حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = 7 {(- 3 x^{2} + 12)}^{2} + 1$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $7 {(- 3 x^{2} + 12)}^{2} + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [7 {(- 3 x^{2} + 12)}^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [7 {(- 3 x^{2} + 12)}^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 1.1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [7 {(- 3 x^{2} + 12)}^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

بما أن $7$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $7 {(- 3 x^{2} + 12)}^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $7 \frac{d}{d x} [{(- 3 x^{2} + 12)}^{2}]$ .

$7 \frac{d}{d x} [{(- 3 x^{2} + 12)}^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 1.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = - 3 x^{2} + 12$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $- 3 x^{2} + 12$ .

$7 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [- 3 x^{2} + 12]) + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 1.1.2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$7 (2 u \frac{d}{d x} [- 3 x^{2} + 12]) + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 1.1.2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $- 3 x^{2} + 12$ .

$7 (2 (- 3 x^{2} + 12) \frac{d}{d x} [- 3 x^{2} + 12]) + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 1.1.2.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $- 3 x^{2} + 12$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12]$ .

$7 (2 (- 3 x^{2} + 12) (\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12])) + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 1.1.2.4

بما أن $- 3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 3 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$7 (2 (- 3 x^{2} + 12) (- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12])) + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 1.1.2.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$7 (2 (- 3 x^{2} + 12) (- 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [12])) + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 1.1.2.6

بما أن $12$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $12$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$7 (2 (- 3 x^{2} + 12) (- 3 (2 x) + 0)) + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 1.1.2.7

اضرب $2$ في $- 3$ .

$7 (2 (- 3 x^{2} + 12) (- 6 x + 0)) + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 1.1.2.8

أضف $- 6 x$ و $0$ .

$7 (2 (- 3 x^{2} + 12) (- 6 x)) + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 1.1.2.9

اضرب $- 6$ في $2$ .

$7 (- 12 (- 3 x^{2} + 12) x) + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 1.1.2.10

اضرب $- 12$ في $7$ .

$- 84 (- 3 x^{2} + 12) x + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 1.1.3

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$- 84 (- 3 x^{2} + 12) x + 0$

خطوة 1.1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$(- 84 (- 3 x^{2}) - 84 \cdot 12) x + 0$

خطوة 1.1.4.2

طبّق خاصية التوزيع.

$- 84 (- 3 x^{2}) x - 84 \cdot 12 x + 0$

خطوة 1.1.4.3

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.3.1

اضرب $- 3$ في $- 84$ .

$252 x^{2} x - 84 \cdot 12 x + 0$

خطوة 1.1.4.3.2

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$252 (x^{1} x^{2}) - 84 \cdot 12 x + 0$

خطوة 1.1.4.3.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$252 x^{1 + 2} - 84 \cdot 12 x + 0$

خطوة 1.1.4.3.4

أضف $1$ و $2$ .

$252 x^{3} - 84 \cdot 12 x + 0$

خطوة 1.1.4.3.5

اضرب $- 84$ في $12$ .

$252 x^{3} - 1008 x + 0$

خطوة 1.1.4.3.6

أضف $252 x^{3} - 1008 x$ و $0$ .

$f' (x) = 252 x^{3} - 1008 x$

خطوة 1.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $252 x^{3} - 1008 x$ .

$252 x^{3} - 1008 x$

خطوة 2

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $252 x^{3} - 1008 x = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$252 x^{3} - 1008 x = 0$

خطوة 2.2

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أخرِج العامل $252 x$ من $252 x^{3} - 1008 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

أخرِج العامل $252 x$ من $252 x^{3}$ .

$252 x (x^{2}) - 1008 x = 0$

خطوة 2.2.1.2

أخرِج العامل $252 x$ من $- 1008 x$ .

$252 x (x^{2}) + 252 x (- 4) = 0$

خطوة 2.2.1.3

أخرِج العامل $252 x$ من $252 x (x^{2}) + 252 x (- 4)$ .

