حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \frac{100 x^{2} + 81}{x}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = 100 x^{2} + 81$ و $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [100 x^{2} + 81] - (100 x^{2} + 81) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $100 x^{2} + 81$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [100 x^{2}] + \frac{d}{d x} [81]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [100 x^{2}] + \frac{d}{d x} [81]) - (100 x^{2} + 81) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 1.1.2.2

بما أن $100$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $100 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $100 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{x (100 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [81]) - (100 x^{2} + 81) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 1.1.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{x (100 (2 x) + \frac{d}{d x} [81]) - (100 x^{2} + 81) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 1.1.2.4

اضرب $2$ في $100$ .

$\frac{x (200 x + \frac{d}{d x} [81]) - (100 x^{2} + 81) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 1.1.2.5

بما أن $81$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $81$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{x (200 x + 0) - (100 x^{2} + 81) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 1.1.2.6

أضف $200 x$ و $0$ .

$\frac{x (200 x) - (100 x^{2} + 81) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 1.1.3

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{200 (x^{1} x) - (100 x^{2} + 81) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 1.1.4

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{200 (x^{1} x^{1}) - (100 x^{2} + 81) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 1.1.5

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{200 x^{1 + 1} - (100 x^{2} + 81) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 1.1.6

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{200 x^{2} - (100 x^{2} + 81) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 1.1.7

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{200 x^{2} - (100 x^{2} + 81) \cdot 1}{x^{2}}$

خطوة 1.1.8

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{200 x^{2} - (100 x^{2} + 81)}{x^{2}}$

خطوة 1.1.9

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.9.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{200 x^{2} - (100 x^{2}) - 1 \cdot 81}{x^{2}}$

خطوة 1.1.9.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.9.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.9.2.1.1

اضرب $100$ في $- 1$ .

$\frac{200 x^{2} - 100 x^{2} - 1 \cdot 81}{x^{2}}$

خطوة 1.1.9.2.1.2

اضرب $- 1$ في $81$ .

$\frac{200 x^{2} - 100 x^{2} - 81}{x^{2}}$

خطوة 1.1.9.2.2

اطرح $100 x^{2}$ من $200 x^{2}$ .

$\frac{100 x^{2} - 81}{x^{2}}$

خطوة 1.1.9.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.9.3.1

أعِد كتابة $100 x^{2}$ بالصيغة ${(10 x)}^{2}$ .

$\frac{{(10 x)}^{2} - 81}{x^{2}}$

خطوة 1.1.9.3.2

أعِد كتابة $81$ بالصيغة $9^{2}$ .

$\frac{{(10 x)}^{2} - 9^{2}}{x^{2}}$

خطوة 1.1.9.3.3

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = 10 x$ و $b = 9$ .

$f' (x) = \frac{(10 x + 9) (10 x - 9)}{x^{2}}$

خطوة 1.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{(10 x + 9) (10 x - 9)}{x^{2}}$ .

$\frac{(10 x + 9) (10 x - 9)}{x^{2}}$

خطوة 2

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $\frac{(10 x + 9) (10 x - 9)}{x^{2}} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\frac{(10 x + 9) (10 x - 9)}{x^{2}} = 0$

خطوة 2.2

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$(10 x + 9) (10 x - 9) = 0$

خطوة 2.3

أوجِد قيمة $x$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$10 x + 9 = 0$

$10 x - 9 = 0$

خطوة 2.3.2

عيّن قيمة العبارة $10 x + 9$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

عيّن قيمة $10 x + 9$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$10 x + 9 = 0$

خطوة 2.3.2.2

أوجِد قيمة $x$ في $10 x + 9 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.2.1

اطرح $9$ من كلا المتعادلين.

$10 x = - 9$

خطوة 2.3.2.2.2

اقسِم كل حد في $10 x = - 9$ على $10$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.2.2.1

اقسِم كل حد في $10 x = - 9$ على $10$ .

$\frac{10 x}{10} = \frac{- 9}{10}$

خطوة 2.3.2.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $10$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.2.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{10 x}{10} = \frac{- 9}{10}$

خطوة 2.3.2.2.2.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{- 9}{10}$

خطوة 2.3.2.2.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.2.2.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$x = - \frac{9}{10}$

خطوة 2.3.3

عيّن قيمة العبارة $10 x - 9$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

عيّن قيمة $10 x - 9$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$10 x - 9 = 0$

خطوة 2.3.3.2

أوجِد قيمة $x$ في $10 x - 9 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.2.1

أضف $9$ إلى كلا المتعادلين.

$10 x = 9$

خطوة 2.3.3.2.2

اقسِم كل حد في $10 x = 9$ على $10$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.2.2.1

اقسِم كل حد في $10 x = 9$ على $10$ .

$\frac{10 x}{10} = \frac{9}{10}$

خطوة 2.3.3.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $10$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.2.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{10 x}{10} = \frac{9}{10}$

خطوة 2.3.3.2.2.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{9}{10}$

خطوة 2.3.4

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $(10 x + 9) (10 x - 9) = 0$ صحيحة.

