قاعدة لوبيتال على أن نهاية ناتج قسمة الدوال يساوي نهاية ناتج قسمة مشتقاتها.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (1 + \frac{a}{x})}{\frac{1}{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 + \frac{a}{x})]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

خطوة 3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 + \frac{a}{x})]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = 1 + \frac{a}{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $1 + \frac{a}{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [1 + \frac{a}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

خطوة 3.2.2

مشتق $\ln (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [1 + \frac{a}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

خطوة 3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $1 + \frac{a}{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{1 + \frac{a}{x}} \frac{d}{d x} [1 + \frac{a}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

خطوة 3.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 + \frac{a}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{a}{x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{1 + \frac{a}{x}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{a}{x}])}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

خطوة 3.4

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{1 + \frac{a}{x}} (0 + \frac{d}{d x} [\frac{a}{x}])}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

خطوة 3.5

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [\frac{a}{x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{1 + \frac{a}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{a}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

خطوة 3.6

بما أن $a$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{a}{x}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $a \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{1 + \frac{a}{x}} (a \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

خطوة 3.7

اجمع $a$ و $\frac{1}{1 + \frac{a}{x}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{a}{1 + \frac{a}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

خطوة 3.8

أعِد كتابة $\frac{1}{x}$ بالصيغة $x^{- 1}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{a}{1 + \frac{a}{x}} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

خطوة 3.9

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{a}{1 + \frac{a}{x}} (- x^{- 2})}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

خطوة 3.10

اجمع $\frac{a}{1 + \frac{a}{x}}$ و $x^{- 2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{a x^{- 2}}{1 + \frac{a}{x}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

خطوة 3.11

انقُل $x^{- 2}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{a}{(1 + \frac{a}{x}) x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

خطوة 3.12

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.12.1

طبّق خاصية التوزيع.

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{a}{1 x^{2} + \frac{a}{x} x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

خطوة 3.12.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.12.2.1

اضرب $x^{2}$ في $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{a}{x^{2} + \frac{a}{x} x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

خطوة 3.12.2.2

اجمع $\frac{a}{x}$ و $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{a}{x^{2} + \frac{a x^{2}}{x}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

خطوة 3.12.2.3

احذِف العامل المشترك لـ $x^{2}$ و $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.12.2.3.1

أخرِج العامل $x$ من $a x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{a}{x^{2} + \frac{x (a x)}{x}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

خطوة 3.12.2.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.12.2.3.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{a}{x^{2} + \frac{x (a x)}{x^{1}}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

خطوة 3.12.2.3.2.2

أخرِج العامل $x$ من $x^{1}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{a}{x^{2} + \frac{x (a x)}{x \cdot 1}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

خطوة 3.12.2.3.2.3

ألغِ العامل المشترك.

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{a}{x^{2} + \frac{x (a x)}{x \cdot 1}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

خطوة 3.12.2.3.2.4

أعِد كتابة العبارة.

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{a}{x^{2} + \frac{a x}{1}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

خطوة 3.12.2.3.2.5

اقسِم $a x$ على $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{a}{x^{2} + a x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

خطوة 3.12.3

أخرِج العامل $x$ من $x^{2} + a x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.12.3.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{a}{x \cdot x + a x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

خطوة 3.12.3.2

أخرِج العامل $x$ من $a x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{a}{x \cdot x + x a}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

خطوة 3.12.3.3

أخرِج العامل $x$ من $x \cdot x + x a$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{a}{x (x + a)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

خطوة 3.13

أعِد كتابة $\frac{1}{x}$ بالصيغة $x^{- 1}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{a}{x (x + a)}}{\frac{d}{d x} [x^{- 1}]}$

خطوة 3.14

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{a}{x (x + a)}}{- x^{- 2}}$

خطوة 3.15

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{a}{x (x + a)}}{- \frac{1}{x^{2}}}$

خطوة 4

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$lim_{x \to \infty} - \frac{a}{x (x + a)} (- x^{2})$

خطوة 5

جمّع العوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$lim_{x \to \infty} 1 \frac{a}{x (x + a)} x^{2}$

خطوة 5.2

اضرب $\frac{a}{x (x + a)}$ في $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{a}{x (x + a)} x^{2}$

خطوة 5.3

اجمع $\frac{a}{x (x + a)}$ و $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{a x^{2}}{x (x + a)}$

خطوة 6

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

احذِف العامل المشترك لـ $x^{2}$ و $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

أخرِج العامل $x$ من $a x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x (a x)}{x (x + a)}$

خطوة 6.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$lim_{x \to \infty} \frac{x (a x)}{x (x + a)}$

خطوة 6.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$lim_{x \to \infty} \frac{a x}{x + a}$

خطوة 6.2

انقُل الحد $a$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$a lim_{x \to \infty} \frac{x}{x + a}$

خطوة 7

اقسِم بسط الكسر والقاسم على أعلى قوة لـ $x$ في القاسم، وهي $x$ .

$a lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\frac{x}{x} + \frac{a}{x}}$

خطوة 8

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$a lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\frac{x}{x} + \frac{a}{x}}$

خطوة 8.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$a lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{x}{x} + \frac{a}{x}}$

خطوة 8.2

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$a lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{x}{x} + \frac{a}{x}}$

خطوة 8.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$a lim_{x \to \infty} \frac{1}{1 + \frac{a}{x}}$

خطوة 8.3

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة قسمة النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $\infty$ .

$a \frac{lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{a}{x}}$

خطوة 8.4

احسِب قيمة حد $1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $\infty$ .

$a \frac{1}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{a}{x}}$

خطوة 8.5

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $\infty$ .

$a \frac{1}{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{a}{x}}$

خطوة 8.6

احسِب قيمة حد $1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $\infty$ .

$a \frac{1}{1 + lim_{x \to \infty} \frac{a}{x}}$

خطوة 8.7

انقُل الحد $a$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$a \frac{1}{1 + a lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

خطوة 9

بما أن بسط الكسر يقترب من عدد حقيقي بينما يُعد قاسمه غير محدود، إذن الكسر $\frac{1}{x}$ يقترب من $0$ .

$a \frac{1}{1 + a \cdot 0}$

خطوة 10

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1.1

اضرب $a$ في $0$ .

$a \frac{1}{1 + 0}$

خطوة 10.1.2

أضف $1$ و $0$ .

$a \frac{1}{1}$

خطوة 10.2

اقسِم $1$ على $1$ .

$a \cdot 1$

خطوة 10.3

اضرب $a$ في $1$ .

$a$