$252 x (x^{2} - 4) = 0$

خطوة 2.2.2

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$252 x (x^{2} - 2^{2}) = 0$

خطوة 2.2.3

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = x$ و $b = 2$ .

$252 x ((x + 2) (x - 2)) = 0$

خطوة 2.2.3.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$252 x (x + 2) (x - 2) = 0$

خطوة 2.3

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x = 0$

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

خطوة 2.4

عيّن قيمة $x$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x = 0$

خطوة 2.5

عيّن قيمة العبارة $x + 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

عيّن قيمة $x + 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x + 2 = 0$

خطوة 2.5.2

اطرح $2$ من كلا المتعادلين.

$x = - 2$

خطوة 2.6

عيّن قيمة العبارة $x - 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1

عيّن قيمة $x - 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 2 = 0$

خطوة 2.6.2

أضف $2$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 2$

خطوة 2.7

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $252 x (x + 2) (x - 2) = 0$ صحيحة.

$x = 0, - 2, 2$

خطوة 3

أوجِد القيم التي يكون عندها المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

نطاق العبارة هو جميع الأعداد الحقيقية ما عدا ما يجعل العبارة غير معرّفة. في هذه الحالة، لا يوجد عدد حقيقي يجعل العبارة غير معرّفة.

خطوة 4

احسِب قيمة $7 {(- 3 x^{2} + 12)}^{2} + 1$ عند كل قيمة $x$ يكون عندها المشتق مساويًا لـ $0$ أو غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

احسِب القيمة في $x = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $0$ .

$7 {(- 3 {(0)}^{2} + 12)}^{2} + 1$

خطوة 4.1.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1.1.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$7 {(- 3 \cdot 0 + 12)}^{2} + 1$

خطوة 4.1.2.1.1.2

اضرب $- 3$ في $0$ .

$7 {(0 + 12)}^{2} + 1$

خطوة 4.1.2.1.2

أضف $0$ و $12$ .

$7 \cdot 12^{2} + 1$

خطوة 4.1.2.1.3

ارفع $12$ إلى القوة $2$ .

$7 \cdot 144 + 1$

خطوة 4.1.2.1.4

اضرب $7$ في $144$ .

$1008 + 1$

خطوة 4.1.2.2

أضف $1008$ و $1$ .

$1009$

خطوة 4.2

احسِب القيمة في $x = - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $- 2$ .

$7 {(- 3 {(- 2)}^{2} + 12)}^{2} + 1$

خطوة 4.2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1.1.1

ارفع $- 2$ إلى القوة $2$ .

$7 {(- 3 \cdot 4 + 12)}^{2} + 1$

خطوة 4.2.2.1.1.2

اضرب $- 3$ في $4$ .

$7 {(- 12 + 12)}^{2} + 1$

خطوة 4.2.2.1.2

أضف $- 12$ و $12$ .

$7 \cdot 0^{2} + 1$

خطوة 4.2.2.1.3

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$7 \cdot 0 + 1$

خطوة 4.2.2.1.4

اضرب $7$ في $0$ .

$0 + 1$

خطوة 4.2.2.2

أضف $0$ و $1$ .

$1$

خطوة 4.3

احسِب القيمة في $x = 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $2$ .

$7 {(- 3 {(2)}^{2} + 12)}^{2} + 1$

خطوة 4.3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1.1.1

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$7 {(- 3 \cdot 4 + 12)}^{2} + 1$

خطوة 4.3.2.1.1.2

اضرب $- 3$ في $4$ .

$7 {(- 12 + 12)}^{2} + 1$

خطوة 4.3.2.1.2

أضف $- 12$ و $12$ .

$7 \cdot 0^{2} + 1$

خطوة 4.3.2.1.3

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$7 \cdot 0 + 1$

خطوة 4.3.2.1.4

اضرب $7$ في $0$ .

$0 + 1$

خطوة 4.3.2.2

أضف $0$ و $1$ .

$1$

خطوة 4.4

اسرِد جميع النقاط.

$(0, 1009), (- 2, 1), (2, 1)$

خطوة 5