$x = - \frac{9}{10}, \frac{9}{10}$

خطوة 3

أوجِد القيم التي يكون عندها المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن قيمة القاسم في $\frac{(10 x + 9) (10 x - 9)}{x^{2}}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

$x^{2} = 0$

خطوة 3.2

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$x = \pm \sqrt{0}$

خطوة 3.2.2

بسّط $\pm \sqrt{0}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

أعِد كتابة $0$ بالصيغة $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

خطوة 3.2.2.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$x = \pm 0$

خطوة 3.2.2.3

زائد أو ناقص $0$ يساوي $0$ .

$x = 0$

خطوة 4

احسِب قيمة $\frac{100 x^{2} + 81}{x}$ عند كل قيمة $x$ يكون عندها المشتق مساويًا لـ $0$ أو غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

احسِب القيمة في $x = - \frac{9}{10}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $- \frac{9}{10}$ .

$\frac{100 {(- \frac{9}{10})}^{2} + 81}{- \frac{9}{10}}$

خطوة 4.1.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$(100 {(- \frac{9}{10})}^{2} + 81) (- \frac{10}{9})$

خطوة 4.1.2.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.2.1

استخدِم قاعدة القوة ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ لتوزيع الأُس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.2.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $- \frac{9}{10}$ .

$(100 ({(- 1)}^{2} {(\frac{9}{10})}^{2}) + 81) (- \frac{10}{9})$

خطوة 4.1.2.2.1.2

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{9}{10}$ .

$(100 ({(- 1)}^{2} \frac{9^{2}}{10^{2}}) + 81) (- \frac{10}{9})$

خطوة 4.1.2.2.2

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$(100 (1 \frac{9^{2}}{10^{2}}) + 81) (- \frac{10}{9})$

خطوة 4.1.2.2.3

اضرب $\frac{9^{2}}{10^{2}}$ في $1$ .

$(100 \frac{9^{2}}{10^{2}} + 81) (- \frac{10}{9})$

خطوة 4.1.2.2.4

ارفع $9$ إلى القوة $2$ .

$(100 \frac{81}{10^{2}} + 81) (- \frac{10}{9})$

خطوة 4.1.2.2.5

ارفع $10$ إلى القوة $2$ .

$(100 (\frac{81}{100}) + 81) (- \frac{10}{9})$

خطوة 4.1.2.2.6

ألغِ العامل المشترك لـ $100$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.2.6.1

ألغِ العامل المشترك.

$(100 (\frac{81}{100}) + 81) (- \frac{10}{9})$

خطوة 4.1.2.2.6.2

أعِد كتابة العبارة.

$(81 + 81) (- \frac{10}{9})$

خطوة 4.1.2.3

اختزِل العبارة بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.3.1

أضف $81$ و $81$ .

$162 (- \frac{10}{9})$

خطوة 4.1.2.3.2

ألغِ العامل المشترك لـ $9$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.3.2.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{10}{9}$ إلى بسط الكسر.

$162 (\frac{- 10}{9})$

خطوة 4.1.2.3.2.2

أخرِج العامل $9$ من $162$ .

$9 (18) \frac{- 10}{9}$

خطوة 4.1.2.3.2.3

ألغِ العامل المشترك.

$9 \cdot 18 \frac{- 10}{9}$

خطوة 4.1.2.3.2.4

أعِد كتابة العبارة.

$18 \cdot - 10$

خطوة 4.1.2.3.3

اضرب $18$ في $- 10$ .

$- 180$

خطوة 4.2

احسِب القيمة في $x = \frac{9}{10}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $\frac{9}{10}$ .

$\frac{100 {(\frac{9}{10})}^{2} + 81}{\frac{9}{10}}$

خطوة 4.2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$(100 {(\frac{9}{10})}^{2} + 81) \frac{10}{9}$

خطوة 4.2.2.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.2.1

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{9}{10}$ .

$(100 \frac{9^{2}}{10^{2}} + 81) \frac{10}{9}$

خطوة 4.2.2.2.2

ارفع $9$ إلى القوة $2$ .

$(100 \frac{81}{10^{2}} + 81) \frac{10}{9}$

خطوة 4.2.2.2.3

ارفع $10$ إلى القوة $2$ .

$(100 (\frac{81}{100}) + 81) \frac{10}{9}$

خطوة 4.2.2.2.4

ألغِ العامل المشترك لـ $100$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.2.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$(100 (\frac{81}{100}) + 81) \frac{10}{9}$

خطوة 4.2.2.2.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$(81 + 81) \frac{10}{9}$

خطوة 4.2.2.3

اختزِل العبارة بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.3.1

أضف $81$ و $81$ .

$162 (\frac{10}{9})$

خطوة 4.2.2.3.2

ألغِ العامل المشترك لـ $9$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.3.2.1

أخرِج العامل $9$ من $162$ .

$9 (18) \frac{10}{9}$

خطوة 4.2.2.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$9 \cdot 18 \frac{10}{9}$

خطوة 4.2.2.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$18 \cdot 10$

خطوة 4.2.2.3.3

اضرب $18$ في $10$ .

$180$

خطوة 4.3

احسِب القيمة في $x = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $0$ .

$\frac{100 {(0)}^{2} + 81}{0}$

خطوة 4.3.2

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

خطوة 4.4

اسرِد جميع النقاط.

$(- \frac{9}{10}, - 180), (\frac{9}{10}, 180)$

خطوة 5